Sevgili öğrencilerim, bana gönderdiğiniz testteki soruları sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Matematik gözünüzü korkutmasın, mantığını anladığımızda ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz. Haydi başlayalım!
Soru 21: Görseldeki A, B ve C kutularında renkleri dışında özdeş olan sarı ve mavi toplar bulunmaktadır.
- Toplam sarı top sayısı 6’dır.
- Toplam mavi top sayısı 24’tür.
- Her bir kutudaki sarı top sayısı birbirinden farklıdır.
- Her bir kutudan seçilen bir topun sarı olma olasılığı birbirine eşittir.
Buna göre kutulardan herhangi birinde bulunan mavi top sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar, bu soru bir olasılık sorusu gibi görünse de aslında oran-orantı ve biraz da mantık yürütme sorusudur. Gelin adım adım ilerleyelim.
Unutmayın: Bir olayın olma olasılığı = (İstenen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı)
Adım 1: En Önemli İpucunu Anlamak
Sorudaki kilit cümle şu: “Her bir kutudan seçilen bir topun sarı olma olasılığı birbirine eşittir.” Bu ne anlama geliyor? Bu, her kutudaki sarı top sayısının o kutudaki toplam top sayısına oranının aynı olduğu anlamına gelir. Hatta daha da basitleştirirsek, her kutudaki sarı top sayısının mavi top sayısına oranının da aynı olması gerektiğini söyler. Bu ikinci bilgi işimizi çok kolaylaştıracak!
Adım 2: Genel Oranı Bulmak
Tüm kutulardaki toplam sarı top sayısı 6, toplam mavi top sayısı ise 24. O zaman bu topların genel oranını bulalım:
Sarı Toplar / Mavi Toplar = 6 / 24 = 1 / 4
Bu demek oluyor ki, her 1 sarı topa karşılık 4 tane mavi top olmalı. Bu oran, her bir kutu için de geçerli olmalıdır. Yani her kutudaki mavi top sayısı, o kutudaki sarı top sayısının tam 4 katı olmak zorundadır.
Adım 3: Sarı Topları Kutulara Dağıtmak
Soruda bize “Her bir kutudaki sarı top sayısı birbirinden farklıdır” deniyor. Toplamda 6 sarı topumuz var ve bunu 3 kutuya, her birinde farklı sayıda olacak şekilde paylaştırmalıyız. Aklımıza gelen tek bir seçenek var: Kutulardan birinde 1, diğerinde 2, sonuncusunda ise 3 sarı top olmalı. (1 + 2 + 3 = 6)
Adım 4: Mavi Top Sayılarını Hesaplamak
Artık her kutudaki sarı top sayısını bildiğimize göre, mavi top sayılarını kolayca bulabiliriz. Unutmayın, mavi top sayısı sarı top sayısının 4 katıydı.
- 1. Kutu (1 sarı top olan): 1 x 4 = 4 mavi top vardır.
- 2. Kutu (2 sarı top olan): 2 x 4 = 8 mavi top vardır.
- 3. Kutu (3 sarı top olan): 3 x 4 = 12 mavi top vardır.
Adım 5: Sonuca Ulaşmak
Bu durumda kutulardaki mavi top sayıları 4, 8 veya 12 olabilir. Şimdi şıklara bakalım ve hangisinin bu sayılardan biri olmadığını bulalım.
- A) 4 olabilir mi? Evet.
- B) 8 olabilir mi? Evet.
- C) 12 olabilir mi? Evet.
- D) 16 olabilir mi? Hayır.
Gördüğünüz gibi, kutulardan herhangi birinde 16 tane mavi top bulunması mümkün değildir.
Sonuç:
Doğru cevap D) 16‘dır.
Soru 22: Ayrıt uzunlukları farklı iki küp aşağıdaki gibi üst üste yerleştirilmiştir. Sonra üst yüzler görseldeki gibi boyanmıştır.
- Mavi boyalı alan (4x² + 12x + 9) birimkare,
- Turuncu boyalı alan (5x² − 6x − 8) birimkaredir.
Buna göre yapının yüksekliğinin x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + 5
B) 5x + 4
C) 7x + 5
D) 8x + 3
Çözüm:
Sevgili gençler, bu soru cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunu ne kadar iyi anladığımızı ölçüyor. Özellikle “tam kare ifadeler” burada bizim en yakın dostumuz olacak. Hadi soruyu parçalara ayırarak çözelim.
Adım 1: Küçük Küpün Bir Kenarını Bulmak
Görselde mavi ile boyalı alan, üstteki küçük küpün üst yüzeyidir. Bir küpün yüzeyi kare olduğuna göre, bu alan bir karenin alanıdır. Bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına (yani karesine) eşittir.
Mavi Alan = (Küçük küpün bir kenarı)² = 4x² + 12x + 9
Şimdi 4x² + 12x + 9 ifadesinin neyin karesi olduğunu bulmalıyız. Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir.
Hatırlayalım: (a + b)² = a² + 2ab + b²
4x² = (2x)² ve 9 = (3)²’dir. Ortadaki terim (12x), bu ikisinin çarpımının 2 katı mı diye kontrol edelim: 2 * (2x) * (3) = 12x. Evet, uyuyor!
O halde, 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²’dir.
Bu durumda küçük küpün bir kenar uzunluğu 2x + 3‘tür.
Adım 2: Büyük Küpün Bir Kenarını Bulmak
Bu adımda dikkatli olmalıyız. Turuncu boyalı alan, büyük küpün üst yüzeyinin tamamı değildir. Turuncu alan, büyük küpün üst yüzeyinden küçük küpün taban alanının çıkarılmasıyla bulunur.
Yani, (Büyük Küpün Üst Alanı) – (Küçük Küpün Üst Alanı) = Turuncu Alan
(Büyük Küpün Üst Alanı) = Turuncu Alan + Küçük Küpün Üst Alanı (Mavi Alan)
Şimdi bu iki cebirsel ifadeyi toplayalım:
(5x² − 6x − 8) + (4x² + 12x + 9)
Benzer terimleri bir araya getirelim:
(5x² + 4x²) + (−6x + 12x) + (−8 + 9) = 9x² + 6x + 1
Büyük küpün üst yüzeyinin alanı 9x² + 6x + 1 imiş. Bu da bir tam kare ifade!
9x² = (3x)² ve 1 = (1)²’dir. Ortadaki terimi kontrol edelim: 2 * (3x) * (1) = 6x. Tam uydu!
O halde, 9x² + 6x + 1 = (3x + 1)²’dir.
Bu durumda büyük küpün bir kenar uzunluğu 3x + 1‘dir.
Adım 3: Toplam Yüksekliği Bulmak
Soruda bizden istenen yapının toplam yüksekliği. Bu yükseklik, büyük küpün bir kenarı ile küçük küpün bir kenarının toplamına eşittir.
Toplam Yükseklik = (Küçük küpün kenarı) + (Büyük küpün kenarı)
Toplam Yükseklik = (2x + 3) + (3x + 1)
Benzer terimleri toplayalım: (2x + 3x) + (3 + 1) = 5x + 4
Sonuç:
Yapının toplam yüksekliği 5x + 4‘tür. Bu da B şıkkında verilmiştir.