Merhaba sevgili öğrencim! Ben Matematik öğretmeninim. Seninle bu sayfadaki geometri sorularını tek tek inceleyip, sanki sınıfta tahta başındaymışız gibi adım adım çözeceğiz. Hazırsan arkana yaslan, kalemini kağıdını hazırla ve başlayalım!
8. Soru: Yukarıda verilen koninin açınımını çiziniz. ($pi = 3$)
Bu soruda bizden bir koniyi makasla kesip açtığımızda nasıl bir şekil oluşacağını çizmemiz isteniyor. Koninin açınımı iki parçadan oluşur: Biri tabandaki daire, diğeri ise yanal yüzeyi oluşturan daire dilimidir.
Çözüm Adımları:
- Adım 1: Önce elimizdeki bilgilere bakalım. Koninin taban yarıçapı ($r$) 2 cm, ana doğrusu ($l$) yani yan uzunluğu 5 cm verilmiş.
- Adım 2: Açınımı çizdiğimizde yanal yüzey, büyük bir dairenin dilimi (pastanın bir dilimi gibi) olur. Bu dilimin yarıçapı, koninin ana doğrusu olan 5 cm’dir.
- Adım 3: Peki bu dilimin açısı kaç derece olacak? Bunu bulmak için harika bir formülümüz var: $frac{r}{l} = frac{alpha}{360}$.
- Adım 4: Değerleri yerine koyalım:
$frac{2}{5} = frac{alpha}{360}$
Burada içler dışlar çarpımı yaparsak veya orantı kurarsak; 360’ı 5’e bölüp 2 ile çarpmamız gerekir.
$360 / 5 = 72$
$72 times 2 = 144$ - Sonuç: Çizmen gereken şekil şöyledir:
1. Yarıçapı 5 cm olan ve merkez açısı 144 derece olan bir daire dilimi çizmelisin.
2. Bu dilimin yayının altına (veya üstüne) teğet olacak şekilde yarıçapı 2 cm olan tam bir daire (taban) eklemelisin. İşte açınım bu!
9. Soru: 8. soruda verilen koninin temel elemanlarını eşleştiriniz.
Burada az önceki koninin parçalarının isimlerini doğru yerlere koyacağız. Geometride isimleri bilmek çok önemlidir.
Çözüm:
- I. T: Şeklin en tepesindeki sivri nokta. Buna Tepe Noktası diyoruz.
$rightarrow$ ç) Tepe noktası - II. Taban: Koninin yere basan yuvarlak kısmı.
$rightarrow$ a) O merkezli daire - III. Ana doğru: Tepe noktasından tabanın kenarına giden yan çizgi. Uzunluğu 5 cm olan yer.
$rightarrow$ b) [TL] - IV. Yükseklik: Tepe noktasından tabanın tam ortasına (merkezine) inen dikme.
$rightarrow$ c) [TO]
10. Soru: Yukarıdaki piramidin temel elemanlarını belirleyerek açınımını çiziniz.
Burada tabanı kare olan bir piramit görüyoruz. Gel önce elemanlarını tanıyalım, sonra açalım.
Çözüm ve Açıklama:
- Temel Elemanlar:
– Taban: ABCD karesi.
– Yanal Yüzler: 4 adet üçgen (TAB, TBC, TCD, TDA üçgenleri).
– Tepe Noktası: T noktası.
– Cisim Yüksekliği: [TH] (Tepeden tabanın merkezine inen dikme).
– Yan Yüz Yüksekliği: [TK] (Yan taraftaki üçgenin yüksekliği). - Açınımı Nasıl Çizilir?
Hayal et, piramidi tepesinden açıp yere seriyorsun.
1. Ortaya bir kare çiz (Taban).
2. Karenin her bir kenarına birer tane ikizkenar üçgen ekle.
3. Sonuçta ortada bir kare ve etrafında dört yapraklı yonca gibi duran dört üçgen olacak. Bu şekil “yıldız”a benzer.
11. Soru: Açınımı verilen dik silindirin inşa edilmiş hali aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru verilmiştir? ($pi = 3$)
Bu soru tam bir dedektiflik sorusu! Elimizdeki ipuçlarından silindirin yarıçapını bulmalıyız.
Çözüm Adımları:
- Adım 1: Açınımda verilen dikdörtgenin uzun kenarı (24 cm), silindirin tabanındaki dairenin çevresine eşittir. Çünkü bu kağıdı kıvırdığımızda daireyi tam sarması gerekir.
- Adım 2: Dairenin Çevresi formülü neydi? $Çevre = 2 cdot pi cdot r$.
- Adım 3: Verilenleri yerine koyalım ($pi = 3$ alıyoruz):
$2 cdot 3 cdot r = 24$
$6 cdot r = 24$
Buradan $r = 4$ cm buluruz. Demek ki silindirimizin yarıçapı 4 cm olacak. - Adım 4: Yükseklik zaten dikdörtgenin kısa kenarıdır, yani 6 cm.
- Adım 5: Şimdi şıklara bakalım. Yarıçapı ($r$) 4 cm ve yüksekliği ($h$) 6 cm olan silindiri arıyoruz.
A) Yarıçap 2 cm (Yanlış)
B) Yarıçap 6 cm (Yanlış)
C) Yarıçap 4 cm, Yükseklik 6 cm (Doğru!)
D) Yarıçap 8 cm (Yanlış)
Doğru Cevap: C seçeneğidir.
12. Soru: Yüzey alanı ile hacmi sayıca eşit olan dik dairesel silindirin taban yarıçapı 4 cm’dir. Buna göre silindirin yüksekliği aşağıdakilerden hangisidir?
Burada biraz denklem kuracağız ama korkma, çok basit. “Sayıca eşit” demek, formüllerin sonuçları aynı çıkıyor demek.
Çözüm Adımları:
- Adım 1: Formülleri hatırlayalım.
Hacim Formülü ($V$): $pi cdot r^2 cdot h$
Yüzey Alanı Formülü ($A$): $2 cdot pi cdot r^2$ (alt ve üst taban) + $2 cdot pi cdot r cdot h$ (yanal alan) - Adım 2: Soruda $r = 4$ verilmiş. Bu değeri formüllerde yerine yazıp birbirine eşitleyelim.
Hacim = Alan
$pi cdot 4^2 cdot h = 2 cdot pi cdot 4^2 + 2 cdot pi cdot 4 cdot h$ - Adım 3: İşlemleri düzenleyelim ($4^2 = 16$):
$16 cdot pi cdot h = 32 cdot pi + 8 cdot pi cdot h$ - Adım 4: Her tarafta $pi$ var, işimiz kolaylaşsın diye hepsini $pi$’ye bölüp $pi$’leri atalım.
$16h = 32 + 8h$ - Adım 5: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler bir tarafa. $8h$’yi sol tarafa eksi olarak atalım.
$16h – 8h = 32$
$8h = 32$ - Adım 6: Her iki tarafı 8’e bölelim.
$h = 4$
Demek ki silindirin yüksekliği 4 cm olmalıymış.
Doğru Cevap: B seçeneğidir.
Umarım anlatım açıklayıcı olmuştur. Geometri, şekilleri hayal ettiğinde ve formülleri yerine koyduğunda bulmaca çözmek kadar zevklidir. Başarılar dilerim!