Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle kitabımızdaki bir alıştırmayı ve etkinliği birlikte çözeceğiz. Bu sorular, cebirsel ifadeleri ve özellikle tam kare ifadeleri çarpanlara ayırma konusunu daha iyi kavramamıza yardımcı olacak. Hazırsanız, haydi başlayalım!
Soru: Çağdaş Bey, odasında bulunan kare şeklindeki aynaya bakarken aynanın bir yüzünün alanını (x + 8)² m² olarak belirtiyor. Buna göre aynanın bir kenar uzunluğu metre biriminde belirtilirken nasıl bir yol izlenmelidir? Açıklayınız.
Çözüm:
Arkadaşlar, bu soruyu çözmek için öncelikle bir karenin alanının nasıl bulunduğunu hatırlamamız gerekiyor. Bir karenin bütün kenarları birbirine eşittir ve alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpılmasıyla, yani kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur.
Karenin Alanı = (Bir Kenar Uzunluğu) x (Bir Kenar Uzunluğu) = (Bir Kenar Uzunluğu)²
Şimdi soruda verilen bilgileri bu formülle birleştirelim.
Adım 1: Soruda bize kare şeklindeki aynanın alanı (x + 8)² m² olarak verilmiş.
Adım 2: Alan formülümüz Alan = (Bir Kenar Uzunluğu)² idi. Verilen alanı bu formülün yerine koyarsak:
(x + 8)² = (Bir Kenar Uzunluğu)²
Adım 3: Bu eşitlik bize çok net bir şekilde gösteriyor ki, aynanın bir kenar uzunluğu (x + 8) metre olmalıdır. Bir ifadenin alanı onun karesi ise, kenar uzunluğu o ifadenin kendisidir.
Sonuç:
Aynanın bir kenar uzunluğu (x + 8) metredir.
Etkinlik
Şimdi de altındaki etkinliği adım adım yapalım. Bu etkinlik, cebirsel ifadeleri somut materyallerle, yani cebir karolarıyla anlamamızı sağlayacak.
- 1. Adım:1 adet kare şeklindeki yeşil (x²), 8 adet dikdörtgen şeklindeki mavi (x) ve 16 adet kare şeklindeki turuncu (1) cebir karosunu kullanarak bir kare modelleyiniz.
Açıklama: Bu karoları bir araya getirerek büyük bir kare oluşturmaya çalışalım. Büyük yeşil (x²) karoyu ortaya koyalım. 8 mavi (x) karonun 4 tanesini yeşil karonun üst kenarına, diğer 4 tanesini de sağ kenarına dizelim. Böylece büyük bir L şekli oluşur. Köşede oluşan 4×4’lük boşluğu da 16 tane turuncu (1’lik) karoyla doldurduğumuzda, tam bir kare elde ettiğimizi görürüz.
- 2. Adım:Modellediğiniz karenin alanını belirten cebirsel ifadeyi, modelde kullandığınız cebir karolarını temsil eden cebirsel ifade ve sayıları toplayarak bulduğunuz sonucu not ediniz.
Açıklama: Modelimizde kullandığımız karoların alanlarını toplayalım.
- 1 tane yeşil karo: x²
- 8 tane mavi karo: 8x
- 16 tane turuncu karo: 16
Bu ifadelerin hepsinin toplamı, oluşturduğumuz büyük karenin alanını verir.
Sonuç: Alan = x² + 8x + 16
- 3. Adım:Karenin bir kenar uzunluğunu belirten cebirsel ifadeyi belirleyiniz.
Açıklama: Oluşturduğumuz büyük kareye bakalım. Karenin bir kenarı, yeşil karonun bir kenarından (uzunluğu x) ve yanına dizdiğimiz 4 tane turuncu karonun kenarlarından (her birinin uzunluğu 1) oluşur.
Yani bir kenar uzunluğu = x + 1 + 1 + 1 + 1
Sonuç: Karenin bir kenar uzunluğu (x + 4)‘tür.
- 4. Adım:Karenin alanını, karenin bir kenar uzunluğunu kendisi ile çarpma işlemi biçiminde yazarak belirleyiniz.
Açıklama: Bir önceki adımda kenar uzunluğunu (x + 4) olarak bulmuştuk. Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımıdır.
Alan = (x + 4) * (x + 4)
Sonuç: Alan = (x + 4)²
- 5. Adım:Not ettiğiniz cebirsel ifade ile yazdığınız çarpma işlemi arasındaki ilişkiyi belirtiniz.
Açıklama: Bakın ne kadar ilginç! İki farklı yoldan da aynı karenin alanını hesapladık. Birincisinde karoları toplayarak x² + 8x + 16 bulduk. İkincisinde ise kenar uzunluklarını çarparak (x + 4)² bulduk. Bu demek oluyor ki bu iki ifade aslında birbirinin aynısıdır!
İlişki:x² + 8x + 16 = (x + 4)²
Bu, matematikte “özdeşlik” dediğimiz şeydir. Özellikle de bu, tam kare özdeşliğidir.
- 6. Adım:Belirttiğiniz ilişkiye göre tam kare olan cebirsel ifade çarpanlara ayrılırken kullanılabilecek bir yöntem belirleyiniz. Yöntemi nasıl belirlediğinizi açıklayınız.
Açıklama: Elimizde x² + 8x + 16 gibi bir ifade olduğunda, bunun bir tam kare olup olmadığını ve çarpanlarının ne olduğunu nasıl anlarız? İşte yöntemimiz:
Adım 1: Birinci terimin (x²) karekökünü alalım. → x
Adım 2: Son terimin (16) karekökünü alalım. → 4
Adım 3: Bulduğumuz bu iki ifadenin (x ve 4) çarpımının iki katını alalım. → 2 * x * 4 = 8x
Adım 4: Bu sonuç (8x), ifadenin ortasındaki terimle aynı mı? Evet, aynı!
Yöntem ve Sonuç: Eğer bu kontrolü sağlarsa, ifademiz bir tam karedir. Çarpanlarına ayrılmış hali de 1. ve 2. adımlarda bulduğumuz ifadelerin (x ve 4), ortadaki terimin işaretiyle (+ veya -) birleştirilip karesinin alınmasıyla bulunur.
Yani: x² + 8x + 16 = (x + 4)² şeklinde kolayca yazabiliriz.
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, matematik pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!