Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimize hoş geldiniz. Bugün birlikte, görsellerdeki soruları adım adım çözerek dik üçgenler ve üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi pekiştireceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Sıra Sizde
Aşağıdaki dik üçgenlerde dik kenarları ve hipotenüsü belirleyiniz.
a)
Bu üçgenimize baktığımızda, LK ve KM kenarlarının dik açıyı oluşturduğunu görüyoruz. Bu kenarlar dik kenarlardır. Dik açının karşısında bulunan LM kenarı ise hipotenüstür.
- Dik Kenarlar: LK ve KM
- Hipotenüs: LM
b)
İkinci üçgenimize geldiğimizde, DT ve TR kenarlarının dik açıyı oluşturduğunu görüyoruz. Yani bunlar dik kenarlardır. Dik açının tam karşısında yer alan DR kenarı da hipotenüstür.
- Dik Kenarlar: DT ve TR
- Hipotenüs: DR
c)
Son olarak üçüncü dik üçgenimizde, RA ve RM kenarları dik açıyı oluşturuyor. Dolayısıyla bunlar dik kenarlardır. Dik açının karşısında bulunan AM kenarı ise hipotenüstür.
- Dik Kenarlar: RA ve RM
- Hipotenüs: AM
Öğrendiklerimizi Uygulayalım
1. Aşağıda verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
a)
Bu üçgenimizde A açısı 54 derece, B açısı 29 derece olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için C açısını bulabiliriz. C açısı = 180 – (54 + 29) = 180 – 83 = 97 derece.
Şimdi açıları sıralayalım: C (97°) > A (54°) > B (29°).
Üçgenlerde, büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur. Bu kuralı uygulayarak kenarları sıralayabiliriz:
- En büyük açı C (97°) olduğu için karşısındaki kenar AB en uzundur.
- Ortanca açı A (54°) olduğu için karşısındaki kenar BC ortanca uzunluktadır.
- En küçük açı B (29°) olduğu için karşısındaki kenar AC en kısadır.
Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralanışı: AC < BC < AB
b)
Bu üçgenimizde A açısı bilinmiyor, B açısı 62 derece ve C açısı 38 derece olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için A açısını bulabiliriz. A açısı = 180 – (62 + 38) = 180 – 100 = 80 derece.
Şimdi açıları sıralayalım: A (80°) > B (62°) > C (38°).
Büyük açının karşısındaki kenarın daha uzun olduğu bilgisini kullanarak kenarları sıralayalım:
- En büyük açı A (80°) olduğu için karşısındaki kenar BC en uzundur.
- Ortanca açı B (62°) olduğu için karşısındaki kenar AC ortanca uzunluktadır.
- En küçük açı C (38°) olduğu için karşısındaki kenar AB en kısadır.
Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralanışı: AB < AC < BC
2. Aşağıdaki şeklin en uzun ve en kısa kenarını belirleyiniz.
Bu şeklimiz bir dörtgen ve içine üçgenler çizilmiş. Bu üçgenlerdeki açıları kullanarak kenar uzunlukları hakkında yorumlar yapacağız.
Önce ABC üçgenine bakalım: A açısı 56°, B açısı 54°. Bu iki açının toplamı 110°. O zaman C açısı (bu üçgenin içindeki parça) 180 – 110 = 70° olur.
Şimdi BCD üçgenine bakalım: B açısı 54°, D açısı 60°. Bu iki açının toplamı 114°. O zaman C açısı (bu üçgenin içindeki parça) 180 – 114 = 66° olur.
Şimdi dörtgenin tamamındaki açıları birleştirelim:
- A açısı = 56°
- B açısı = 54°
- C açısı = 70° + 66° = 136°
- D açısı = 60°
Dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir. Bulduğumuz açıları toplarsak: 56 + 54 + 136 + 60 = 306°. Bu, şeklin bir dörtgen olduğunu ve çizimdeki açıların üçgenlerin iç açıları olduğunu gösteriyor.
Soruda bizden şeklin en uzun ve en kısa kenarlarını bulmamız isteniyor. Bu, şeklin tamamına bakarak değil, üçgenlerdeki kenar-açı ilişkisini kullanarak mümkün.
Önce en uzun kenarı bulalım:
En büyük açıyı bulmaya çalışalım. Bu şeklin tamamında en büyük açı C açısıdır (136°). Ancak bu, C köşesindeki toplam açıdır. Kenar uzunluklarını karşılaştırmak için üçgenlerin içindeki kenarlara bakmalıyız.
Şekli incelediğimizde, kenarların birbirine göre uzunluklarını doğrudan belirleyebilmemiz için verilen açılar yeterli değil. Ancak, genellikle bu tür sorularda şeklin tamamına bakılarak bir yorum yapılır. Verilen açılara göre, a kenarı (CD) ve b kenarı (AB) daha büyük açılara bakıyor gibi görünüyor.
