Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle paylaştığınız çalışma sayfasındaki rasyonel denklemler ve problemler üzerine harika bir pratik yapacağız. Matematikte en önemli kural; adımları dikkatli takip etmek ve işlem hatası yapmamak için kontrol etmektir. Hazırsanız, kağıt kalemlerinizi alın, soruları birlikte çözmeye başlayalım.
1. Soru: Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz.
Burada rasyonel denklemler görüyoruz. Bu tür sorularda ilk hedefimiz paydaları eşitleyerek kesirlerden kurtulmak olmalı. Birkaç örneği detaylıca inceleyelim:
a) $frac{x}{2} – frac{x}{7} = 4$
- Adım 1: Paydaları eşitleyelim. 2 ve 7’nin en küçük ortak katı 14’tür. İlk kesri 7 ile, ikinci kesri 2 ile genişletelim.
- $frac{7x}{14} – frac{2x}{14} = 4$
- Adım 2: Paydalar eşitlendiğine göre payları çıkarabiliriz.
- $frac{5x}{14} = 4$
- Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım. 14’ü karşıya çarpı olarak atalım.
- $5x = 14 cdot 4$
- $5x = 56$
- Sonuç: Her iki tarafı 5’e bölersek, $x = frac{56}{5}$ (veya 11,2) bulunur.
f) $frac{2x-3}{4} + frac{x}{8} = x – 3$
- Adım 1: Paydaları eşitleyelim. En büyük payda 8 olduğu için hepsini 8’de eşitleyebiliriz. İlk kesri 2 ile genişletelim. Eşitliğin sağ tarafının paydasında gizli 1 vardır, onu da 8 ile genişletelim.
- $frac{2 cdot (2x-3)}{8} + frac{x}{8} = frac{8 cdot (x-3)}{8}$
- Adım 2: Paydalar eşit olduğu için artık onları görmezden gelebiliriz. Sadece paylarla işlem yapalım.
- $2(2x-3) + x = 8(x-3)$
- Adım 3: Parantezleri dağıtalım.
- $4x – 6 + x = 8x – 24$
- Adım 4: Benzer terimleri toplayalım.
- $5x – 6 = 8x – 24$
- Adım 5: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa. $5x$’i sağa, $-24$’ü sola atalım.
- $24 – 6 = 8x – 5x$
- $18 = 3x$
- Sonuç: $x = 6$ bulunur.
ç) $frac{x+1}{3} – 2 = frac{2x}{3} – 7$
- Adım 1: Bilinenleri ve bilinmeyenleri gruplayalım. $frac{x+1}{3}$ ifadesini sağ tarafa, $-7$’yi sol tarafa alalım.
- $7 – 2 = frac{2x}{3} – frac{x+1}{3}$
- $5 = frac{2x – (x+1)}{3}$ (Dikkat! Eksi işareti parantez içindeki her şeyi etkiler)
- $5 = frac{2x – x – 1}{3}$
- $5 = frac{x – 1}{3}$
- Adım 2: İçler dışlar çarpımı yapalım.
- $15 = x – 1$
- Sonuç: $x = 16$ bulunur.
2. Soru: Aşağıda verilen denklemin çözüm basamaklarının ilk hangisinde hata yapılmıştır?
Bu soru çok önemli çünkü sınavlarda en çok yapılan hatayı içeriyor. Adımları dedektif gibi inceleyelim.
Denklem: $frac{x-6}{2} – frac{3x+1}{4} = frac{-5}{2}$
- 1. Adım: Paydalar 4’te eşitlenmiş. $frac{2(x-6)}{4} – frac{3x+1}{4} = frac{2(-5)}{4}$. Bu adım doğru.
- 2. Adım: Parantezler açılmış. $frac{2x-12}{4} – frac{3x+1}{4} = frac{-10}{4}$. Bu adım da doğru.
- 3. Adım: Kesirler birleştirilmiş. $frac{2x-12-3x+1}{4}$. DUR! İşte hatayı yakaladık.
