Harika sorular, sevgili öğrencim! Hadi gel bu alıştırmaları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Unutma, geometrinin en temel kurallarını kullanarak bu soruları kolayca halledebiliriz.
Soru 1:Yandaki KLM’nde m(L) = 63°, m(M) = 58° olduğuna göre KLM üçgeninin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki çok önemli bir kuralı hatırlamamız gerekiyor: Bir üçgende küçük açının karşısında kısa kenar, büyük açının karşısında uzun kenar bulunur. Bu kuralı uygulamak için önce üçgenin verilmeyen açısını bulmalıyız.
Adım 1: Üçgenin verilmeyen açısını bulalım.
Biliyorsun ki bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°‘dir. Bize L ve M açılarının ölçüleri verilmiş. K açısını bulmak için bu iki açıyı toplayıp 180’den çıkaralım.
m(L) + m(M) = 63° + 58° = 121°
m(K) = 180° – 121° = 59°
Adım 2: Açıları küçükten büyüğe sıralayalım.
Şimdi üçgenin bütün açılarını biliyoruz: m(M) = 58°, m(K) = 59°, m(L) = 63°. Bunları sıralarsak:
m(M) < m(K) < m(L)
58° < 59° < 63°
Adım 3: Kenarları sıralayalım.
Şimdi kuralımızı uygulama zamanı! Her açının karşısındaki kenarı bularak sıralamamızı yapacağız.
- En küçük açı olan M açısının (58°) karşısında |KL| kenarı var.
- Ortanca açı olan K açısının (59°) karşısında |LM| kenarı var.
- En büyük açı olan L açısının (63°) karşısında |KM| kenarı var.
Açıların sırası kenarların sırasıyla aynı olacağından, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralaması şöyledir:
|KL| < |LM| < |KM|
Soru 2:Gökyüzünde hareket eden üç adet balonun birbirlerine göre konumları, yandaki görselde verilmiştir. Buna göre hangi renkteki balonlar birbirine daha yakındır?
Çözüm:
Bu soru aslında ilk sorunun bir benzeri, sadece bir hikaye ile sorulmuş. “Birbirine daha yakın olmak” demek, aralarındaki mesafenin en kısa olması demektir. Üçgenimizde en kısa kenarı bulursak, en yakın iki balonu da bulmuş oluruz. Yine aynı kuralı kullanacağız: En kısa kenar, en küçük açının karşısındadır.
Adım 1: Üçgenin verilmeyen açısını bulalım.
Balonların oluşturduğu üçgenin iki açısı verilmiş: 60° ve 80°. Üçüncü (yeşil balonun olduğu) açıyı bulalım.
60° + 80° = 140°
180° – 140° = 40°
Yeşil balonun olduğu köşedeki açı 40° imiş.
Adım 2: En küçük açıyı ve karşısındaki kenarı bulalım.
Üçgenin açıları 60°, 80° ve 40°. En küçük açımız 40°‘dir. Bu açının karşısındaki kenar, mavi ve kırmızı balonları birleştiren kenardır. Bu kenar üçgenin en kısa kenarıdır.
Adım 3: Sonucu yorumlayalım.
En kısa kenar mavi ve kırmızı balonlar arasında olduğuna göre, birbirine en yakın olan balonlar da onlardır.
Mavi ve kırmızı renkli balonlar birbirine daha yakındır.
Soru 3:Yandaki DEF üçgeninde |DF| = 20 cm, |EF| = 25 cm’dir. DEF üçgeninin çevre uzunluğu 58 cm olduğuna göre DEF üçgenindeki en büyük iç açıyı belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda da yine kenar ve açı ilişkisini kullanacağız. Kuralımız neydi? En büyük açı, en uzun kenarın karşısındadır. Bize iki kenar verilmiş ama üçüncüsü verilmemiş. Onu bulmak için çevre uzunluğunu kullanacağız.
Adım 1: Verilmeyen kenar uzunluğunu bulalım.
Çevre, bütün kenarların toplamı demektir. Verilen kenarları toplayıp çevreden çıkarırsak verilmeyen |DE| kenarını buluruz.
|DF| + |EF| = 20 cm + 25 cm = 45 cm
|DE| = Çevre – (Diğer iki kenarın toplamı)
|DE| = 58 cm – 45 cm = 13 cm
Adım 2: En uzun kenarı belirleyelim.
Artık üçgenin bütün kenar uzunluklarını biliyoruz:
|DE| = 13 cm
|DF| = 20 cm
|EF| = 25 cm
Bu kenarlardan en uzunu 25 cm ile |EF| kenarıdır.
Adım 3: En büyük açıyı bulalım.
En uzun kenar |EF| olduğuna göre, en büyük açı da bu kenarın karşısındaki açı, yani D açısıdır (m(EDF)).
Sonuç olarak, DEF üçgenindeki en büyük iç açı D açısıdır.
Soru 4:Yandaki şekilde ABC ile BDC üçgendir. m(ABC) = 57°, m(BAC) = 80°, m(CBD) = 70° ve |BD| = |CD| olduğuna göre şekildeki en kısa kenar hangisidir?
Çözüm:
Bu soru biraz daha dikkat istiyor çünkü iki üçgeni birden incelememiz gerekiyor. İki üçgeni ayrı ayrı analiz edip bulduğumuz sonuçları birleştireceğiz.
Adım 1: ABC üçgenini inceleyelim.
Önce bu üçgenin verilmeyen açısını bulalım.
m(BAC) + m(ABC) = 80° + 57° = 137°
m(BCA) = 180° – 137° = 43°
Şimdi ABC üçgeninin kenarlarını açılarına göre sıralayalım (küçükten büyüğe):
m(BCA) < m(ABC) < m(BAC) (43° < 57° < 80°)
Bu durumda kenarlar: |AB| < |AC| < |BC|
Bu sıralama şimdilik cebimizde dursun.
Adım 2: BDC üçgenini inceleyelim.
Soruda bize |BD| = |CD| olduğu söylenmiş. Bu demek oluyor ki BDC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Yani m(BCD) açısı da m(CBD) açısına eşittir.
m(BCD) = m(CBD) = 70°
Şimdi bu üçgenin üçüncü açısını, yani m(BDC) açısını bulalım.
70° + 70° = 140°
m(BDC) = 180° – 140° = 40°
Şimdi BDC üçgeninin kenarlarını sıralayalım:
m(BDC) < m(CBD) = m(BCD) (40° < 70° = 70°)
Bu durumda kenarlar: |BC| < |BD| = |CD|
Adım 3: İki sonucu birleştirelim.
Elimizde iki tane sıralama var:
1. sıralama (ABC üçgeninden): |AB| < |AC| < |BC|
2. sıralama (BDC üçgeninden): |BC| < |BD| = |CD|
Gördüğün gibi, |BC| kenarı her iki sıralamada da var ve bir köprü görevi görüyor. İlk sıralamaya göre |AB| kenarı, |BC|’den daha kısa. İkinci sıralamaya göre ise |BC| kenarı, |BD| ve |CD| kenarlarından daha kısa. Bu iki bilgiyi birleştirdiğimizde, şekildeki en kısa kenarın |AB| olduğunu net bir şekilde görebiliriz.
Tüm kenarları birleştirerek sıralarsak: |AB| < |AC| < |BC| < |BD| = |CD|
Bu nedenle şekildeki en kısa kenar |AB| kenarıdır.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!