8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 264

Merhaba arkadaşlar, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bugün sizlerle birlikte kitabımızdaki bir etkinliği ve bir örneği adım adım çözeceğiz. Bu konular, üçgenlerde benzerlik ile ilgili ve oldukça önemli. Hazırsanız, haydi başlayalım!

Etkinlik Soruları ve Çözümleri

Öncelikle etkinlikteki yönergeleri tek tek ele alalım ve ne yapmamız gerektiğini anlayalım.

1. Kareli kâğıda ABC ile DEC dik üçgenlerinden oluşan yandaki şekli çiziniz.

Bu adımda bizden istenen şekil zaten görselde verilmiş. Biz bu şekil üzerinden ilerleyeceğiz.

2. Dik üçgenlerin iç açılarının ölçülerini açıölçer kullanarak belirleyiniz.

3. Üçgenlerin karşılıklı iç açıları olan  ile D̂’nin, B̂ ile Ê’nin, ACB ile DCE’nin ölçülerini karşılaştırınız.

Şimdi bu iki adımı birleştirerek üçgenlerimizin açılarını inceleyelim.

• Adım 1: Dik Açıları Bulalım
  Şekle baktığımızda hem ABC üçgenindeki B açısının hem de DEC üçgenindeki E açısının 90 derece (dik açı) olduğunu görüyoruz. Köşelerdeki küçük kare sembolleri bize bunu söylüyor. Yani, m(B̂) = m(Ê) = 90°‘dir.
• Adım 2: C Açısını İnceleyelim
  C noktası iki üçgenin de birleştiği yer. Burada oluşan ACB açısı ile DCE açısı birbirinin ters açısıdır. Geometride öğrendiğimiz gibi, ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir. Dolayısıyla, m(ACB) = m(DCE)‘dir.
• Adım 3: Diğer Açıları Karşılaştıralım
  Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°’dir.
  • ABC üçgeni için: m(Â) + m(B̂) + m(ACB) = 180°
  • DEC üçgeni için: m(D̂) + m(Ê) + m(DCE) = 180°

  Bildiğimiz değerleri yerine koyarsak:

  • m(Â) + 90° + m(ACB) = 180° => m(Â) = 90° – m(ACB)
  • m(D̂) + 90° + m(DCE) = 180° => m(D̂) = 90° – m(DCE)

  m(ACB) ve m(DCE) açıları eşit olduğuna göre, m(Â) ile m(D̂) açıları da birbirine eşittir.

Sonuç: Bu iki üçgenin karşılıklı bütün açıları birbirine eşittir. Bu durum, bu üçgenlerin benzer olduğunu gösterir. (Açı-Açı-Açı Benzerlik Kuralı)

4. Dik üçgenlerin kenar uzunluklarını cetvel kullanarak belirleyiniz.

5. Dik üçgenlerin karşılıklı kenarları olan [AB] ile [DE]’nin, [AC] ile [DC]’nin, [BC] ile [EC]’nin uzunluklarını oranlayınız. Bulduğunuz oranları karşılaştırınız.

Şimdi de kareli kâğıdın birimlerinden faydalanarak kenar uzunluklarını bulalım ve oranlayalım. Her bir kareyi 1 birim olarak kabul edelim.

• Adım 1: Kenar Uzunluklarını Bulma
  • ABC üçgeni:
    • |AB| kenarı dikeyde 2 birim.
    • |BC| kenarı yatayda 4 birim.
  • DEC üçgeni:
    • |DE| kenarı dikeyde 3 birim.
    • |EC| kenarı yatayda 2 birim.
• Adım 2: Karşılıklı Kenarları Oranlama
  Benzer üçgenlerde, eşit açıların karşısındaki kenarlar birbiriyle orantılıdır.
  • Â açısının karşısındaki kenar |BC|, D̂ açısının karşısındaki kenar |EC|’dir. Oranları:
    |BC| / |EC| = 4 / 2 = 2
  • ACB açısının karşısındaki kenar |AB|, DCE açısının karşısındaki kenar |DE|’dir. Oranları:
    |AB| / |DE| = 2 / 3

Dikkat! Burada bir tuhaflık fark ettik mi? Açıların eşit olduğunu bulmuştuk, bu da üçgenlerin benzer olması gerektiğini söylüyordu. Ama kenarları oranladığımızda 2 ve 2/3 gibi farklı sonuçlar bulduk. Bu, sorudaki çizimin aslında tam olarak benzer üçgenleri temsil etmediğini gösteriyor. Eğer bu üçgenler gerçekten benzer olsaydı, bu oranların birbirine eşit çıkması gerekirdi. Bu etkinlik bize şunu öğretmiş oldu: İki üçgenin benzer olması için tüm karşılıklı açılarının eşit olması ve bunun sonucunda tüm karşılıklı kenarlarının oranının da sabit olması gerekir.

6. Yaptığınız karşılaştırmalara göre üçgenler ile ilgili genel bir ifade yazınız.

Genel İfade: İki üçgenin karşılıklı tüm açıları birbirine eşitse bu üçgenlere benzer üçgenler denir. Benzer üçgenlerin, eşit açılarının karşısında bulunan kenarlarının uzunlukları birbiriyle orantılıdır. Bu orana benzerlik oranı denir.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Yukarıdaki ABC ile KLM’nin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer ise üçgenlerin benzerlik oranını bulunuz.

Hadi gelin bu güzel örneği adım adım birlikte çözelim.

• Adım 1: Açıları Karşılaştırma
  İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamanın ilk yolu açılarına bakmaktır.
  • ABC üçgeninin A açısı 46°, KLM üçgeninin K açısı da 46°. Bunlar eşit! m(Â) = m(K̂)
  • ABC üçgeninin B açısı 105°, KLM üçgeninin L açısı da 105°. Bunlar da eşit! m(B̂) = m(L̂)
  • ABC üçgeninin C açısı 29°, KLM üçgeninin M açısı da 29°. Bunlar da eşit! m(Ĉ) = m(M̂)

  Harika! Üçgenlerin karşılıklı bütün açıları birbirine eşit. Bu durumda kesin olarak söyleyebiliriz ki: ABC ~ KLM (ABC üçgeni, KLM üçgenine benzerdir.)

• Adım 2: Benzerlik Oranını Bulma
  Üçgenlerimizin benzer olduğunu ispatladığımıza göre, şimdi benzerlik oranını bulabiliriz. Bunun için eşit açıların karşısındaki kenarları birbirine oranlamamız gerekiyor.
  • A ve K açıları (46°) eşitti. Karşılarındaki kenarlar |BC| ve |LM|’dir.
    Oran: |BC| / |LM| = 3 / 9 = 1/3
  • B ve L açıları (105°) eşitti. Karşılarındaki kenarlar |AC| ve |KM|’dir.
    Oran: |AC| / |KM| = 4 / 12 = 1/3
  • C ve M açıları (29°) eşitti. Karşılarındaki kenarlar |AB| ve |KL|’dir.
    Oran: |AB| / |KL| = 2 / 6 = 1/3

Sonuç: Gördüğünüz gibi, tüm karşılıklı kenarların oranı aynı ve 1/3‘e eşit çıktı. Bu durumda bu iki üçgenin benzerlik oranı 1/3‘tür.

Not: Eğer oranı büyük üçgenin küçük üçgene göre yazsaydık (örneğin |KL| / |AB|), o zaman benzerlik oranı 3 olurdu. Her ikisi de doğrudur, sadece hangi üçgeni hangisine oranladığınıza bağlıdır.