Açıklama: İki kesir arasındaki eksi (-) işareti, ikinci kesrin payındaki tüm terimleri etkiler. Yani $-(3x+1)$ işlemi $-3x – 1$ olmalıydı. Ancak çözümde $-3x + 1$ olarak yazılmış, yani $+1$’in işareti değiştirilmemiş.
Sonuç: İlk hata 3. Adım‘da yapılmıştır.
3. Soru: Bir sınıfın $frac{2}{5}$’si kızdır. Sınıfta 18 erkek öğrenci olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?
Bu bir kesir problemi. Tamamı her zaman 1 (veya $frac{5}{5}$) olarak düşünülür.
- Adım 1: Sınıfın $frac{2}{5}$’si kız ise, geri kalanı erkektir.
- Erkeklerin oranı = $frac{5}{5} – frac{2}{5} = frac{3}{5}$’tir.
- Adım 2: Bize erkek öğrenci sayısının 18 olduğu söylenmiş. Demek ki sınıfın $frac{3}{5}$’ü 18 kişiye eşitmiş.
- Adım 3: $frac{3}{5}$’ü 18 ise, $frac{1}{5}$’ini bulmak için 18’i 3’e böleriz.
- $18 / 3 = 6$ (Bu, sınıfın 5 parçasından 1 tanesidir).
- Adım 4: Sınıfın tamamı $frac{5}{5}$ olduğu için, bulduğumuz parçayı 5 ile çarparız.
- $6 cdot 5 = 30$
Sonuç: Sınıf mevcudu 30 öğrencidir.
4. Soru: Bir top kumaşın önce $frac{1}{4}$’i sonra kalan kısmının $frac{1}{6}$’i satılıyor. 7 m kumaş kaldığına göre bir top kumaş kaç m’dir?
“Kalan kısmının” ifadesi bu sorunun anahtarıdır. Adım adım gidelim.
- Adım 1: Kumaşın tamamına $x$ diyelim veya bir bütün olarak düşünelim. Önce $frac{1}{4}$’i satıldı.
- Geriye kalan kumaş: $1 – frac{1}{4} = frac{3}{4}$’tür.
- Adım 2: Şimdi bu kalanın ($frac{3}{4}$’ün) $frac{1}{6}$’i satılıyor. Bunu bulmak için çarpma yaparız.
- İkinci satılan kısım: $frac{3}{4} cdot frac{1}{6} = frac{3}{24}$. Sadeleştirirsek $frac{1}{8}$ eder.
- Adım 3: Toplam ne kadar satıldı bulalım. İlk satış ($frac{1}{4}$) + İkinci satış ($frac{1}{8}$).
- $frac{2}{8} + frac{1}{8} = frac{3}{8}$ kumaş satılmış.
- Adım 4: Geriye ne kadar kaldığını bulalım. Tamamından satılanı çıkaralım.
- $1 – frac{3}{8} = frac{5}{8}$ kumaş kalmış.
- Adım 5: Soruda bize kalan kumaşın 7 metre olduğu söylenmiş. Yani kumaşın $frac{5}{8}$’i 7 metreymiş.
- $frac{5x}{8} = 7$
- $5x = 56$
- $x = frac{56}{5} = 11,2$ metre.
Sonuç: Bir top kumaş 11,2 metredir (veya $frac{56}{5}$ metre).
5. Soru: $frac{2x+6}{4} = 3x – a$ denklemini sağlayan x değeri 1 ise a kaçtır?
Bu soruda bize $x$’in değerini vermiş. Yapmamız gereken tek şey $x$ gördüğümüz yere 1 yazmak ve $a$’yı bulmak.
- Adım 1: Denklemde $x$ yerine 1 yazalım.
- $frac{2 cdot 1 + 6}{4} = 3 cdot 1 – a$
- Adım 2: İşlemleri yapalım.
- $frac{2 + 6}{4} = 3 – a$
- $frac{8}{4} = 3 – a$
- $2 = 3 – a$
- Adım 3: $a$’yı bulmak için yalnız bırakalım. $a$’yı sol tarafa, 2’yi sağ tarafa atalım.
- $a = 3 – 2$
- $a = 1$
Sonuç: Doğru cevap C) 1 seçeneğidir.