8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Kök-e Yayıncılık Sayfa 258

Merhaba sevgili öğrencilerim, bu haftaki matematik dersimiz için hazırladığım soruları birlikte çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

13. İki kenarının uzunluğu 11 ve 18 cm olan üçgenin çevre uzunluğu en az kaç cm olabilir?

Bu soruda, bir üçgenin çevresinin en az olmasını istiyoruz. Bir üçgenin çevresi, üç kenarının toplamıdır. Üçgen eşitsizliğini hatırlayalım: Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı, her zaman üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bizim üçgenimizin iki kenarı 11 cm ve 18 cm. Üçüncü kenara ‘x’ diyelim.

Üçgen eşitsizliğine göre:

• 11 + 18 > x => 29 > x
• 11 + x > 18 => x > 18 – 11 => x > 7
• 18 + x > 11 => x > 11 – 18 => x > -7 (Bu zaten her zaman doğrudur, çünkü kenar uzunluğu negatif olamaz.)

Bu durumda üçüncü kenarın uzunluğu 7 cm’den büyük olmalı ve 29 cm’den küçük olmalıdır. Yani 7 < x < 29.

Çevrenin en az olması için, üçüncü kenarın alabileceği en küçük değeri seçmeliyiz. Kenar uzunlukları tam sayı olmak zorunda olmadığı için, üçüncü kenar 7’den biraz büyük bir değer alabilir. Ancak soruda seçenekler tam sayı verilmiş. Eğer kenar uzunlukları tam sayı olsaydı, üçüncü kenarın en küçük tam sayı değeri 8 olurdu.

Şimdi seçeneklere bakalım:

• A) 27
• B) 35
• C) 37
• D) 42

Çevrenin en az olması için üçüncü kenarı en küçük seçmeliyiz. Üçgen eşitsizliğinden bulduğumuz 7 < x < 29 aralığını düşünelim. Üçüncü kenarın alabileceği en küçük değer 7'den büyük olmalı. Bu durumda, eğer üçüncü kenar 7'den biraz büyük bir değer alırsa, çevre 11 + 18 + (7'den büyük bir sayı) şeklinde olur.

Çevrenin en az olması için, üçüncü kenarın alabileceği en küçük tam sayı değeri 8 olmalıdır. Bu durumda çevre:

Çevre = 11 + 18 + 8 = 37 cm

Eğer üçüncü kenar 7’den biraz büyük bir değer alabilirse, örneğin 7.1 olursa, çevre 11 + 18 + 7.1 = 36.1 olur. Ancak seçeneklerde 36.1 yok.

Tekrar düşünelim: Üçgenin çevresi, üç kenarının toplamıdır. Üçgen eşitsizliği gereği, üçüncü kenar 7’den büyük olmalıdır. Çevrenin en az olmasını istiyorsak, üçüncü kenarın alabileceği en küçük değeri seçmeliyiz. Üçgenin kenar uzunlukları tam sayı olmak zorunda olmasa bile, çevrenin en küçük olmasını sağlayan durum, üçüncü kenarın 7’ye en yakın değeri almasıdır. Eğer üçüncü kenar 7’den büyük en küçük tam sayıyı yani 8’i alırsa, çevre 11 + 18 + 8 = 37 olur.

Şimdi seçenekleri tekrar inceleyelim. Çevrenin en az kaç olabileceğini soruyor. Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar 7’den büyük olmalı. Eğer üçüncü kenar 7’den biraz büyük bir değer alsa (örneğin 7.0001), çevre 11 + 18 + 7.0001 = 36.0001 olurdu. Ancak seçeneklerde böyle bir değer yok.

Bu tür sorularda, eğer seçenekler tam sayı ise ve kenar uzunlukları tam sayı olmak zorunda değilse, çevrenin en az olması için üçüncü kenarın alabileceği en küçük değere bakılır. Üçgen eşitsizliğinden üçüncü kenar > 7 bulduk. Çevrenin en az olması için, üçüncü kenar 7’ye en yakın değeri almalıdır. Bu durumda, çevre 11 + 18 + (7’den büyük en küçük değer) olacaktır.

Eğer seçeneklere bakacak olursak, en küçük seçenek 27. Bu, üçüncü kenarın 27-11-18=0 olması gerektiği anlamına gelir ki bu mümkün değil.

