Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için tek tek, tane tane anlatarak çözeceğim. Hadi gelin, bu soruların üstesinden birlikte gelelim!
Soru 8: Aşağıda ölçüleri verilen bazı üçgenleri; pergel, cetvel veya açıölçer kullanarak çiziniz.
Bu soruda bizden, verilen ölçülere göre üçgenler çizmemiz isteniyor. Elimizde cetvel, pergel ve açıölçer olduğunu varsayarak bu çizimleri nasıl yapacağımızı adım adım anlatacağım. Unutmayın, geometri çizim yapmakla daha iyi öğrenilir!
- a) |AB| = 3 cm, |AC| = 4 cm, |BC| = 5 cm olan ABC üçgeni.
Bu çizim Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K) kuralına göre yapılır. Üç kenar uzunluğu da verilmiş.
Adım 1: Cetvelimizi alıp en uzun kenar olan |BC|’yi 5 cm olarak çizelim. Köşelere B ve C harflerini yazalım.
Adım 2: Şimdi pergelimizi alalım. Cetvel üzerinde pergelin ucunu 3 cm açalım. Pergelin iğneli ucunu B noktasına koyup bir yay çizelim. Bu yay, A noktasının B’ye 3 cm uzakta olduğu tüm noktaları gösterir.
Adım 3: Pergelimizi bu sefer 4 cm açalım. İğneli ucunu C noktasına koyup bir yay daha çizelim. Bu yay da A noktasının C’ye 4 cm uzakta olduğu tüm noktaları gösterir.
Adım 4: İşte bu iki yayın kesiştiği nokta, bizim aradığımız A köşesidir! Bu noktayı A olarak isimlendirelim.
Adım 5: Son olarak cetvelimizle A noktasını B ve C noktalarıyla birleştirelim. İşte karşınızda 3-4-5 kenarlarına sahip meşhur dik üçgenimiz!
- b) |DE| = 2 cm, |EF| = 5 cm, m(DEF) = 60° olan DEF üçgeni.
Burada ise iki kenar ve bu kenarların arasındaki açı verilmiş. Bu çizim Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) kuralına göre yapılır.
Adım 1: Cetvelimizle 5 cm uzunluğundaki [EF] kenarını çizelim.
Adım 2: Açıölçerimizi (iletki) alıp merkezini E noktasına koyalım. 60 derecelik açıyı bulup bir nokta ile işaretleyelim.
Adım 3: E noktasından başlayıp bu işaretlediğimiz noktadan geçen bir ışın çizelim. Bu ışın üzerinde cetvelimizle 2 cm’lik |DE| kenarını ölçüp D noktasını belirleyelim.
Adım 4: Son adımda D ve F noktalarını bir cetvel yardımıyla birleştirdiğimizde DEF üçgenimiz hazır!
- c) |KL| = 4 cm, m(MKL) = 70°, m(KLM) = 65° olan KLM üçgeni.
Bu sefer de bir kenar ve o kenarın iki ucundaki açılar verilmiş. Bu çizim Açı-Kenar-Açı (A.K.A) kuralına göre yapılır.
Adım 1: Cetvelimizle 4 cm uzunluğundaki [KL] kenarını çizelim.
Adım 2: Açıölçerimizi K noktasına koyalım ve 70 derecelik bir açı işaretleyerek K’den başlayan bir ışın çizelim.
Adım 3: Şimdi de açıölçerimizi L noktasına koyalım ve 65 derecelik bir açı işaretleyerek L’den başlayan bir ışın çizelim.
Adım 4: Bu iki ışının kesiştiği yer, üçgenimizin M köşesi olacaktır. Böylece KLM üçgenini çizmiş olduk. Hatta isterseniz M açısını da hesaplayabiliriz: 180° – (70° + 65°) = 180° – 135° = 45° olur.
Soru 9: Yandaki görselde Doğan Usta’nın boya yaparken kullandığı merdiven gösterilmiştir. Görselde verilen ölçülere göre merdivenin uzunluğu kaç cm’dir?
Sevgili arkadaşlar, bu soru aslında gizlenmiş bir Pisagor Teoremi sorusudur. Görsele dikkatli baktığımızda merdiven, duvar ve yer arasında bir dik üçgen oluştuğunu görebiliriz.
Adım 1: Oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
- Duvarın yüksekliği (bir dik kenar): 240 cm
- Merdivenin duvara uzaklığı (diğer dik kenar): 100 cm
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs): ? (Bize sorulan da bu!)
