Merhaba sevgili öğrencim! Ben Matematik öğretmeninim. Bugün seninle bu test kağıdındaki geometri sorularını tek tek, tane tane inceleyeceğiz. Hiç endişelenme, aslında hepsi bildiğimiz kurallara dayanıyor. Hazırsan arkana yaslan, kağıdını kalemini hazırla ve başlayalım!
6. Aşağıda verilen uzunluklardan hangisi bir üçgene ait olabilir?
A) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 2 cm
B) a = 9 cm, b = 12 cm, c = 8 cm
C) a = 1 cm, b = 7 cm, c = 9 cm
D) a = 1,3 km, b = 3,8 km, c = 1,7 km
Çözüm:
Burada hatırlamamız gereken kural “Üçgen Eşitsizliği”dir. Bir üçgen çizebilmek için, herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Ayrıca iki kenarın farkı da üçüncü kenardan küçük olmalıdır. Şimdi şıkları deneyelim:
A şıkkı: 5 ve 2’yi toplayalım. 5 + 2 = 7. Üçüncü kenar da 7. Kuralımıza göre toplamın 7’den büyük olması gerekirdi (7 > 7 diyemeyiz). Bu yüzden üçgen oluşmaz.
C şıkkı: 1 ve 7’yi toplayalım. 1 + 7 = 8. Üçüncü kenar 9. 8 sayısı 9’dan küçük kaldı. Oysa büyük olmalıydı. Bu da olmaz.
D şıkkı: 1,3 ve 1,7’yi toplayalım. 1,3 + 1,7 = 3,0 yapar. Üçüncü kenar 3,8. Toplam (3,0), üçüncü kenardan (3,8) küçük kaldı. Bu da çizilemez.
B şıkkı: Şimdi buna bakalım. Herhangi iki kenarı toplayıp diğerine bakalım:
9 + 8 = 17 (12’den büyük, süper!)
9 + 12 = 21 (8’den büyük, harika!)
12 + 8 = 20 (9’dan büyük, bu da tamam!)
Gördüğün gibi B şıkkındaki sayılar üçgen kuralına uyuyor.
Doğru Cevap: B
7. Yukarıdaki çadırda |AH| = 2m, |BH| = 1,5 m’dir. Buna göre |AB| kaçtır?
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
Çözüm:
Resme dikkatli bakarsan çadırın direği yere dik inmiş. Yani orada bir dik üçgen var. Dik kenarlarımız 1,5 metre ve 2 metre. Bizden hipotenüsü yani |AB| kenarını istiyor. Burada Pisagor Bağıntısını kullanacağız.
Adım 1: Dik kenarların karelerini alıp toplayalım.
(1,5)2 + 22 = |AB|2
Adım 2: Hesaplayalım.
1,5 x 1,5 = 2,25
2 x 2 = 4
Adım 3: Şimdi toplayalım.
2,25 + 4 = 6,25
Adım 4: Hangi sayının karesi 6,25 yapar? Bunu bulmak için karekök alıyoruz.
√6,25 = 2,5
İpucu: Bu aslında meşhur 3-4-5 üçgeninin yarısıdır (1,5 – 2 – 2,5).
Doğru Cevap: D
8. Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi dik üçgendir?
A) 16 br, 30 br, 34 br
B) 5 br, 4 br, 7 br
C) 5 br, 20 br, 18 br
D) 18 br, 20 br, 21 br
Çözüm:
Bir üçgenin dik üçgen olması için en uzun kenarın karesi, diğer iki kısa kenarın kareleri toplamına eşit olmalıdır (Pisagor). A şıkkına bir bakalım.
Adım 1: A şıkkındaki sayılar: 16, 30 ve 34. Bu sayılar sana tanıdık geldi mi? Hepsi 2’ye bölünebiliyor. Sadeleştirirsek: 8, 15, 17 olur.
8 – 15 – 17 özel bir dik üçgendir!
Adım 2: Yine de işlemle doğrulayalım:
162 + 302 = ? 342
256 + 900 = 1156
34 x 34 = 1156
Eşitlik sağlandı! Demek ki bu bir dik üçgen.
