Harika bir çalışma! Hemen bir 8. Sınıf Matematik öğretmeni olarak bu soruları senin için analiz edip adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeyim.
Soru 1: Kareli alana dar, geniş ve dik açılı birer üçgen çiziniz. Çizdiğiniz üçgenlerin birer kenarortayını ve yüksekliğini belirtiniz.
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruda senden üç farklı üçgen tipi çizmeni ve bu üçgenlerin iki önemli yardımcı elemanını, yani kenarortay ve yüksekliği göstermeni istiyor. Kareli zemin işimizi çok kolaylaştıracak. Hadi başlayalım!
- Adım 1: Dik Açılı Üçgen
En kolayı ile başlayalım. Kareli zeminin çizgilerini kullanarak iki kenarı birbirine dik olan bir üçgen çiz. Örneğin, bir kenarı 4 birim, diğer kenarı 6 birim olsun. Bu dik kenarlar zaten birbirinin yüksekliğidir! Çünkü yükseklik, bir köşeden karşı kenara inen dik doğru parçasıdır. Kenarortay için ise, dik olmayan en uzun kenarın (hipotenüs) orta noktasını bul ve karşı köşeyle birleştir. İşte bu çizgi de kenarortaydır.
- Adım 2: Dar Açılı Üçgen
Tüm açıları 90 dereceden küçük olan bir üçgen çizelim. Örneğin tabanı 8 birim olan bir üçgen çiz. Tepe noktasını tabanın ortasından biraz kaydırarak belirle ki bütün açıları dar olsun.
Yükseklik: Tepe noktasından tabana dik bir çizgi indir. Kareli zeminde bunu kolayca yapabilirsin.
Kenarortay: Taban 8 birim olduğu için orta noktası 4. birimdedir. Tepe noktasını bu orta nokta ile birleştiren doğru parçası da o kenara ait kenarortay olur. Genellikle dar açılı üçgenlerde yükseklik ve kenarortay farklı çizgilerdir.- Adım 3: Geniş Açılı Üçgen
Bir açısı 90 dereceden büyük olan bir üçgen çizelim. Yine 8 birimlik bir taban çiz. Ama bu sefer tepe noktasını tabanın dışında bir hizadan seç. Böylece tepe açısı geniş olacaktır.
Yükseklik: İşte burası çok önemli! Geniş açılı üçgenlerde yüksekliklerden ikisi üçgenin dışında kalır. Tepe noktasından tabana dikme inemezsin. Bu yüzden tabanın uzantısına dik bir çizgi indirirsin. İşte bu, o kenara ait yüksekliktir ve üçgenin dışındadır.
Kenarortay: Kenarortay her zaman üçgenin içindedir. Taban 8 birim olduğu için yine orta noktasını (4. birim) bul ve tepe noktasıyla birleştir.
Soru 2: Yandaki KML üçgeninde |KM| = |ML| ve [MT], [KL]’na ait kenarortaydır. m(LMT) = 28° olduğuna göre m(LKM) kaç derecedir?
Bu soru, ikizkenar üçgenlerin sihirli özelliklerini hatırlamamız için harika bir fırsat! Gel birlikte bakalım.
- Adım 1: Üçgeni Tanıyalım
Soruda bize |KM| = |ML| bilgisi verilmiş. İki kenarı eşit olan üçgenlere ne diyorduk? Evet, ikizkenar üçgen! KML üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve eşit kenarların birleştiği M açısı tepe açısı, diğer K ve L açıları ise taban açılarıdır. Unutma, ikizkenar üçgenlerde taban açıları her zaman birbirine eşittir. Yani m(MKL) = m(MLK).
- Adım 2: Kenarortayın Gizli Görevleri
Soruda [MT]’nin bir kenarortay olduğu söyleniyor. İşte kilit nokta burası: İkizkenar bir üçgende tepe açısından tabana çizilen kenarortay, aynı zamanda hem yüksekliktir hem de açıortaydır! Bu süper bir kuraldır.
[MT] aynı zamanda bir açıortay olduğuna göre, tepe açısı olan KML açısını iki eş parçaya böler. Bize m(LMT) = 28° olarak verilmiş. O zaman diğer parça olan m(KMT) de 28° olmalıdır.
Böylece tepe açısının tamamı, yani m(KML) = 28° + 28° = 56° olur.
- Adım 3: Sonuca Ulaşalım
Artık tepe açısını biliyoruz (56°). Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°‘dir. Geriye kalan iki taban açısının toplamını bulalım:
180° – 56° = 124°
Bu 124°, birbirine eşit olan K ve L açılarının toplamıdır. Bir tanesini bulmak için 2’ye bölmemiz yeterli:
124° / 2 = 62°
Yani m(LKM) açısı 62 derecedir.