Soruda “en az kaç cm olabilir?” deniyor. Bu, üçüncü kenarın alabileceği en küçük değeri düşünmemiz gerektiğini gösteriyor. Üçgen eşitsizliğinden üçüncü kenar 7’den büyük olmalıydı. Eğer üçüncü kenar 7’den biraz büyük bir değer alabilirse, çevre de 11 + 18 + (7’den büyük bir değer) yani 29’dan büyük bir değer olur.

Şimdi seçeneklere tekrar bakalım ve üçgen eşitsizliğini sağlayan durumlara göre hangi seçeneğin en az çevreyi verdiğini bulalım.

Eğer çevre 27 olsaydı, üçüncü kenar 27 – 11 – 18 = -2 olurdu. Bu mümkün değil.

Eğer çevre 35 olsaydı, üçüncü kenar 35 – 11 – 18 = 6 olurdu. Üçgen eşitsizliğine göre 11 + 18 > 6 (29 > 6 – doğru), 11 + 6 > 18 (17 > 18 – yanlış). Yani 35 olamaz.

Eğer çevre 37 olsaydı, üçüncü kenar 37 – 11 – 18 = 8 olurdu. Üçgen eşitsizliğine göre: 11 + 18 > 8 (29 > 8 – doğru), 11 + 8 > 18 (19 > 18 – doğru), 18 + 8 > 11 (26 > 11 – doğru). Bu üçgen olabiliyor.

Eğer çevre 42 olsaydı, üçüncü kenar 42 – 11 – 18 = 13 olurdu. Üçgen eşitsizliğine göre: 11 + 18 > 13 (29 > 13 – doğru), 11 + 13 > 18 (24 > 18 – doğru), 18 + 13 > 11 (31 > 11 – doğru). Bu üçgen de olabiliyor.

En az çevreyi sorduğu için, olabilen çevre değerlerinden en küçüğünü seçmeliyiz. 37 ve 42 olabiliyor. Bunlardan en küçüğü 37’dir.

Sonuç: C) 37

14. Yandaki şeklin en uzun kenarı hangisidir?

Bu soruda bize bir dörtgen verilmiş ve bu dörtgenin en uzun kenarını bulmamız isteniyor. Kenarların uzunluklarını belirlemek için üçgenlerin iç açıları toplamından ve kenar-açı ilişkisinden faydalanacağız.

Öncelikle, şekil üzerindeki açıları inceleyelim.

Şekildeki dörtgen ABCD’dir. İçindeki üçgenlere bakalım.

Üçgen ADC’ye bakalım:

• A açısının bir kısmı 50 derece.
• D açısının bir kısmı 85 derece.
• C açısının bir kısmı 45 derece.

Bu açılar bir üçgenin iç açıları olsaydı toplamları 180 derece olurdu. Ancak bu bir dörtgenin içindeki parçalar.

Şimdi şekli bir bütün olarak düşünelim.

Üçgen ABC’ye bakalım:

• A açısının bir kısmı 50 derece.
• B açısı tam olarak verilmemiş ama dik olduğunu gösteren bir kare var, yani 90 derece.
• C açısı tam olarak verilmemiş.

Üçgen ADC’ye bakalım:

• A açısının bir kısmı 25 derece.
• D açısının bir kısmı 70 derece.
• C açısının bir kısmı 85 derece.

Şekildeki verileri dikkatli inceleyelim:

Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Bir kenarın karşısındaki açı ne kadar büyükse, o kenar o kadar uzundur.

Şekildeki şekil bir dörtgen. Dörtgenin içindeki açılar verilmiş. A noktasındaki açılar 50 ve 25 derece. D noktasındaki açılar 85 ve 70 derece. C noktasındaki açı 45 ve 85 derece. B noktasındaki açı ise dik olarak gösterilmiş.

Bu soruda bir hata olabilir mi diye kontrol edelim. Çünkü verilen açılarla net bir üçgen çizmek zor görünüyor. Ancak şekli bir dörtgen olarak kabul edip, verilen açılardan yola çıkarak kenar uzunlukları hakkında yorum yapmaya çalışalım.

Şekilde A, B, C, D noktaları ile bir dörtgen oluşturulmuş. A noktasında 50 ve 25 derece, D noktasında 85 ve 70 derece, C noktasında 45 ve 85 derece açılar verilmiş. B noktasında ise dik açı (90 derece) olduğu gösterilmiş.

Bu soruda verilen şekil, bir dörtgenin içindeki diyagonal ile bölünmüş iki üçgen gibi görünüyor. Ancak açılar tek bir üçgenin iç açıları değil.