Doğru Cevap: A
9. Yerden 8 m yükseklikteki bir pencereye ulaşmak için bir merdiven kullanılıyor. Merdivenin yerdeki ucu duvardan 4 m uzaklığa konuyor. Bu merdivenin uzunluğu ne kadardır?
A) 4√5 m
B) 5 m
C) 5,5 m
D) 6 m
Çözüm:
Bu soruyu hayal edelim. Duvar diktir, yer yataydır. Merdiven ise hipotenüstür. Yani elimizde dik kenarları 4 ve 8 olan bir dik üçgen var.
Adım 1: Pisagor bağıntısını kuralım.
x2 = 42 + 82
Adım 2: Karelerini alıp toplayalım.
x2 = 16 + 64
x2 = 80
Adım 3: x’i bulmak için 80’i kök dışına çıkaralım.
x = √80
80 sayısı 16 x 5 demektir. 16 dışarıya 4 olarak çıkar.
x = 4√5
Doğru Cevap: A
10. Yukarıdaki şekilde ABCD dikdörtgen, BEFC ise karedir. |AB|= 16 br, |BE|= 12 br olduğuna göre x ve y değerleri aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru verilmiştir?
A) 20 ve 12√2
B) 20 ve 12
C) 12 ve 16
D) 20√2 ve 12
Çözüm:
Bu soruda şekli parça parça inceleyeceğiz.
Adım 1 (x’i bulalım):
ABCD bir dikdörtgenmiş. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir. Bize |BE| = 12 verilmiş. BEFC bir kare olduğu için karenin tüm kenarları 12’dir. Yani |BC| kenarı da 12 olur.
Şimdi ABC üçgenine bak. Bu bir dik üçgen (dikdörtgenin köşesi diktir).
Dik kenarlar: |AB| = 16 ve |BC| = 12.
Bu 3-4-5 üçgeninin 4 katıdır (12-16-20).
O halde hipotenüs yani x = 20 olur.
Adım 2 (y’yi bulalım):
Şimdi sağdaki BEFC karesine bakalım. Kare olduğu için |CF| = 12 ve |CE| = 12 olur (Kenarlar eşit).
y uzunluğu karenin köşegenidir. Burada ikizkenar dik üçgen oluşur (45-45-90 üçgeni).
Dik kenarlar 12 ve 12 ise, hipotenüs dik kenarın √2 katıdır.
Yani y = 12√2 olur.
Sonuç olarak: x = 20 ve y = 12√2.
Doğru Cevap: A
11. Aşağıdaki seçeneklerin hangisinde, verilen kenar uzunluklarıyla bir üçgen çizilemez?
A) 9, 11, 17
B) 21, 12, 10
C) 9, 12, 15
D) 1, 4, 2
Çözüm:
Yine 6. sorudaki gibi “Üçgen Eşitsizliği” kuralını uygulayacağız. İki küçük kenarın toplamı, büyük kenardan fazla olmalı.
A şıkkı: 9 + 11 = 20. (20 > 17) Çizilebilir.
B şıkkı: 12 + 10 = 22. (22 > 21) Çizilebilir.
C şıkkı: 9 + 12 = 21. (21 > 15) Çizilebilir (Hatta bu bir dik üçgendir).
D şıkkı: 1 + 2 = 3. En uzun kenar ise 4.
İki kenarın toplamı (3), üçüncü kenara (4) yetişemedi bile! Bu parçalarla üçgen kapanmaz.
Doğru Cevap: D
12. Yandaki üçgende verilmeyen kenar uzunluğu kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?
A) 12
B) 17
C) 20
D) 27
Çözüm:
Bilinmeyen kenara “a” diyelim. Verilen kenarlar 18 ve 9. Üçgen eşitsizliğine göre, bilinmeyen kenar diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
Adım 1: Farklarını ve toplamlarını bulalım.
Fark: 18 – 9 = 9
Toplam: 18 + 9 = 27
Adım 2: Eşitsizliği yazalım.
9 < a < 27
Adım 3: Bu aradaki sayıları sayalım.
a sayısı 10, 11, 12, …, 26 değerlerini alabilir.
Terim sayısını bulmak için pratik yol: (Son Terim – İlk Terim) + 1
26 – 10 = 16
16 + 1 = 17 tane sayı vardır.
Doğru Cevap: B