Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte 1. Ünite Değerlendirme Soruları’nı çözeceğiz. Bu sorular, çarpanlar ve katlar, EBOB-EKOK ve aralarında asallık gibi konuları ne kadar iyi anladığımızı görmemize yardımcı olacak. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Soruları adım adım, tane tane anlatacağım. Anlamadığınız bir yer olursa tekrar okumaktan çekinmeyin.
***
Soru 1. Yandaki kutucuklarda verilen pozitif tam sayılara göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kutucuklardaki sayılar:
A: 140 | B: 242
C: 728 | D: 330
E: 468 | F: 861
a) A kutucuğundaki tam sayının pozitif tam sayı çarpanlarını bulunuz.
Sevgili arkadaşlar, bir sayının çarpanı demek, o sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılar demektir. A kutucuğunda 140 sayısı var. Şimdi 140’ı kalansız bölen sayıları bulalım. Bunu yaparken hangi iki sayının çarpımının 140 olduğunu düşünmek en kolay yoldur.
- 1 x 140 = 140
- 2 x 70 = 140
- 4 x 35 = 140
- 5 x 28 = 140
- 7 x 20 = 140
- 10 x 14 = 140
Şimdi bu sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Sonuç: 140 sayısının pozitif tam sayı çarpanları şunlardır: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140.
b) 3 farklı asal çarpanı olan pozitif tam sayıların bulundukları kutucukları belirleyiniz.
Bu soruyu çözmek için her kutucuktaki sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Hadi sırayla yapalım:
- A (140): 140 = 14 x 10 = (2 x 7) x (2 x 5) = 2² x 5 x 7. Gördüğünüz gibi 3 tane farklı asal çarpanı var: 2, 5 ve 7. (Bu kutucuk uyar)
- B (242): 242 = 2 x 121 = 2 x 11². 2 tane farklı asal çarpanı var: 2 ve 11.
- C (728): 728 = 2 x 364 = 2 x 2 x 182 = 2 x 2 x 2 x 91 = 2³ x 7 x 13. 3 tane farklı asal çarpanı var: 2, 7 ve 13. (Bu kutucuk da uyar)
- D (330): 330 = 10 x 33 = (2 x 5) x (3 x 11). 4 tane farklı asal çarpanı var: 2, 3, 5 ve 11.
- E (468): 468 = 2 x 234 = 2 x 2 x 117 = 2² x 9 x 13 = 2² x 3² x 13. 3 tane farklı asal çarpanı var: 2, 3 ve 13. (Bu kutucuk da uyar)
- F (861): Rakamları toplamı 8+6+1=15, yani 3’e bölünür. 861 = 3 x 287. 287 sayısı 7’ye bölünür. 287 = 7 x 41. Yani 861 = 3 x 7 x 41. 3 tane farklı asal çarpanı var: 3, 7 ve 41. (Bu kutucuk da uyar)
Sonuç: 3 farklı asal çarpanı olan sayılar A, C, E ve F kutucuklarındadır.
c) Kutucuklardaki pozitif tam sayılardan iki basamaklı en büyük pozitif tam sayı ile aralarında asal olanların bulunduğu kutucukları belirleyiniz.
Adım 1: Önce “iki basamaklı en büyük pozitif tam sayı”yı bulalım. Bu sayı tabii ki 99‘dur.
Adım 2: Şimdi 99’un asal çarpanlarını bulalım. Bu bize çok yardımcı olacak. 99 = 9 x 11 = 3² x 11. Yani 99’un asal çarpanları 3 ve 11’dir.
Adım 3: Bir sayının 99 ile aralarında asal olması için, bu sayının ortak böleninin sadece 1 olması gerekir. Kısacası, bu sayının asal çarpanları arasında 3 ve 11 olmamalıdır. Şimdi kutucukları tek tek inceleyelim:
- A (140): Asal çarpanları 2, 5, 7. İçinde 3 veya 11 yok. O zaman 140 ile 99 aralarında asaldır.
- B (242): Asal çarpanları 2, 11. İçinde 11 olduğu için aralarında asal değildir.
- C (728): Asal çarpanları 2, 7, 13. İçinde 3 veya 11 yok. O zaman 728 ile 99 aralarında asaldır.
- D (330): Asal çarpanları 2, 3, 5, 11. İçinde hem 3 hem de 11 var. Aralarında asal değildir.
- E (468): Asal çarpanları 2, 3, 13. İçinde 3 olduğu için aralarında asal değildir.
- F (861): Asal çarpanları 3, 7, 41. İçinde 3 olduğu için aralarında asal değildir.
Sonuç: 99 ile aralarında asal olan sayıların bulunduğu kutucuklar A ve C‘dir.
ç) Üslü ifadelerin çarpımı şeklinde 2³ · 7¹ · 13¹ olarak yazılan pozitif tam sayının bulunduğu kutucuğu belirleyiniz.
