Harika bir istek! 8. sınıf matematik öğretmeni şapkanı taktım ve görseldeki soruları senin için adım adım, anlaşılır bir dilde çözeceğim. Unutma, matematik eğlenceli bir yolculuk!
***
### **Öğrendiklerimizi Uygulayalım**
#### **1. Soru**
Şekilde verilen ve yarıçapı 0,8 m olan silindir biçimindeki varil 28 kez döndürülüyor. Kaç metre yol alır?
Bu soruda bir silindirin döndüğünü ve bu dönüş sonucunda ne kadar yol aldığını bulmamız isteniyor. Bir silindir, kendi etrafında bir tam tur döndüğünde, tabanının çevresi kadar yol alır.
**Adım 1: Silindirin Taban Çevresini Hesaplama**
Silindirimizin tabanı bir dairedir. Bir dairenin çevresini hesaplamak için şu formülü kullanırız:
Çevre = 2 * π * yarıçap
Soruda yarıçapı 0,8 m olarak vermişler ve π (pi) sayısını kullanmamız gerektiğini belirtmişler. Soruda π için özel bir değer verilmemiş, bu yüzden genellikle kullandığımız 3,14 değerini kullanabiliriz.
Çevre = 2 * 3,14 * 0,8 m
Şimdi bu çarpma işlemini yapalım:
2 * 3,14 = 6,28
6,28 * 0,8 = 5,024
Yani silindirimizin taban çevresi 5,024 metredir. Bu, silindir bir tam tur döndüğünde 5,024 metre yol alacağı anlamına gelir.
**Adım 2: Toplam Yolun Hesaplanması**
Soruda varilin 28 kez döndürüldüğü söyleniyor. Her dönüşte 5,024 metre yol aldığına göre, toplam yolunu bulmak için taban çevresini dönüş sayısı ile çarpmalıyız.
Toplam Yol = Taban Çevresi * Dönüş Sayısı
Toplam Yol = 5,024 m * 28
Bu çarpma işlemini yapalım:
5,024
x 28
——-
40,192 (5,024 * 8)
100,480 (5,024 * 20)
——-
140,672
Sonuç olarak, silindir biçimindeki varil 28 kez döndürüldüğünde **140,672 metre** yol alır.
***
#### **2. Soru**
Yandaki dik dairesel silindirlerin yüzey alanlarını yazınız. ($pi = frac{22}{7}$ alınız)
Bu soruda bize iki farklı silindir verilmiş ve bu silindirlerin yüzey alanlarını bulmamız istenmiş. Yüzey alanı, bir cismin tüm dış yüzeylerinin alanlarının toplamıdır. Bir dik dairesel silindirin yüzey alanı şu formülle bulunur:
Yüzey Alanı = 2 * (Taban Alanı) + (Yanal Alan)
Taban Alanı bir daire olduğu için, bir dairenin alanı = π * yarıçap² formülüyle hesaplanır.
Yanal Alan ise silindirin yan yüzeyinin alanıdır ve bu dairenin çevresi ile silindirin yüksekliğinin çarpımına eşittir: Yanal Alan = (2 * π * yarıçap) * yükseklik
Şimdi bu bilgileri kullanarak silindirleri tek tek inceleyelim.