Adım 2: Pisagor Teoremi’ni hatırlayalım: Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani a² + b² = c².
Adım 3: Bildiğimiz değerleri formülde yerine yazalım. Merdivenin uzunluğuna ‘x’ diyelim.
(100)² + (240)² = x²
Adım 4: Kareleri hesaplayalım.
100 x 100 = 10000
240 x 240 = 57600
Adım 5: Bu değerleri toplayalım.
10000 + 57600 = 67600
Yani, x² = 67600
Adım 6: x’i bulmak için 67600’ün karekökünü almalıyız.
x = √67600
x = √(676 x 100) = √676 x √100
Biliyoruz ki √100 = 10. Peki √676 kaçtır? 25’in karesi 625 olduğuna göre 26’yı deneyelim. 26 x 26 = 676. Harika!
x = 26 x 10 = 260 cm
Kısa Yol İpucu: Bu üçgen aslında özel bir üçgen olan 5-12-13 üçgeninin katlarıdır. 100 = 5 x 20 ve 240 = 12 x 20. O zaman hipotenüs de 13’ün 20 katı olmalı: 13 x 20 = 260 cm. Bu özel üçgenleri bilmek size sınavlarda çok zaman kazandırır!
Sonuç: Merdivenin uzunluğu 260 cm‘dir. Doğru cevap A seçeneğidir.
Soru 10: Yandaki koordinat düzleminde verilen K ile L noktalarının arasındaki uzaklık kaç br’dir?
Bu soru da aslında bir önceki gibi bir Pisagor Teoremi sorusu. İki nokta arasındaki en kısa uzaklığı bulmak için bu iki noktayı hipotenüs kabul eden bir dik üçgen hayal edeceğiz.
Adım 1: K ve L noktalarının koordinatlarını bulalım.
- K noktası: x ekseninde 4, y ekseninde 2 noktasında. Yani K(4, 2).
- L noktası: x ekseninde -2, y ekseninde -2 noktasında. Yani L(-2, -2).
Adım 2: Bu iki nokta arasında hayali bir dik üçgen çizelim. Bu üçgenin dik kenarları, K ve L noktaları arasındaki yatay (x eksenine paralel) ve dikey (y eksenine paralel) mesafeler olacaktır.
Adım 3: Yatay ve dikey mesafeleri hesaplayalım.
- Yatay Mesafe (x’ler farkı): |4 – (-2)| = |4 + 2| = 6 birim.
- Dikey Mesafe (y’ler farkı): |2 – (-2)| = |2 + 2| = 4 birim.
Bu mesafeleri grafikteki kareleri sayarak da bulabilirsiniz.
Adım 4: Şimdi Pisagor Teoremi’ni uygulayalım. Aradığımız uzaklığa ‘d’ diyelim. Bu ‘d’ bizim hipotenüsümüz olacak.
d² = (Yatay Mesafe)² + (Dikey Mesafe)²
d² = (6)² + (4)²
Adım 5: Hesaplamayı yapalım.
d² = 36 + 16
d² = 52
Adım 6: ‘d’yi bulmak için 52’nin karekökünü alalım.
d = √52
Adım 7: Karekökü a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim. 52, 4’e bölünebilir.
d = √(4 x 13) = √4 x √13 = 2√13
Öğretmen Notu: Sevgili çocuklar, bulduğumuz sonuç √52 veya 2√13. Ancak şıklara baktığımızda bu sonucun olmadığını görüyoruz. (A) şıkkı √32, B şıkkı √36, C şıkkı √41, D şıkkı ise √43’tür. Bu durumda sorunun koordinatlarında veya şıklarında bir yazım hatası olması çok muhtemel. Bazen test kitaplarında böyle durumlarla karşılaşabiliriz. Önemli olan sizin doğru yöntemi bilmeniz ve uygulamanızdır. Sorudaki verilere göre doğru cevap √52‘dir. Eğer örneğin yatay uzaklık 6 yerine 5 birim olsaydı, o zaman 5² + 4² = 25 + 16 = 41 olur ve cevap C şıkkı (√41) olurdu. Ama grafiğe göre yatay uzaklık net bir şekilde 6 birimdir. Biz her zaman soruda ne görüyorsak ona göre işlem yaparız.
Sonuç: Sorudaki grafiğe göre K ve L noktaları arasındaki uzaklık √52 birimdir. Şıklarda bu cevap bulunmamaktadır.