Bu soruda yapmamız gereken tek şey, bize verilen üslü ifadeyi hesaplamak ve hangi kutucukta olduğunu bulmak.
2³ · 7¹ · 13¹ = (2 x 2 x 2) x 7 x 13
= 8 x 7 x 13
= 56 x 13
56 ile 13’ü çarpalım: 56 x 10 = 560, 56 x 3 = 168. Toplarsak 560 + 168 = 728.
Sonuç: Sayımız 728‘dir ve bu sayı C kutucuğunda bulunmaktadır.
d) D kutucuğundaki pozitif tam sayıyı üslü ifadelerin çarpımı şeklinde defterinize yazınız.
D kutucuğundaki sayı 330. Bu sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.
330 = 10 x 33
= (2 x 5) x (3 x 11)
Asal sayıları küçükten büyüğe sıralayarak yazalım. Her birinin üssü 1’dir.
Sonuç: 330 = 2¹ · 3¹ · 5¹ · 11¹
***
Soru 2. Yukarıda verilen şemadaki ifadeleri en soldan başlayarak inceleyiniz. İfadeler doğru ise “D”, yanlış ise “Y” yolunu takip ediniz. Kaçıncı çıkışa ulaştınız? Yazınız.
Hadi bu şemayı bir labirent gibi düşünelim ve doğru yolu bulmaya çalışalım!
Adım 1: İlk Kavşak
İfade: EBOB (120, 130) = 10
120 ve 130’un En Büyük Ortak Böleni’ni (EBOB) bulalım. İkisinin de sonunda 0 olduğu için 10’a bölündükleri çok açık.
120 = 10 x 12
130 = 10 x 13
12 ve 13 aralarında asal olduğu için başka ortak bölenleri yoktur. Demek ki EBOB’ları 10’dur.
Bu ifade DOĞRU. O zaman “D” yolundan devam ediyoruz.
Adım 2: İkinci Kavşak
İfade: EKOK (10, 11) = 110
10 ve 11’in En Küçük Ortak Katı’nı (EKOK) bulalım. Unutmayın, ardışık sayılar (ve genel olarak aralarında asal sayılar) aralarında asaldır. Aralarında asal iki sayının EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir.
EKOK(10, 11) = 10 x 11 = 110.
Bu ifade de DOĞRU. Yine “D” yolundan devam ediyoruz.
Adım 3: Üçüncü ve Son Kavşak
İfade: EBOB (10, 5) = 10
10 ve 5’in EBOB’unu bulalım. Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise, EBOB her zaman küçük olan sayıya eşittir. Burada 10, 5’in bir katıdır (5 x 2 = 10). Dolayısıyla EBOB(10, 5) = 5 olmalıdır.
Ancak şemada sonuç 10 olarak verilmiş. Bu ifade YANLIŞ. O zaman “Y” yolundan devam etmeliyiz.
Sonuç: Takip ettiğimiz yol: D → D → Y. Bu yol bizi 2. çıkışa ulaştırır.
***
Soru 3. Engin Bey, yanda ölçüleri verilen dikdörtgen şeklindeki tarlasının etrafına eşit aralıklarla ve her köşesine birer tane olmak koşuluyla la fidan dikmiştir. Buna göre Engin Bey, tarlasının etrafına en az kaç fidan dikmiştir?
Merhaba arkadaşlar, bu bir klasik EBOB problemidir. Soruda “eşit aralıklarla” ve “en az fidan” ifadelerini gördüğümüzde aklımıza hemen EBOB gelmeli. En az fidan dikmek için fidanlar arasındaki mesafeyi en büyük tutmalıyız. Bu en büyük mesafe de tarlanın kenar uzunluklarının EBOB’u olur.
Adım 1: Fidanlar arası mesafeyi bulalım (EBOB).
Tarlanın kenar uzunlukları 180 m ve 40 m. Bu iki sayının EBOB’unu bulalım.
EBOB (180, 40) = ?
180 = 10 x 18
40 = 10 x 4
18 ve 4’ün ortak böleni 2’dir. O zaman EBOB = 10 x 2 = 20.
Demek ki fidanlar arasındaki mesafe en fazla 20 metre olabilir.
Adım 2: Toplam fidan sayısını hesaplayalım.
Toplam fidan sayısını bulmanın en kolay yolu, tarlanın çevresini bulup fidanlar arasındaki mesafeye (yani EBOB’a) bölmektir.
Tarlanın Çevresi = 2 x (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Çevre = 2 x (180 + 40)
Çevre = 2 x 220
Çevre = 440 metre
Fidan Sayısı = Çevre / EBOB
Fidan Sayısı = 440 / 20 = 22
Sonuç: Engin Bey tarlasının etrafına en az 22 fidan dikmiştir. Doğru seçenek C) 22‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Hepinize iyi çalışmalar dilerim