8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 161

Harika sorular! Hadi birlikte bu iki soruyu adım adım, tane tane çözelim. Unutma, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları sırasıyla takip etmektir. Hazırsan başlayalım!

Soru 25: 1 ve 2. kutularda özdeş kırmızı ve beyaz renkli toplar vardır. 1. kutunun içinde kaç top olduğu bilinmezken 2. kutuda 5 adet kırmızı 1 adet beyaz top vardır.

1. kutunun içinden rastgele bir top alındığında alınan bu topun renginin kırmızı olma olasılığının 2/3 olduğu bilinmektedir.

1. kutuda bulunan tüm toplar 2. kutuya konulduktan sonra 2. kutudan rastgele alınan bir topun beyaz renkli olma olasılığı 1/4 olmaktadır.

Buna göre iki kutuda toplam kaç adet top vardır?

• A) 10
• B) 12
• C) 14
• D) 16

Çözüm:

Sevgili öğrencim, bu bir olasılık sorusu. Sakin olalım ve sorunun bize verdiği ipuçlarını tek tek kullanalım.

• Adım 1: 1. Kutuyu Analiz Edelim

  Bize 1. kutudan kırmızı top çekme olasılığının 2/3 olduğu söylenmiş. Olasılık neydi? İstenen durum sayısı / Toplam durum sayısı. Bu durumda:

  Kırmızı Top Sayısı / Toplam Top Sayısı = 2 / 3

  Bu orandan anlıyoruz ki, 1. kutudaki toplam top sayısı 3’ün bir katı olmalı. Kırmızı top sayısı da 2’nin aynı katı olmalı. Mesela, eğer 2 kırmızı top varsa, toplam 3 top vardır (yani 1 tane de beyaz). Eğer 4 kırmızı top varsa, toplam 6 top vardır (yani 2 tane de beyaz). Bu oranı aklımızda tutalım. Kırmızı top sayısına 2k, toplam top sayısına 3k diyelim. Bu durumda beyaz top sayısı da k olur.

• Adım 2: Kutuları Birleştirelim

  Şimdi 1. kutudaki bütün topları 2. kutuya atıyoruz. Önce 2. kutuda ne vardı bir bakalım:

  5 kırmızı top + 1 beyaz top = 6 top

  1. kutudan gelen 2k kırmızı ve k beyaz topu bu kutuya ekleyelim. Yeni durumda 2. kutudaki top sayıları:

  • Yeni Kırmızı Top Sayısı: 5 + 2k
  • Yeni Beyaz Top Sayısı: 1 + k
  • Yeni Toplam Top Sayısı: (5 + 2k) + (1 + k) = 6 + 3k
• Adım 3: Son Olasılığı Kullanalım

  Kutuları birleştirdikten sonra, bu yeni karışımdan beyaz top çekme olasılığının 1/4 olduğu söyleniyor. Haydi bu olasılığı yazalım:

  Yeni Beyaz Top Sayısı / Yeni Toplam Top Sayısı = 1 / 4

  (1 + k) / (6 + 3k) = 1 / 4

  Şimdi yapmamız gereken tek şey bu denklemi çözmek. İçler dışlar çarpımı yapalım:

  4 * (1 + k) = 1 * (6 + 3k)

  4 + 4k = 6 + 3k

  Denklemde k’ları bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım. 3k’yı sola, 4’ü sağa atalım:

  4k – 3k = 6 – 4

  k = 2

• Adım 4: Toplam Top Sayısını Bulalım

  Harika! k’nın değerini 2 olarak bulduk. Soru bizden en başta iki kutuda toplam kaç top olduğunu istiyordu.

  • 1. Kutudaki Top Sayısı: 3k idi. Yani 3 * 2 = 6 top
  • 2. Kutudaki Top Sayısı: Zaten 6 top vardı.

  Toplam top sayısı = (1. Kutudaki Toplar) + (2. Kutudaki Toplar)

  Toplam = 6 + 6 = 12

Sonuç:

Doğru cevap B) 12‘dir.

Soru 26: Kısa kenar uzunlukları 3 birim olan ABCD dikdörtgeni ile EFGH dikdörtgeninin alanları sırası ile (3a + 6) br² ve (6a + 18) br² dir. Bu iki dikdörtgen eş kenarlarından uç uca birleştirilerek yeni bir dikdörtgen elde ediliyor. Buna göre elde edilen dikdörtgenin çevre uzunluğu kaç birim olur?

• A) 6a + 22
• B) 9a + 20
• C) 6a + 11
• D) 9a + 22

Çözüm:

Bu soru da cebirsel ifadelerle ilgili. Dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini hatırlayarak kolayca çözeceğiz.

• Adım 1: Dikdörtgenlerin Uzun Kenarlarını Bulalım

  Biliyorsun ki, Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar. Bize alanı ve kısa kenarı vermiş, o zaman uzun kenarı bulmak için alanı kısa kenara bölmeliyiz.

  ABCD Dikdörtgeni için:

  Uzun Kenar = Alan / Kısa Kenar = (3a + 6) / 3

  Burada (3a + 6) ifadesini 3 ortak parantezine alabiliriz: 3(a + 2). Şimdi bölelim:

  Uzun Kenar = 3(a + 2) / 3 = a + 2

  EFGH Dikdörtgeni için:

  Uzun Kenar = Alan / Kısa Kenar = (6a + 18) / 3

  Burada da (6a + 18) ifadesini 6 ortak parantezine alabiliriz ama 3’e böleceğimiz için 3 ortak parantezine alalım: 3(2a + 6). Şimdi bölelim:

  Uzun Kenar = 3(2a + 6) / 3 = 2a + 6

• Adım 2: Yeni Dikdörtgeni Hayal Edelim ve Boyutlarını Bulalım

  Bu iki dikdörtgen, “eş kenarlarından” birleştiriliyor. Soruda ikisinin de kısa kenarının 3 birim olduğu söylenmişti. Demek ki bu iki dikdörtgeni 3 birimlik kenarlarından yan yana yapıştırıyoruz.

  Bu durumda ortaya çıkan yeni büyük dikdörtgenin;

  • Kısa kenarı değişmez, yine 3 birim olur.
  • Uzun kenarı ise iki dikdörtgenin uzun kenarlarının toplamı olur.

  Yeni Uzun Kenar = (ABCD’nin uzun kenarı) + (EFGH’nin uzun kenarı)

  Yeni Uzun Kenar = (a + 2) + (2a + 6)

  Benzer terimleri toplayalım (a’ları kendi arasında, sayıları kendi arasında):

  Yeni Uzun Kenar = (a + 2a) + (2 + 6) = 3a + 8

• Adım 3: Yeni Dikdörtgenin Çevresini Hesaplayalım

  Bir dikdörtgenin çevresi nasıl bulunurdu? Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar). Artık yeni dikdörtgenimizin kısa ve uzun kenarlarını biliyoruz.

  Çevre = 2 x (3 + (3a + 8))

  Önce parantez içini toparlayalım:

  Çevre = 2 x (3a + 11)

  Şimdi 2’yi parantezin içine dağıtalım:

  Çevre = (2 * 3a) + (2 * 11)

  Çevre = 6a + 22

Sonuç:

Elde edilen yeni dikdörtgenin çevre uzunluğu A) 6a + 22 birimdir.

Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir nokta olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!