Şekle daha yakından bakalım. Sanki A, D, C bir üçgen, A, B, C de bir üçgen oluşturuyor gibi. Ve AC diyagonal.

Üçgen ADC’yi ele alalım:

• A’nın bir kısmı 50 derece.
• D’nin bir kısmı 85 derece.
• C’nin bir kısmı 45 derece.

Bu bir üçgen olsaydı, toplamları 50 + 85 + 45 = 180 derece olurdu. Demek ki ADC bir üçgen ve AC kenarı, D açısının karşısında.

Şimdi üçgen ABC’ye bakalım:

• A’nın bir kısmı 25 derece.
• B açısı 90 derece.
• C açısı 32 derece verilmiş. (Bu 32 derece nerede tam olarak belli değil ama C köşesindeki açının bir parçası olabilir.)

Eğer C köşesindeki 32 derece, üçgen ABC’nin C açısı ise, üçgen ABC’nin iç açıları toplamı 25 + 90 + 32 = 147 derece olur. Bu bir üçgenin iç açıları toplamı değildir. Bu durumda verilen bilgilerde bir tutarsızlık var gibi görünüyor.

Soruyu tekrar okuyalım: “Yandaki şeklin en uzun kenarı hangisidir?”

Şekildeki gösterimlere göre, A, B, C, D bir dörtgen. AC diyagonal.

Üçgen ADC’nin açıları: A açısının bir kısmı 50 derece, D açısı 85 derece, C açısının bir kısmı 45 derece.

Üçgen ABC’nin açıları: A açısının bir kısmı 25 derece, B açısı 90 derece, C açısının bir kısmı 32 derece.

Şekildeki harflendirme ve açılara göre, ADC üçgeninde:

• A açısı = 50 derece
• D açısı = 85 derece
• C açısı = 45 derece

Bu üçgenin iç açıları toplamı 50 + 85 + 45 = 180 derece. Bu bir üçgen. En büyük açı D açısı (85 derece). Bu açının karşısındaki kenar AC’dir. Yani AC en uzun kenardır.

Şimdi ABC üçgenine bakalım:

• A açısı = 25 derece
• B açısı = 90 derece
• C açısı = 32 derece

Bu üçgenin iç açıları toplamı 25 + 90 + 32 = 147 derece. Bu bir üçgenin iç açıları toplamı olmadığı için, bu açılar ABC üçgeninin iç açıları olamaz.

Sorudaki şekli ve verilen açıları tekrar gözden geçirelim. Sanki A noktasındaki 50 ve 25, D noktasındaki 85 ve 70, C noktasındaki 45 ve 85 birer açıyı tanımlıyor. B noktasında dik açı var.

Eğer şekli şöyle yorumlarsak:

A, D, C bir üçgen. A açısı 50, D açısı 85, C açısı 45. Bu üçgenin en uzun kenarı D’nin karşısındaki AC kenarıdır.

A, B, C bir üçgen. B açısı 90, C açısı 32. A açısı 180 – 90 – 32 = 58 derece olmalı.

Bu durumda, A noktasındaki 50 ve 25 derece, D noktasındaki 85 ve 70 derece, C noktasındaki 45 ve 85 derece, ve 32 derece bilgileri bir bütün olarak dörtgeni oluşturuyor.

Şekildeki harflendirmelerle verilen açılar birbiriyle çelişiyor gibi görünüyor. Ancak seçeneklerde kenar isimleri var: BC, AD, AB, AC.

Şekildeki gösterimlere göre, ADC bir üçgen ve A açısı 50, D açısı 85, C açısı 45 derece ise; en büyük açı 85 derece (D açısı) ve karşısındaki kenar AC’dir. Yani AC en uzun kenardır.

Eğer ABC bir dik üçgen ve C açısı 32 derece ise, A açısı 58 derece olur. Bu durumda AC hipotenüs olur ve en uzun kenar olur.

Şekildeki açılara göre, ADC üçgeninde en büyük açı 85 derece (D açısı). Karşısındaki kenar AC’dir. Bu kenar en uzun kenardır.

ABC üçgeninde, B açısı 90 derece. Karşısındaki kenar AC hipotenüstür ve en uzun kenardır.

İki üçgende de AC kenarı en uzun kenar olarak çıkıyor. Bu durumda AC en uzun kenardır.

