Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben 8. sınıf matematik öğretmenin. Gönderdiğin görseldeki “Aralarında Asal Sayılar” konusuyla ilgili soruları şimdi senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, anlamadığın bir yer olursa diye en basit şekilde anlatacağım. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: Çiçekçi Mustafa Bey, dükkânında saksı çiçeği satmaktadır. Mustafa Bey, pazartesi günü 12 saksı çiçeği satıyor. Salı günü, pazartesi gününden daha fazla sayıda ve 15’ten az sayıda saksı çiçeği satıyor. Mustafa Bey’in pazartesi günü ve salı günü sattığı saksı çiçeği sayılarının 1’den başka ortak çarpanı yoktur. Buna göre Mustafa Bey’in salı günü satmış olabileceği saksı çiçeği sayısı bulunurken nasıl bir yol izlenebilir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için bize verilen ipuçlarını dikkatlice incelemeliyiz. Hadi gel birlikte bu ipuçlarını bir dedektif gibi takip edelim!
Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Pazartesi satılan saksı sayısı: 12
- Salı satılan saksı sayısı: Pazartesiden fazla (yani 12’den büyük) ama 15’ten az.
- En önemli ipucu: Pazartesi satılan sayı (12) ile Salı satılan sayı aralarında asal. Peki, aralarında asal ne demekti? 1’den başka ortak böleni (çarpanı) olmayan sayılar demekti.
Adım 2: Salı Günü Satılmış Olabilecek Saksı Sayılarını Bulalım
Soru bize Salı günü satılan saksı sayısının 12’den fazla ve 15’ten az olduğunu söylüyor. Bu aralıkta hangi tam sayılar var bir düşünelim…
Evet, doğru bildin! Bu sayılar 13 ve 14‘tür.
Şimdi elimizde iki aday var: Salı günü ya 13 saksı satıldı ya da 14 saksı satıldı.
Adım 3: Aday Sayıları “Aralarında Asal” Kuralına Göre Kontrol Edelim
Şimdi yapmamız gereken şey, 12 sayısı ile adaylarımız olan 13 ve 14’ün aralarında asal olup olmadığını kontrol etmek. Bunun için sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulmalıyız.
- 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Şimdi adayları tek tek deneyelim:
Aday 1: 13
- 13’ün çarpanları: 1, 13 (Çünkü 13’ün kendisi bir asal sayıdır, sadece 1’e ve kendisine bölünür.)
Şimdi 12 ve 13’ün ortak çarpanlarına bakalım: Sadece 1 sayısı ortak. Bu durumda 12 ve 13 aralarında asaldır. Demek ki 13 olabilir!
Aday 2: 14
- 14’ün çarpanları: 1, 2, 7, 14
Şimdi 12 ve 14’ün ortak çarpanlarına bakalım: 1 ve 2 sayıları ortak. Kuralımız neydi? Sadece 1 ortak olmalıydı. Ama burada 2 de ortak. Bu durumda 12 ve 14 aralarında asal değildir. Demek ki 14 olamaz!
Adım 4: Sonuca Ulaşalım ve Yolu Açıklayalım
Tüm kontrolleri yaptığımızda gördük ki, salı günü satılan saksı sayısı sadece 13 olabilir.
İzlenecek yol şudur:
Önce, salı günü satılan çiçek sayısının hangi sayılar olabileceği, verilen aralığa (12’den büyük, 15’ten küçük) göre belirlenir. Ardından, bulunan bu aday sayılardan hangisinin pazartesi satılan çiçek sayısı (12) ile aralarında asal olduğu kontrol edilir. Aralarında asallığı kontrol etmek için her iki sayının da pozitif çarpanları listelenir ve 1’den başka ortak çarpan olup olmadığına bakılır. 1’den başka ortak çarpanı olmayan sayı doğru cevaptır.
Örnek Soru: 32 ile 49 sayılarının aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda da yine aynı mantığı kullanacağız. İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için en temel yol, ikisinin de çarpanlarını bulup karşılaştırmaktır. Eğer 1’den başka ortak çarpanları yoksa bu sayılar “kanka” yani “aralarında asal”dır. 🙂
Adım 1: 32 Sayısının Pozitif Çarpanlarını Bulalım
- 1 x 32 = 32
- 2 x 16 = 32
- 4 x 8 = 32
O zaman 32’nin çarpanları şunlardır: {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Adım 2: 49 Sayısının Pozitif Çarpanlarını Bulalım
- 1 x 49 = 49
- 7 x 7 = 49
O zaman 49’un çarpanları şunlardır: {1, 7, 49}
Adım 3: Ortak Çarpanları Karşılaştıralım
Şimdi iki sayının da çarpan listelerine bakalım:
- 32’nin çarpanları: {1, 2, 4, 8, 16, 32}
- 49’un çarpanları: {1, 7, 49}
Gördüğün gibi, her iki listede de ortak olan tek bir sayı var, o da 1.
Sonuç:
32 ve 49 sayılarının 1’den başka ortak çarpanı (böleni) olmadığı için bu iki sayı aralarında asaldır.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Aralarında asallık konusu, çarpanlar ve katlar konusunun çok önemli bir parçasıdır. Bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi pekiştirebilirsin. Başarılar dilerim!