Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle beraber “Öğrendiklerimizi Uygulayalım” kısmındaki soruları inceleyeceğiz. Çarpanlar ve Katlar konusunun en önemli yerlerinden biri olan “Aralarında Asal Sayılar” konusunu pekiştireceğiz. LGS yolculuğunda bu temel kavramlar çok işimize yarayacak. Hazırsan kağıdını kalemini al, soruları adım adım çözelim!
1. Soru: Aşağıdaki ifadelerde bırakılan boşlukları tamamlayınız.
Bu soruda temel asal sayı bilgilerimizi tazelememiz isteniyor. Haydi boşlukları tek tek dolduralım.
- En küçük asal sayı 2‘dir.
(Unutma, 1 asal sayı değildir. Asal sayılar 2’den başlar.) - Hem çift hem de asal olan tek sayı 2‘dir.
(2 dışındaki tüm çift sayılar 2’ye bölünebildiği için asal olamazlar. 2, çift olan yegane asal sayımızdır.) - 1’den başka ortak çarpanı olmayan sayı çiftlerine aralarında asal sayılar denir.
(Bu tanım çok önemli! İki sayının aralarında asal olması için sayıların kendilerinin asal olmasına gerek yoktur, sadece ortak bölenlerinin olmaması yeterlidir.)
2. Soru: Aşağıda verilen sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyiniz.
Şimdi dedektif gibi davranacağız. Verilen çiftlerin “1” dışında ortak bir böleni var mı diye kontrol edeceğiz. Eğer ortak bölen bulursak aralarında asal değillerdir.
Adım 1: 9 ve 36
9 sayısı 3’e bölünür. 36 sayısı da 3’e bölünür (hatta 9’a da bölünür).
Ortak bölenleri olduğu için bu sayılar aralarında asal değildir.
Adım 2: 24 ve 63
24 sayısı 3’e bölünür (2+4=6). 63 sayısı da 3’e bölünür (6+3=9).
İkisi de 3’e bölündüğü için aralarında asal değildir.
Adım 3: 15 ve 28
15’in bölenleri: 1, 3, 5, 15
28’in bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Bakıyoruz, 1 dışında ortak hiçbir sayı yok. O halde 15 ve 28 aralarında asaldır.
Adım 4: 18 ve 49
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
49’un bölenleri: 1, 7, 49
Ortak bölen sadece 1. O halde 18 ve 49 aralarında asaldır.
Adım 5: 44 ve 62
İkisi de çift sayı! Çift sayıların hepsi 2’ye bölünür.
Bu yüzden aralarında asal değildirler.
Adım 6: 102 ve 68
Burada da ikisi çift sayı. Hiç uzun uzun düşünmeye gerek yok, ikisi de 2’ye bölünebildiği için aralarında asal değildir.
Sonuç: Aralarında asal olan çiftler 15 ve 28 ile 18 ve 49‘dur.
3. Soru: Aralarında asal iki sayı, x ve y olsun. x / y = 18 / 32 olduğuna göre x . y kaçtır?
Bu soru tipi sınavlarda çok sık karşına çıkar. Burada dikkat etmemiz gereken altın kural şudur: Eğer x ve y aralarında asal ise, karşılarındaki kesir (rasyonel sayı) en sade halinde olmalıdır.
Adım 1: Kesri İncele
Bize verilen eşitlik: x / y = 18 / 32
Burada hemen x=18 ve y=32 diyemeyiz. Neden? Çünkü 18 ve 32 aralarında asal değildir (ikisi de 2’ye bölünür). Soruda bize x ve y’nin aralarında asal olduğu söylenmiş.
Adım 2: Sadeleştirme Yap
18 ve 32 sayılarını sadeleştirelim. İkisini de 2’ye bölelim:
- 18 ÷ 2 = 9
- 32 ÷ 2 = 16
Yeni kesrimiz: 9 / 16 oldu.
Adım 3: Kontrol Et
Şimdi kontrol edelim: 9 ve 16 aralarında asal mı?
9’un bölenleri (1, 3, 9) ve 16’nın bölenleri (1, 2, 4, 8, 16). Ortak bölen yok. Evet, aralarında asallar!
O halde artık eşleştirme yapabiliriz:
x = 9
y = 16
Adım 4: Sonucu Bul
Soruda bizden x . y (x çarpı y) istenmiş.
9 x 16 işlemini yapalım:
9 x 10 = 90
9 x 6 = 54
90 + 54 = 144
Cevap: 144
Harika bir iş çıkardın! Bu konuyu pekiştirmek için aralarında asal sayılarla ilgili sadeleştirme sorularından bol bol çözmeni tavsiye ederim. Başarılar dilerim!