Sonuç: D) AC

15. Yandaki üçgenin kenar uzunluklarının doğru sıralanmış hali seçeneklerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bu soruda bize bir dik üçgen verilmiş. Üçgenin kenarlarına a, b, c harfleri verilmiş. A, B, C köşeleri harflendirilmiş. B açısı dik açı (90 derece). C açısı 32 derece olarak verilmiş. A açısı ise 180 – 90 – 32 = 58 derece olur.

Bir üçgende kenarların uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların büyüklükleri arasında doğru orantı vardır. Yani, en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur, en küçük açının karşısındaki kenar ise en kısadır.

Açılarımız:

• A açısı = 58 derece
• B açısı = 90 derece
• C açısı = 32 derece

Açıların büyüklük sırası:

90° (B) > 58° (A) > 32° (C)

Bu açıların karşısındaki kenarlar şunlardır:

• B açısının karşısındaki kenar AC’dir. Bu kenara ‘b’ harfi verilmiş.
• A açısının karşısındaki kenar BC’dir. Bu kenara ‘a’ harfi verilmiş.
• C açısının karşısındaki kenar AB’dir. Bu kenara ‘c’ harfi verilmiş.

Açıların büyüklük sırasına göre kenarların uzunlukları da aynı sırada olacaktır:

b > a > c

Şimdi seçeneklere bakalım:

• A) b > c > a
• B) b > a > c
• C) c > a > b
• D) c > a > b

Bizim bulduğumuz sıralama b > a > c idi. Bu sıralama B seçeneğinde verilmiş.

Sonuç: B) b > a > c

16. Aşağıdaki durumlardan hangisinde; cetvel, iletki ve pergel yardımıyla üçgen çizilemez?

Bu soru, üçgen çizim kurallarıyla ilgili. Bir üçgeni çizebilmemiz için belirli bilgiler verilmesi gerekir. Bu bilgiler, üçgenin oluşmasını sağlamalıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) Üç kenar uzunluğu verilen üçgen

Evet, üç kenar uzunluğu biliniyorsa, bu kenarları kullanarak bir üçgen çizebiliriz. Bu, SSS (Kenar-Kenar-Kenar) eşliğidir.

• B) Üç açısının ölçüsü verilen üçgen

Üç açının ölçüsü verildiğinde, bu açılar toplamı 180 derece olsa bile, üçgenin kenarlarının uzunlukları hakkında bilgi vermez. Sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir. Bu nedenle sadece üç açı bilgisiyle belirli bir üçgen çizilemez. Örneğin, 60-60-60 derece açılı eşkenar üçgenlerin kenarları farklı uzunluklarda olabilir.

• C) İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü verilen üçgen

İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, bu bilgilerle üçgen çizebiliriz. Bu, KAK (Kenar-Açı-Kenar) eşliğidir.

• D) Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açılarının ölçüsü verilen üçgen

Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açılar biliniyorsa, bu bilgilerle de üçgen çizebiliriz. Bu, AKA (Açı-Kenar-Açı) eşliğidir.

Sonuç olarak, sadece üç açının ölçüsü bilindiğinde, belirli bir üçgen çizmek mümkün değildir, çünkü kenar uzunlukları hakkında yeterli bilgiye sahip olmayız. Bu durumda sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir.

Sonuç: B) Üç açısının ölçüsü verilen üçgen

17. Aşağıda kenar uzunlukları veya hem kenar uzunlukları hem de açı ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.

Bu soruda bizden üçgenler çizmeyi istiyor. Bu, önceki sorunun devamı niteliğinde. Üçgen çizim kurallarını uygulayacağız.

a) Kenar uzunlukları 3, 4 ve 6 cm olan üçgen

Bu, SSS (Kenar-Kenar-Kenar) kuralına göre çizimdir. Üç kenar uzunluğu biliniyor. Ancak çizime başlamadan önce üçgen eşitsizliğini kontrol etmeliyiz:

• 3 + 4 > 6 => 7 > 6 (Doğru)
• 3 + 6 > 4 => 9 > 4 (Doğru)
• 4 + 6 > 3 => 10 > 3 (Doğru)

Üçgen eşitsizliği sağlandığı için bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen çizilebilir.

