Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle 5. Ünite Değerlendirme Sorularını birlikte çözeceğiz. Bu sorular, üçgenler konusundaki bilgilerimizi pekiştirmek için harika bir fırsat. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım!
1. Soru: Yukarıdaki ABC dar açılı üçgenine, KLM dik açılı üçgenine ve PRS geniş açılı üçgenine birer açıortay, kenarortay ve yükseklik çiziniz.
Bu soruda bizden üç farklı üçgen türü için yardımcı elemanları (açıortay, kenarortay ve yükseklik) çizmemiz isteniyor. Çizim yapamayacağım için size her birini nasıl çizeceğinizi ve özelliklerini anlatacağım. Bu tanımları iyi öğrenmeniz çok önemli!
- Açıortay: Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır. Üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilir.
- Kenarortay: Bir kenarı iki eş parçaya bölen ve karşı köşeyle birleştiren doğru parçasıdır.
- Yükseklik: Bir köşeden karşı kenara indirilen dik doğru parçasıdır.
Şimdi üçgenlerimize bakalım:
ABC Dar Açılı Üçgeni:
Dar açılı üçgenlerde (bütün açıları 90 dereceden küçük olan üçgenler) işimiz oldukça kolaydır. Çünkü tüm açıortaylar, kenarortaylar ve yükseklikler üçgenin iç bölgesinde yer alır.
Örneğin, A köşesinden BC kenarına yükseklik, kenarortay ve açıortay çizebiliriz ve hepsi üçgenin içinde kalır.
KLM Dik Açılı Üçgeni:
Dik açılı üçgenlerde bazı yardımcı elemanlar özel bir durum oluşturur. L köşesi 90 derece.
- Yükseklik: Dik açılı üçgende, dik kenarlar aynı zamanda birbirinin yüksekliğidir. Yani, K köşesinden LM kenarına inen yükseklik KL kenarının kendisidir. M köşesinden KL kenarına inen yükseklik ise LM kenarının kendisidir. L köşesinden hipotenüse (KM kenarına) çizilen yükseklik ise üçgenin içindedir.
- Kenarortay ve Açıortay: Bunlar her zaman olduğu gibi üçgenin iç bölgesindedir.
PRS Geniş Açılı Üçgeni:
Geniş açılı üçgenlerde (bir açısı 90 dereceden büyük olan üçgenler) yüksekliklere dikkat etmeliyiz. R açısı geniş açı.
- Yükseklik: Geniş açının olduğu R köşesinden çizilen yükseklik üçgenin içindedir. Ancak dar açılı köşelerden (P ve S köşeleri) çizilen yükseklikler, karşı kenarların uzantısına indiği için üçgenin dış bölgesinde yer alır.
- Kenarortay ve Açıortay: Geniş açılı üçgenlerde de kenarortaylar ve açıortaylar daima üçgenin iç bölgesindedir.
2. Soru: 6 cm uzunluğundaki bir mavi çubuk ile yandaki kırmızı çubuklardan hangi ikisi kullanılarak bir üçgen oluşturulabilir? Nedenini açıklayınız.
Sevgili arkadaşlar, bu soruyu çözmek için “Üçgen Eşitsizliği” kuralını hatırlamamız gerekiyor. Bu kural bize şunu söyler: Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.
Kısacası, kenarları a, b, c olan bir üçgen için: |a-b| < c < a+b
Elimizde 6 cm’lik bir çubuk var. Diğer iki çubuğu kırmızı çubuklardan seçeceğiz ve bu kurala uyup uymadığını kontrol edeceğiz. Kırmızı çubuklar: 1 cm, 4 cm, 5 cm, 11 cm.
Haydi, 6 cm’lik çubuğumuzu ve kırmızı çubuklardan ikisini alarak deneyelim. En mantıklısı, toplamları 6’dan büyük, farkları 6’dan küçük olan bir ikili bulmaktır.
Adım 1: 4 cm ve 5 cm’lik kırmızı çubukları deneyelim.
Kenarlarımız 4 cm, 5 cm ve 6 cm oldu. Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayalım. Herhangi bir kenarı ortaya alıp diğer ikisinin toplamı ve farkı arasına koyalım. Genellikle en uzun kenarı ortaya almak işimizi kolaylaştırır.
|5 – 4| < 6 < 5 + 4
1 < 6 < 9
Bu eşitsizlik doğru olduğu için, 4 cm ve 5 cm’lik çubuklar ile 6 cm’lik çubuğu birleştirerek bir üçgen oluşturabiliriz.
