Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte kareköklü ifadelerle ilgili alıştırmalar yapacağız. Hazırsanız başlayalım!
**1. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.**
Bu soruda amacımız kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve toplama/çıkarma işlemlerini yapmaktır. Karekök içindeki sayıları mümkün olduğunca dışarı çıkarmaya çalışacağız.
a) 3√28 + 4√7
* **Adım 1:** √28’i sadeleştirelim. 28’in çarpanlarına bakınca 4 x 7 olduğunu görüyoruz. Yani √28 = √(4 x 7) = √4 x √7 = 2√7 olur.
* **Adım 2:** Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: 3 * (2√7) + 4√7
* **Adım 3:** Çarpma işlemini yapalım: 6√7 + 4√7
* **Adım 4:** Karekökleri aynı olan ifadeleri toplayabiliriz. Katsayıları toplarız: (6 + 4)√7 = 10√7
Sonuç: 10√7
b) 6√7 + 5√7 – 3√7
* **Adım 1:** Bu ifadede tüm terimlerin karekök kısmı √7. Bu yüzden katsayıları toplayıp çıkarabiliriz.
* **Adım 2:** (6 + 5 – 3)√7
* **Adım 3:** Hesaplamayı yapalım: (11 – 3)√7 = 8√7
Sonuç: 8√7
c) √75 + √48 – √12 + √27
* **Adım 1:** Her bir karekökü sadeleştirelim.
* √75 = √(25 x 3) = √25 x √3 = 5√3
* √48 = √(16 x 3) = √16 x √3 = 4√3
* √12 = √(4 x 3) = √4 x √3 = 2√3
* √27 = √(9 x 3) = √9 x √3 = 3√3
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri yerine koyalım: 5√3 + 4√3 – 2√3 + 3√3
* **Adım 3:** Hepsinin karekökü √3 olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: (5 + 4 – 2 + 3)√3
* **Adım 4:** Hesaplamayı yapalım: (9 – 2 + 3)√3 = (7 + 3)√3 = 10√3
Sonuç: 10√3
d) √28 – √15 – √32 + √16
* **Adım 1:** Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √28 = √(4 x 7) = 2√7
* √15 sadeleşmez.
* √32 = √(16 x 2) = 4√2
* √16 = 4
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri yerine koyalım: 2√7 – √15 – 4√2 + 4
* **Adım 3:** Bu ifadede farklı karekökler ve bir tam sayı var. Bunları birleştiremeyiz. Bu şekilde bırakırız.
Sonuç: 2√7 – √15 – 4√2 + 4
e) √7 · (√28 – √175 + √63)
* **Adım 1:** Parantez içindeki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √28 = √(4 x 7) = 2√7
* √175 = √(25 x 7) = 5√7
* √63 = √(9 x 7) = 3√7
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri parantez içine yazalım: √7 · (2√7 – 5√7 + 3√7)
* **Adım 3:** Parantez içindeki işlemleri yapalım. Hepsinin karekökü √7: √7 · ((2 – 5 + 3)√7)
* **Adım 4:** (2 – 5 + 3) = 0 olduğu için parantez içi 0√7 = 0 olur.
* **Adım 5:** Son olarak √7 ile 0’ı çarparız: √7 · 0 = 0
Sonuç: 0
f) 2√50 – 3√8 – 3√128
* **Adım 1:** Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √50 = √(25 x 2) = 5√2
* √8 = √(4 x 2) = 2√2
* √128 = √(64 x 2) = 8√2
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri yerine koyalım: 2 * (5√2) – 3 * (2√2) – 3 * (8√2)
* **Adım 3:** Çarpma işlemlerini yapalım: 10√2 – 6√2 – 24√2
* **Adım 4:** Hepsinin karekökü √2 olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: (10 – 6 – 24)√2
* **Adım 5:** Hesaplamayı yapalım: (4 – 24)√2 = -20√2
Sonuç: -20√2
g) √112 – √175
* **Adım 1:** Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √112 = √(16 x 7) = 4√7
* √175 = √(25 x 7) = 5√7
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri yerine koyalım: 4√7 – 5√7
* **Adım 3:** Karekökleri aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz: (4 – 5)√7 = -1√7 = -√7
Sonuç: -√7
ğ) √500 – 2√180 + 2√80
* **Adım 1:** Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √500 = √(100 x 5) = 10√5
* √180 = √(36 x 5) = 6√5
* √80 = √(16 x 5) = 4√5
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri yerine koyalım: 10√5 – 2 * (6√5) + 2 * (4√5)
* **Adım 3:** Çarpma işlemlerini yapalım: 10√5 – 12√5 + 8√5
* **Adım 4:** Hepsinin karekökü √5 olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: (10 – 12 + 8)√5
* **Adım 5:** Hesaplamayı yapalım: (-2 + 8)√5 = 6√5
Sonuç: 6√5
**2. √12a + √48a + √75a = 66 ise a pozitif gerçek sayısı kaçtır?**
Bu soruda bilinmeyen bir sayının karekökünü bulacağız. Önce kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* **Adım 1:** Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √12a = √(4 x 3 x a) = 2√3a
* √48a = √(16 x 3 x a) = 4√3a
* √75a = √(25 x 3 x a) = 5√3a
* **Adım 2:** Sadeleştirdiğimiz değerleri denklemde yerine koyalım: 2√3a + 4√3a + 5√3a = 66
* **Adım 3:** Karekök kısımları aynı olduğu için katsayıları toplayalım: (2 + 4 + 5)√3a = 66
* **Adım 4:** Toplamayı yapalım: 11√3a = 66
* **Adım 5:** Her iki tarafı 11’e bölelim ki √3a’yı yalnız bırakalım: √3a = 66 / 11
* **Adım 6:** Bölme işlemini yapalım: √3a = 6
* **Adım 7:** Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım ki karekökten kurtulalım: (√3a)² = 6²
* **Adım 8:** Kare alma işlemini yapalım: 3a = 36
* **Adım 9:** a’yı bulmak için her iki tarafı 3’e bölelim: a = 36 / 3
* **Adım 10:** Bölme işlemini yapalım: a = 12
Sonuç: a = 12
**3. Alanı 48 cm² olan bir karenin çevre uzunluğunu bulunuz.**
Bu soruda karenin alanından kenar uzunluğunu, oradan da çevresini bulacağız.