Çizim adımları:

1. En uzun kenarı (6 cm) cetvel yardımıyla çizin. Bu kenarın uç noktalarına A ve B diyelim.
2. Pergelin ucunu A noktasına batırın ve diğer ucuna 3 cm’lik bir açıklık verin. Bir yay çizin.
3. Pergelin ucunu B noktasına batırın ve diğer ucuna 4 cm’lik bir açıklık verin. Bir yay çizin.
4. İki yayın kesiştiği noktaya C noktası deyin.
5. A noktasını C noktasına ve B noktasını C noktasına cetvel ile birleştirin.
6. Böylece kenar uzunlukları 3, 4 ve 6 cm olan üçgen çizilmiş olur.

b) İki kenar uzunluğu 4 ve 5 cm, bu kenarlar arasındaki açısı 45° olan üçgen

Bu, KAK (Kenar-Açı-Kenar) kuralına göre çizimdir. İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyor.

Çizim adımları:

1. Cetvel yardımıyla 5 cm’lik bir doğru parçası çizin. Bu doğru parçasının uç noktalarına A ve B diyelim.
2. A noktasında iletki yardımıyla 45 derecelik bir açı çizin. Bu açının kolunu uzatın.
3. Pergelin ucunu A noktasına batırın ve diğer ucuna 4 cm’lik bir açıklık verin. 45 derecelik açının kolunu bu açıklıkla kesin. Kestiği noktaya C noktası deyin.
4. B noktasını C noktasına cetvel ile birleştirin.
5. Böylece kenar uzunlukları 4 cm ve 5 cm, aralarındaki açı 45 derece olan üçgen çizilmiş olur.

c) Bir kenarının uzunluğu 4 cm, bu kenarın iki ucundaki açılarının ölçüsü 50° ve 55° olan üçgen

Bu, AKA (Açı-Kenar-Açı) kuralına göre çizimdir. Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açılar biliniyor.

Çizim adımları:

1. Cetvel yardımıyla 4 cm’lik bir doğru parçası çizin. Bu doğru parçasının uç noktalarına A ve B diyelim.
2. A noktasında iletki yardımıyla 50 derecelik bir açı çizin. Bu açının kolunu uzatın.
3. B noktasında iletki yardımıyla 55 derecelik bir açı çizin. Bu açının kolunu uzatın.
4. İki açının kollarının kesiştiği noktaya C noktası deyin.
5. Böylece bir kenarı 4 cm, bu kenarın uçlarındaki açılar 50° ve 55° olan üçgen çizilmiş olur.

18. Yandaki şekilde; m(D) = m(B) = 90°, |AB| = 8 br, |BC| = 6 br, |DC| = 5 br olduğuna göre |AD| = x uzunluğu kaç birimdir?

Bu soruda bize bir dörtgen verilmiş ve bu dörtgenin bir kenarının uzunluğunu bulmamız isteniyor. Dörtgenin iki açısı dik açı (90 derece). Bu tür sorularda, genellikle dik üçgenler oluşturarak Pisagor teoremini kullanırız.

Şekli inceleyelim. ABCD dörtgeninde B ve D köşeleri dik. AB = 8, BC = 6, DC = 5. Bizden AD (x) uzunluğu isteniyor.

Bu dörtgeni iki dik üçgene ayırmak için AC doğru parçasını çizebiliriz. Bu doğru parçası, dörtgeni ABC ve ADC olmak üzere iki üçgene ayıracaktır.

Önce ABC dik üçgenini ele alalım:

• B açısı 90 derece.
• AB = 8 br (dik kenar)
• BC = 6 br (dik kenar)
• AC = ? (hipotenüs)

Pisagor teoremini kullanarak AC’nin uzunluğunu bulabiliriz:

AC² = AB² + BC²

AC² = 8² + 6²

AC² = 64 + 36

AC² = 100

AC = √100

AC = 10 br

Şimdi ADC dik üçgenini ele alalım:

• D açısı 90 derece.
• DC = 5 br (dik kenar)
• AC = 10 br (hipotenüs – az önce bulduk)
• AD = x br (dik kenar)

Yine Pisagor teoremini kullanarak AD’nin (x) uzunluğunu bulabiliriz:

AC² = AD² + DC²

10² = x² + 5²

100 = x² + 25

x² = 100 – 25

x² = 75

x = √75

Şimdi √75’i sadeleştirelim. 75’in çarpanları 25 ve 3’tür. 25 tam kare bir sayıdır.

x = √(25 * 3)

x = √25 * √3

x = 5√3 br

Şimdi seçeneklere bakalım:

• A) 10
• B) 15
• C) 5√3
• D) 4√3

Bulduğumuz sonuç 5√3’tür. Bu, C seçeneğinde verilmiş.

Sonuç: C) 5√3