Peki neden diğerleri olmaz? Örneğin 5 cm ve 11 cm’lik çubukları alsaydık kenarlarımız 5, 6, 11 olurdu. 5 + 6 = 11 olduğu için bu bir üçgen oluşturmaz, düz bir çizgi olur. Unutmayın, toplamları üçüncü kenardan kesinlikle büyük olmalı, eşit olamaz!
Sonuç: 4 cm ve 5 cm uzunluğundaki kırmızı çubuklar kullanılarak bir üçgen oluşturulabilir.
3. Soru: Yandaki PRS üçgeninde m(R) > 90°, |RS| = 8 cm, |PR| = 6 cm ve |PS| = a cm ise a’nın alabileceği doğal sayı değerlerini bulunuz.
Bu soruda iki önemli bilgiyi birleştireceğiz: üçgen eşitsizliği ve geniş açılı üçgen özelliği.
Adım 1: Önce sanki açı hakkında hiçbir şey bilmiyormuşuz gibi normal üçgen eşitsizliğini yazalım.
|8 – 6| < a < 8 + 6
2 < a < 14
Bu eşitsizliğe göre ‘a’ sayısı 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 olabilir. Ama bu sadece ilk adım!
Adım 2: Şimdi soruda verilen m(R) > 90° bilgisini kullanalım. Bu, R açısının geniş açı olduğu anlamına gelir.
Eğer R açısı tam 90° olsaydı, Pisagor bağıntısını kullanırdık: a² = 6² + 8²
a² = 36 + 64
a² = 100
a = 10 cm olurdu.
Ancak soruda bize R açısının 90 dereceden büyük olduğu söyleniyor. Bu durumda, geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmak zorundadır.
Yani, a² > 6² + 8²
a² > 100
Bu da demek oluyor ki, ‘a’ sayısı 10’dan büyük olmalıdır (a > 10).
Adım 3: Şimdi bulduğumuz iki bilgiyi birleştirelim.
- Adım 1’de bulduk: 2 < a < 14
- Adım 2’de bulduk: a > 10
‘a’ hem 14’ten küçük olmalı hem de 10’dan büyük olmalı. Bu iki şartı aynı anda sağlayan doğal sayılar hangileridir?
Tabii ki 11, 12 ve 13.
Sonuç: ‘a’ nın alabileceği doğal sayı değerleri {11, 12, 13}‘tür.
4. Soru: Yandaki şekilde ABC ile CBD üçgendir. |AB| = 8 cm, |AC| = 9 cm, |BD| = 4 cm, |CD| = 12 cm ve |BC| = x cm’dir. Buna göre x’in alabileceği en büyük ve en küçük doğal sayı değerlerinin farkı kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
Bu soruda BC kenarı, yani ‘x’, iki farklı üçgenin ortak kenarıdır. Bu yüzden ‘x’in alabileceği değerler her iki üçgenin de üçgen eşitsizliği kuralını sağlamalıdır. İki üçgen için de ayrı ayrı eşitsizlik yazıp ortak çözümü bulacağız.
Adım 1: ABC üçgeni (üstteki üçgen) için üçgen eşitsizliğini yazalım.
|9 – 8| < x < 9 + 8
1 < x < 17
Bu üçgene göre x, 1 ile 17 arasındaki değerleri alabilir.
Adım 2: CBD üçgeni (alttaki üçgen) için üçgen eşitsizliğini yazalım.
|12 – 4| < x < 12 + 4
8 < x < 16
Bu üçgene göre ise x, 8 ile 16 arasındaki değerleri alabilir.
Adım 3: Ortak çözümü bulalım.
‘x’ her iki koşulu da sağlamak zorunda.
- Birinci koşul diyor ki: x > 1
- İkinci koşul diyor ki: x > 8
Bir sayının hem 1’den hem de 8’den büyük olması için, 8’den büyük olması gerekir. (Alt sınırlardan büyük olanı alırız.)
- Birinci koşul diyor ki: x < 17
- İkinci koşul diyor ki: x < 16
Bir sayının hem 17’den hem de 16’dan küçük olması için, 16’dan küçük olması gerekir. (Üst sınırlardan küçük olanı alırız.)
Sonuç olarak, x için bulduğumuz ortak aralık: 8 < x < 16
Adım 4: En büyük ve en küçük doğal sayı değerlerini bulalım.
- Bu aralıktaki en küçük doğal sayı: 9
- Bu aralıktaki en büyük doğal sayı: 15
Adım 5: Bu iki değerin farkını bulalım.
Fark = 15 – 9 = 6
Sonuç: Cevabımız 6’dır, yani B) şıkkı.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri sabır ve bol pratik gerektirir. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!