**Birinci Silindir:**
* Yarıçap (r) = 5 m
* Yükseklik (h) = 14 m
* π = $frac{22}{7}$
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = π * r²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * (5 m)²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * 25 m²
Taban Alanı = $frac{550}{7}$ m²
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = (2 * π * r) * h
Yanal Alan = (2 * $frac{22}{7}$ * 5 m) * 14 m
Yanal Alan = ($frac{44}{7}$ * 5 m) * 14 m
Yanal Alan = ($frac{220}{7}$ m) * 14 m
Yanal Alan = $frac{220 * 14}{7}$ m²
Burada 14’ü 7’ye bölebiliriz: 14 / 7 = 2
Yanal Alan = 220 * 2 m²
Yanal Alan = 440 m²
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplama
Yüzey Alanı = 2 * (Taban Alanı) + (Yanal Alan)
Yüzey Alanı = 2 * ($frac{550}{7}$ m²) + 440 m²
Yüzey Alanı = $frac{1100}{7}$ m² + 440 m²
Kesirli bir ifadeyle uğraşmamak için 440’ı da 7 ile genişleterek aynı paydaya getirelim:
440 * 7 = 3080
Yani 440 m² = $frac{3080}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{1100}{7}$ m² + $frac{3080}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{1100 + 3080}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{4180}{7}$ m²
Bu kesri ondalık olarak ifade etmek istersek:
4180 / 7 ≈ 597,14
Yani birinci silindirin yüzey alanı $frac{4180}{7}$ m² veya yaklaşık 597,14 m²’dir.
İkinci Silindir:
* Yarıçap (r) = 9 m
* Yükseklik (h) = 7 m
* π = $frac{22}{7}$
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = π * r²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * (9 m)²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * 81 m²
Taban Alanı = $frac{1782}{7}$ m²
Adım 2: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = (2 * π * r) * h
Yanal Alan = (2 * $frac{22}{7}$ * 9 m) * 7 m
Yanal Alan = ($frac{44}{7}$ * 9 m) * 7 m
Yanal Alan = ($frac{396}{7}$ m) * 7 m
Burada 7’ler sadeleşir.
Yanal Alan = 396 m²
Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplama
Yüzey Alanı = 2 * (Taban Alanı) + (Yanal Alan)
Yüzey Alanı = 2 * ($frac{1782}{7}$ m²) + 396 m²
Yüzey Alanı = $frac{3564}{7}$ m² + 396 m²
Yine 396’yı 7 ile genişletelim:
396 * 7 = 2772
Yani 396 m² = $frac{2772}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{3564}{7}$ m² + $frac{2772}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{3564 + 2772}{7}$ m²
Yüzey Alanı = $frac{6336}{7}$ m²
Bu kesri ondalık olarak ifade etmek istersek:
6336 / 7 ≈ 905,14
Yani ikinci silindirin yüzey alanı $frac{6336}{7}$ m² veya yaklaşık 905,14 m²’dir.
**Sonuç:**
Birinci silindirin yüzey alanı: $frac{4180}{7}$ m² (veya yaklaşık 597,14 m²)
İkinci silindirin yüzey alanı: $frac{6336}{7}$ m² (veya yaklaşık 905,14 m²)
***
#### **3. Soru**
Kenar uzunlukları 3 ve 4 m olan, yanda şekli verilen sacın, DA ve CB kenraları birleştirilecek ve oluşan şeklin altı kapatılacaktır. Elde edilen dik dairesel silindir şeklindeki kabın içi ve dışı boyanacaktır. Ne kadarlık alan boyanır?
Bu soruda bir dikdörtgen sacın kenarlarının birleştirilerek bir silindir oluşturulduğu anlatılıyor. Bu tür sorularda dikkat etmemiz gereken, hangi kenarın silindirin neyini oluşturduğudur. Genellikle, dikdörtgenin uzun kenarı silindirin taban çevresini, kısa kenarı ise silindirin yüksekliğini oluşturur. Ancak burada şekle bakarak daha net karar verebiliriz. Şekildeki dikdörtgende AB kenarı 4 m, BC kenarı ise 3 m olarak verilmiş. DA ve CB kenarları birleştiriliyor denmiş. Bu, genellikle dikdörtgenin kısa kenarlarının (3 m olan kenarların) birleştirildiği anlamına gelir. Eğer 3 m’lik kenarlar birleştirilirse, 4 m’lik kenar silindirin taban çevresini oluşturur ve 3 m ise silindirin yüksekliği olur.
Adım 1: Silindirin Yüksekliğini ve Taban Çevresini Belirleme
* Yükseklik (h) = 3 m (DA ve CB kenarlarının birleştirilmesiyle oluşan kenar)
* Taban Çevresi = 4 m (AB kenarı, silindirin taban çevresi olacak)
Adım 2: Taban Yarıçapını Hesaplama
Taban çevresini biliyoruz ve taban çevresi formülü 2 * π * r’dir. Buradan yarıçapı (r) bulacağız.