* **Adım 1:** Karenin alan formülü kenar uzunluğunun karesidir (Alan = a²). Bizim alanımız 48 cm². Yani a² = 48.
* **Adım 2:** Kenar uzunluğunu (a) bulmak için alanın karekökünü alırız: a = √48
* **Adım 3:** √48’i sadeleştirelim. 48 = 16 x 3 olduğu için √48 = √(16 x 3) = √16 x √3 = 4√3 cm.
* **Adım 4:** Karenin çevresi ise dört kenarının toplamıdır (Çevre = 4a).
* **Adım 5:** Kenar uzunluğunu (4√3) çevre formülünde yerine koyalım: Çevre = 4 * (4√3)
* **Adım 6:** Çarpma işlemini yapalım: Çevre = 16√3 cm.
Sonuç: Karenin çevre uzunluğu 16√3 cm’dir.
**4. $frac{sqrt{50} + sqrt{8} – sqrt{32}}{sqrt{18}}$ işleminin sonucu kaçtır?**
Bu soruda hem paydaki hem de paydadaki kareköklü ifadeleri sadeleştirerek işlem yapacağız.
* **Adım 1:** Pay kısmındaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √50 = √(25 x 2) = 5√2
* √8 = √(4 x 2) = 2√2
* √32 = √(16 x 2) = 4√2
* **Adım 2:** Pay kısmını yeniden yazalım: 5√2 + 2√2 – 4√2
* **Adım 3:** Pay kısmındaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. Hepsinin karekökü √2: (5 + 2 – 4)√2 = (7 – 4)√2 = 3√2
* **Adım 4:** Payda kısmındaki karekökü sadeleştirelim: √18 = √(9 x 2) = 3√2
* **Adım 5:** Şimdi kesri yeniden oluşturalım: $frac{3sqrt{2}}{3sqrt{2}}$
* **Adım 6:** Aynı sayının kendisine bölümü 1’dir.
Sonuç: 1
**5. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.**
Bu soruda kesirli ifadelerle kareköklü işlemler yapacağız.
a) $frac{sqrt{54} + sqrt{24}}{sqrt{150}}$
* **Adım 1:** Pay kısmındaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
* √54 = √(9 x 6) = 3√6
* √24 = √(4 x 6) = 2√6
* **Adım 2:** Pay kısmını yeniden yazalım: 3√6 + 2√6
* **Adım 3:** Pay kısmındaki toplama işlemini yapalım: (3 + 2)√6 = 5√6
* **Adım 4:** Payda kısmındaki karekökü sadeleştirelim: √150 = √(25 x 6) = 5√6
* **Adım 5:** Şimdi kesri yeniden oluşturalım: $frac{5sqrt{6}}{5sqrt{6}}$
* **Adım 6:** Aynı sayının kendisine bölümü 1’dir.
Sonuç: 1
b) $frac{5sqrt{3} cdot 5sqrt{2} + 4sqrt{2} cdot sqrt{3}}{sqrt{6}}$
* **Adım 1:** Pay kısmındaki çarpma işlemlerini yapalım.
* İlk çarpma: 5√3 * 5√2 = (5 * 5) * (√3 * √2) = 25√6
* İkinci çarpma: 4√2 * √3 = 4 * (√2 * √3) = 4√6
* **Adım 2:** Pay kısmını yeniden yazalım: 25√6 + 4√6
* **Adım 3:** Pay kısmındaki toplama işlemini yapalım. Hepsinin karekökü √6: (25 + 4)√6 = 29√6
* **Adım 4:** Şimdi kesri yeniden oluşturalım: $frac{29sqrt{6}}{sqrt{6}}$
* **Adım 5:** Pay ve paydadaki √6’lar birbirini götürür.
Sonuç: 29
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü ifadelerle bol bol pratik yaparak bu konuları daha da kolay hale getirebilirsiniz! Başarılar dilerim!