Daha dikkatli bakarsak, sorunun 2. maddesi “Aşağıdaki şeklin en uzun ve en kısa kenarını belirleyiniz.” diyor. Bu, şekle bir bütün olarak bakmamızı istiyor. Ancak verilen bilgiler (açılar) üçgenlerin içindedir.
Şimdi üçgenleri ayrı ayrı inceleyelim:
Üçgen ACD: A açısı 56°, D açısı 60°. O zaman C açısı 180 – (56+60) = 64° olur. Bu üçgende en büyük açı C (64°) olduğu için karşısındaki AD (d) kenarı en uzundur.
Üçgen BCD: B açısı 54°, D açısı 60°. O zaman C açısı 180 – (54+60) = 66° olur. Bu üçgende en büyük açı C (66°) olduğu için karşısındaki BD (e) kenarı en uzundur.
Üçgen ABC: A açısı 56°, B açısı 54°. O zaman C açısı 180 – (56+54) = 70° olur. Bu üçgende en büyük açı C (70°) olduğu için karşısındaki AB (b) kenarı en uzundur.
Şekildeki kenarlar a, b, c, d, e olarak isimlendirilmiş.
En uzun kenarı bulalım:
Kenar a (CD): ACD üçgeninde 56°’ye bakıyor, BCD üçgeninde 66°’ye bakıyor.
Kenar b (AB): ABC üçgeninde 70°’ye bakıyor.
Kenar c (AC): ACD üçgeninde 60°’ye bakıyor, ABC üçgeninde 54°’ye bakıyor.
Kenar d (AD): ACD üçgeninde 56°’ye bakıyor.
Kenar e (BD): BCD üçgeninde 54°’ye bakıyor.
Şimdi kenarların baktığı açıları karşılaştıralım:
- Kenar b (AB) 70°’ye bakıyor.
- Kenar a (CD) baktığı açılar 56° ve 66°.
- Kenar c (AC) baktığı açılar 60° ve 54°.
Bu şekil, kenar uzunluklarını doğrudan karşılaştırmak için biraz kafa karıştırıcı. Ancak, genellikle bu tür sorularda şekli bir bütün olarak düşünüp, en geniş açının karşısındaki kenarın en uzun olacağı varsayılır. Şekle baktığımızda, b kenarı (AB) 70 derecelik bir açıya bakıyor. Diğer kenarların baktığı en büyük açılar 66° (e kenarı) ve 60° (c kenarı) olarak görünüyor.
Bu nedenle, en uzun kenar muhtemelen b’dir (AB).
En kısa kenarı bulalım:
En küçük açıları bulalım.
- Kenar d (AD) 56°’ye bakıyor.
- Kenar e (BD) 54°’ye bakıyor.
- Kenar c (AC) 54°’ye bakıyor.
- Kenar a (CD) 56°’ye bakıyor.
En küçük açılar 54°’dir. Bu açılara bakan kenarlar c (AC) ve e (BD) dir. Bu iki kenarın uzunlukları birbirine eşit olabilir.
Ancak soru tek bir en kısa kenar istiyor. Şekli dikkatlice incelersek, e kenarının (BD) 54°’ye baktığını ve bu kenarın diğer kenarlara göre daha kısa göründüğünü fark edebiliriz.
Bu nedenle, en kısa kenar muhtemelen e’dir (BD).
Not: Bu tür sorularda şeklin çizimi yanıltıcı olabilir. Kesin sonuç için daha fazla bilgi veya ölçüm gerekir. Ancak verilen açılara göre en olası yorum budur.
3. Yandaki dik üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu bir dik üçgen. Dik açı E köşesindedir. D köşesindeki açı 37 derece olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için B açısını bulabiliriz. B açısı = 180 – (90 + 37) = 180 – 127 = 53 derece.
Açıları sıralayalım: B (53°) > D (37°) > E (90°).
Üçgenlerde en büyük açı karşısındaki kenar en uzundur. En küçük açı karşısındaki kenar en kısadır.
- En büyük açı B (53°) olduğu için karşısındaki kenar DE en uzundur.
- Ortanca açı D (37°) olduğu için karşısındaki kenar EB ortanca uzunluktadır.
- En küçük açı E (90° – dik açı) olduğu için karşısındaki kenar DB hipotenüstür ve en uzundur.
Burada bir hata yaptım. Dik üçgenlerde hipotenüs her zaman en uzun kenardır. Açılara tekrar bakalım:
Açılar: D = 37°, E = 90°, B = 53°.
Açıların büyüklük sırası: 90° > 53° > 37°.
Bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları da aynı sırayla olacaktır:
- En büyük açı 90° (E) karşısında DB (hipotenüs) var. Bu en uzundur.
- Ortanca açı 53° (B) karşısında DE kenarı var. Bu ortanca uzunluktadır.
- En küçük açı 37° (D) karşısında EB kenarı var. Bu en kısadır.
Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralanışı: EB < DE < DB
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen çekinmeden sorun. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!