Sonuç: 62°
Soru 3: Kareli kâğıtta verilen DEF üçgenindeki [EF]’na ait kenarortay ile yüksekliği ve EDF açısına ait açıortayı belirleyiniz.
Kareli kağıt soruları bizim en iyi dostumuzdur, çünkü birim sayarak kolayca sonuca ulaşabiliriz. Hadi bu üçgenin yardımcı elemanlarını bulalım.
- Adım 1: Yüksekliği Bulalım
Yükseklik, bir köşeden karşı kenara inilen dik doğru parçasıdır. Şekilde D köşesinden EF tabanına dik olarak inen çizgi, yeşil renkle gösterilen [DK] doğru parçasıdır. Kareli zeminde bu çok net görünüyor.
- Adım 2: Kenarortayı Bulalım
Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasıdır. EF kenarının uzunluğunu sayalım: Tam 10 birim. Bu kenarın orta noktası, başlangıçtan 5 birim uzaklıktaki K noktasıdır. O halde D köşesini K noktasıyla birleştiren [DK] doğru parçası, EF kenarına ait kenarortaydır.
- Adım 3: Açıortayı Bulalım
Açıortay, EDF açısını iki eş parçaya bölen ışındır. Dikkatli bakarsan, bu üçgenin de bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edeceksin. D noktasından E’ye ve F’ye olan uzaklıklar eşittir. Az önceki soruda ne öğrenmiştik? İkizkenar üçgende tepe açısından tabana inilen yükseklik ve kenarortay, aynı zamanda açıortaydır!
Bu durumda EDF açısının açıortayı da yine [DK] doğru parçasıdır.
Sonuç: Bu üçgende [EF] kenarına ait yükseklik, kenarortay ve EDF açısına ait açıortayın hepsi aynı doğru parçasıdır: [DK].
Soru 4: Yandaki PRS üçgeninde [SA], [PB] ve [RC] kenarortaylardır. |PB| = 3 br, |AR| = 6 br ve |RB| = 5 br olduğuna göre PRS’nin çevre uzunluğu kaç br’dir?
Bu soru, “kenarortay” kelimesinin anlamını ne kadar iyi bildiğimizi ölçüyor. Kenarortay, adından da anlaşıldığı gibi, kenarı ortalayan doğru parçasıdır. Hadi üçgenin çevresini bulalım.
- Adım 1: Kenar Uzunluklarını Bulalım
Bize verilen kenarortay bilgilerini kullanarak üçgenin kenarlarının tam uzunluklarını hesaplayacağız.
a) PR Kenarı: [SA], PR kenarına ait kenarortaydır. Bu, A noktasının PR kenarının tam orta noktası olduğu anlamına gelir. Soruda |AR| = 6 br olarak verilmiş. O zaman diğer yarısı olan |PA| da 6 br olmalıdır. PR kenarının toplam uzunluğu: |PR| = 6 + 6 = 12 br.
b) RS Kenarı: [PB], RS kenarına ait kenarortaydır. Yani B noktası, RS kenarının tam ortasıdır. Bize |RB| = 5 br olarak verilmiş. O zaman diğer yarısı olan |BS| de 5 br’dir. RS kenarının toplam uzunluğu: |RS| = 5 + 5 = 10 br.
c) PS Kenarı: [RC], PS kenarına ait kenarortaydır. Yani C noktası, PS kenarının tam ortasıdır. Görselde |PC| = 3 br olarak gösterilmiş. O zaman diğer yarısı olan |CS| de 3 br olmalıdır. PS kenarının toplam uzunluğu: |PS| = 3 + 3 = 6 br.
Not: Sorunun metninde verilen |PB| = 3 br bilgisi, bir kenarortayın kendi uzunluğudur ve çevre hesabında işimize yaramaz. Bazen sorularda dikkatimizi dağıtmak için böyle fazladan bilgiler verilebilir, dikkatli olalım!
- Adım 2: Çevreyi Hesaplayalım
Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplanmasıyla bulunur. Haydi toplayalım:
Çevre(PRS) = |PR| + |RS| + |PS|
Çevre(PRS) = 12 + 10 + 6
Çevre(PRS) = 28 br
Sonuç: 28 br
Umarım çözümlerim anlaşılır olmuştur. Unutma, geometri bol bol pratik yaparak ve kuralları iyi anlayarak öğrenilir. Başarılar dilerim