Harika bir çalışma! Sevgili öğrencim, gönderdiğin bu iki güzel geometri sorusunu bir öğretmen gözüyle analiz edip, senin en iyi şekilde anlayacağın dilde adım adım çözeceğim. Haydi başlayalım!
***
15. Soru: Bir bilgisayar programında aşağıdaki adımlar uygulanmıştır.
- 1. Adım: Uzunluğu 8 cm olan bir [AB] çiz.
- 2. Adım: m(ABC) = 60°, bir ucu B noktası olan ve uzunluğu 9 cm olan bir [BC] çiz.
- 3. Adım: A ile C noktalarını bir çizgi ile birleştir ve bir ABC üçgenini oluştur.
- 4. Adım: ABC üçgenindeki [AC]’na ait kenarortayı [BH] olarak çiz.
4. adımın sonunda bilgisayar ekranında aşağıdaki üçgen görünmüştür. ABC üçgenindeki |AH| = 5 cm olduğuna göre ekranda görünen ABC üçgeninin çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Çözüm:
Merhaba, bu soruyu çözmek için aslında sorunun metnindeki küçük ama çok önemli bir detayı yakalamamız gerekiyor. Hadi birlikte bakalım!
Unutma, geometride verilen her bilginin bir anlamı vardır. Bazen en önemli ipucu kelimelerin içinde saklıdır.
Adım 1: “Kenarortay” kelimesini anlamak
Sorunun 4. adımında bize diyor ki, [BH], [AC] kenarına ait bir kenarortaydır. Peki bu ne anlama geliyor? Kenarortay, bir köşeden çıktığı karşı kenarı tam ortadan ikiye bölen doğru parçasıdır. Yani H noktası, AC kenarının tam orta noktasıdır. Bu da demek oluyor ki, |AH| uzunluğu ile |HC| uzunluğu birbirine eşittir.
Adım 2: Verilen bilgiyi kullanmak
Sorunun altındaki metinde bize |AH| = 5 cm olduğu bilgisi verilmiş. Madem H orta nokta, o zaman |AH| = |HC| olmalıdır. Bu durumda, |HC| uzunluğu da 5 cm olur.
Adım 3: AC Kenarının Uzunluğunu Bulmak
Artık AC kenarının tamamının uzunluğunu bulabiliriz. AC kenarı, AH ve HC parçalarının birleşiminden oluşur.
|AC| = |AH| + |HC|
|AC| = 5 cm + 5 cm = 10 cm
Adım 4: Üçgenin Çevresini Hesaplamak
Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Soruda bize verilen diğer kenar uzunluklarını hatırlayalım:
- |AB| = 8 cm
- |BC| = 9 cm
Az önce de |AC| kenarını 10 cm olarak bulduk. Şimdi hepsini toplayalım.
Çevre(ABC) = |AB| + |BC| + |AC|
Çevre(ABC) = 8 + 9 + 10 = 27 cm
Not: Sorudaki 60°’lik açı, bu sorunun çözümü için gerekli bir bilgi değil. Bazen sorularda dikkatimizi dağıtmak için fazladan bilgi verilebilir, önemli olan neyi kullanacağımızı bilmektir.
Sonuç:
ABC üçgeninin çevre uzunluğu 27 cm’dir. Doğru seçenek C) şıkkıdır.
***
16. Soru:
Yukarıdaki KLM üçgeninde |KM| = 2x cm ve |LM| = √3x cm’dir.
- x sayısı sıfırdan farklı bir doğal sayıdır.
- KLM üçgeninin kenar uzunlukları cm biriminde birer tam sayıdır.
- Ç(KLM) < 14 cm'dir.
Yukarıda verilen bilgilere göre kaç farklı KLM ikizkenar üçgeni oluşturulabilir?
Çözüm:
Bu soru, birden fazla koşulu aynı anda düşünmemizi isteyen harika bir mantık sorusu. Tüm şartları sırayla ele alarak doğru cevaba ulaşacağız.
Adım 1: Kenarların “tam sayı” olması şartını inceleyelim
Bize verilen kenarlar |KM| = 2x ve |LM| = √3x. Bu uzunlukların birer tam sayı olması gerekiyormuş.
- 2x ifadesi, x yerine hangi doğal sayıyı (1, 2, 3, …) yazarsak yazalım her zaman bir tam sayı olur. (21=2, 22=4, vb.)
- Ancak √3x ifadesinin tam sayı olması için x’in çift bir sayı olması gerekir. Neden mi?
- Eğer x=1 olursa, √31 = √3 olur, bu bir tam sayı değildir.
- Eğer x=2 olursa, √32 = √(3*3) = 3 olur, bu bir tam sayıdır.
- Eğer x=3 olursa, √33 = √(27) = 3√3 olur, bu bir tam sayı değildir.
- Eğer x=4 olursa, √34 = √(81) = 9 olur, bu bir tam sayıdır.
Gördüğün gibi, kökün dışına tam olarak çıkabilmesi için x’in 2, 4, 6 gibi çift bir doğal sayı olması şart.
Adım 2: x için olası değerleri deneyelim
En küçük çift doğal sayı olan x=2 ile başlayalım.
Eğer x=2 ise;
|KM| = 22 = 4 cm
|LM| = √32 = 3 cm
Şimdi elimizde iki kenarı 4 cm ve 3 cm olan bir üçgen var. Soru bize bu üçgenin ikizkenar olduğunu söylüyor. Bu durumda üçüncü kenar olan |KL| ya 4 cm’dir ya da 3 cm’dir. İki olasılığı da değerlendirelim.
Adım 3: İki olasılığı da kontrol edelim
1. Olasılık: |KL| = 4 cm olsun. (Yani |KL| = |KM|)
Kenarlarımız: 4 cm, 4 cm, 3 cm olur.
- Üçgen olma şartını sağlıyor mu? (İki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalı.) Evet, 4+3 > 4. Sağlıyor.
- Çevresi 14’ten küçük mü? Çevre = 4 + 4 + 3 = 11 cm. Evet, 11 < 14. Bu şart da sağlandı.
Demek ki bu, aradığımız üçgenlerden birincisi!
2. Olasılık: |KL| = 3 cm olsun. (Yani |KL| = |LM|)
Kenarlarımız: 4 cm, 3 cm, 3 cm olur.
- Üçgen olma şartını sağlıyor mu? Evet, 3+3 > 4. Sağlıyor.
- Çevresi 14’ten küçük mü? Çevre = 4 + 3 + 3 = 10 cm. Evet, 10 < 14. Bu şart da sağlandı.
Bu da aradığımız üçgenlerden ikincisi!
Adım 4: x için başka değer olabilir mi?
Sıradaki çift sayıyı, yani x=4‘ü deneyelim.
Eğer x=4 ise;
|KM| = 24 = 16 cm
|LM| = √34 = 9 cm
Daha üçüncü kenarı bulmadan bile bu iki kenarın toplamı 16 + 9 = 25 cm ediyor. Soruda bize çevrenin 14 cm’den küçük olması gerektiği söylenmişti. 25, 14’ten çok büyük olduğu için x=4 veya daha büyük bir çift sayı olamaz.
Sonuç:
Tüm koşulları sağlayan sadece 2 farklı ikizkenar üçgen oluşturulabilir. Bu yüzden doğru cevap A) şıkkıdır.