Taban Çevresi = 2 * π * r
4 m = 2 * π * r
Soruda π için bir değer verilmemiş. Bu durumda 3,14 veya $frac{22}{7}$ kullanabiliriz. Genellikle bu tür sorularda işlem kolaylığı için $frac{22}{7}$ tercih edilebilir. Ancak burada 4 sayısının $frac{22}{7}$ ile tam bölünmediğini görüyoruz. O zaman 3,14 kullanalım.
4 m = 2 * 3,14 * r
4 m = 6,28 * r
r = $frac{4}{6,28}$ m
r ≈ 0,637 m
Eğer $pi = frac{22}{7}$ kullansaydık:
4 = 2 * $frac{22}{7}$ * r
4 = $frac{44}{7}$ * r
r = 4 * $frac{7}{44}$
r = $frac{28}{44}$
r = $frac{7}{11}$ m (Bu da yaklaşık 0,636 m eder.)
İşlem kolaylığı açısından yarıçapı $frac{7}{11}$ m olarak alalım.
Adım 3: Taban Alanını Hesaplama
Taban Alanı = π * r²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * ($frac{7}{11}$ m)²
Taban Alanı = $frac{22}{7}$ * $frac{49}{121}$ m²
Burada $frac{49}{7}$ = 7 ve $frac{22}{121}$ = $frac{2 times 11}{11 times 11}$ = $frac{2}{11}$ sadeleştirmelerini yapabiliriz.
Taban Alanı = $frac{2}{1}$ * $frac{7}{11}$ m²
Taban Alanı = $frac{14}{11}$ m²
Adım 4: Yanal Alanı Hesaplama
Yanal Alan = Taban Çevresi * Yükseklik
Yanal Alan = 4 m * 3 m
Yanal Alan = 12 m²
Adım 5: Boyanacak Alanı Hesaplama
Soruda kabın “içi ve dışı” boyanacaktır deniyor. Bu, silindirin hem iç yüzey alanını hem de dış yüzey alanını hesaplamamız gerektiği anlamına gelir. Eğer kabın malzemesinin kalınlığı ihmal edilirse, iç ve dış yüzey alanları birbirine eşit olacaktır. Yani, bir yüzey alanını hesaplayıp 2 ile çarpmalıyız.
Yüzey Alanı (Tek taraf) = 2 * (Taban Alanı) + (Yanal Alan)
Yüzey Alanı (Tek taraf) = 2 * ($frac{14}{11}$ m²) + 12 m²
Yüzey Alanı (Tek taraf) = $frac{28}{11}$ m² + 12 m²
12’yi 11 ile genişletelim: 12 * 11 = 132. Yani 12 m² = $frac{132}{11}$ m².
Yüzey Alanı (Tek taraf) = $frac{28}{11}$ m² + $frac{132}{11}$ m²
Yüzey Alanı (Tek taraf) = $frac{28 + 132}{11}$ m²
Yüzey Alanı (Tek taraf) = $frac{160}{11}$ m²
Şimdi bu yüzey alanının hem içini hem de dışını boyayacağımız için toplam boyanacak alanı bulmak için bu değeri 2 ile çarpmalıyız.
Toplam Boyanacak Alan = 2 * Yüzey Alanı (Tek taraf)
Toplam Boyanacak Alan = 2 * $frac{160}{11}$ m²
Toplam Boyanacak Alan = $frac{320}{11}$ m²
Bu kesri ondalık olarak ifade edersek:
320 / 11 ≈ 29,09
Sonuç olarak, kabın içi ve dışı boyanacağı için **$frac{320}{11}$ m²** (yaklaşık 29,09 m²) alan boyanır.
***
Umarım bu açıklamalar anlaşılır olmuştur. Matematik yolculuğunda başarılar dilerim!