Harika bir alıştırma sayfası! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin matematik öğretmeniniz. Şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağınız bir şekilde çözeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
Soru 1: Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu bir doğal sayı olan çarpanlara dörder örnek veriniz.
Çözüm:
Arkadaşlar, bir kareköklü ifadeyi başka bir ifadeyle çarptığımızda sonucun doğal sayı olması için temel kuralımız, kök içindeki sayıyı kökten kurtarmaktır. Yani, kök içini tam kare bir sayı yapmamız gerekir. En kolay yolu, köklü ifadenin kök içindeki kısmıyla aynı olan bir köklü ifadeyle çarpmaktır. Haydi şıklara bakalım!
a) √120
Adım 1: Önce √120’yi a√b şeklinde yazalım. 120’yi asal çarpanlarına ayırabiliriz veya içinde tam kare bir çarpan arayabiliriz. 120 = 4 x 30. Buradan √120 = √ (4 x 30) = 2√30 olur.
Adım 2: Şimdi 2√30 ifadesindeki köklü kısım olan √30’u kökten kurtaracak çarpanlar bulalım. En basiti √30’dur. Çünkü √30 x √30 = 30 olur.
Sonuç: İşte dört örnek:
- √30 (Çünkü 2√30 ⋅ √30 = 2 ⋅ 30 = 60)
- 2√30 (Çünkü 2√30 ⋅ 2√30 = 4 ⋅ 30 = 120)
- √120 (Sayının kendisiyle çarpımı da bir doğal sayıdır)
- 5√30 (Çünkü 2√30 ⋅ 5√30 = 10 ⋅ 30 = 300)
b) √300
Adım 1: √300’ü a√b şeklinde yazalım. 300 = 100 x 3. Buradan √300 = √(100 x 3) = 10√3.
Adım 2: İfademizde köklü kısım √3. Bunu kökten kurtarmak için içinde √3 olan çarpanlar bulmalıyız.
Sonuç: İşte dört örnek:
- √3
- 2√3
- √300
- 10√3
c) 2√17
Adım 1: Bu ifade zaten a√b şeklinde verilmiş ve 17 asal bir sayı olduğu için kök dışına çıkamaz.
Adım 2: Kök içindeki sayımız 17. O zaman çarpanımızın içinde mutlaka √17 olmalı.
Sonuç: İşte dört örnek:
- √17
- 3√17
- 2√17
- √68 (Bu da 2√17 demektir, biraz şaşırtmalı olsun!)
ç) 5√19
Adım 1: Bu ifade de a√b şeklinde ve 19 asal bir sayı.
Adım 2: Kök içindeki sayımız 19. Çarpanımızın içinde √19 olmalı.
Sonuç: İşte dört örnek:
- √19
- 2√19
- 5√19
- 10√19
Soru 2: Aşağıdaki işlemlerin sonuçları birer doğal sayıdır. Buna göre işlemlerdeki sembollerin yerine yazılabilecek en küçük pozitif tam sayıları belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda da mantığımız aynı. Kök içindeki sayıları birleştirip, kök içinin tam kare olmasını sağlayacağız. Ama bizden sembolün yerine gelecek en küçük sayıyı bulmamız isteniyor. Buna dikkat edelim!
a) √88 ⋅ 9√Δ
Adım 1: İfadeyi düzenleyelim. 9 dışarıda kalsın, kökleri birleştirelim: 9√(88 ⋅ Δ). Sonucun doğal sayı olması için kök içinin yani (88 ⋅ Δ) ifadesinin tam kare olması lazım.
Adım 2: 88’i asal çarpanlarına ayıralım: 88 = 8 x 11 = 2³ x 11 = 2² ⋅ 2 ⋅ 11.
Adım 3: Kök içinde 2² ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ Δ var. 2² zaten tam kare. Geriye kalan 2 ve 11’i de tam kare yapmak için onları eşleriyle çarpmalıyız. Yani bir tane daha 2’ye ve bir tane daha 11’e ihtiyacımız var.
Sonuç: Bu durumda Δ yerine gelmesi gereken en küçük sayı 2 x 11 = 22‘dir.
b) √60 ⋅ 2√□
Adım 1: İfadeyi düzenleyelim: 2√(60 ⋅ □). Kök içinin (60 ⋅ □) tam kare olması gerekiyor.
Adım 2: 60’ı asal çarpanlarına ayıralım: 60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5 = 2² ⋅ 3 ⋅ 5.
Adım 3: Kök içinde 2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ □ var. 2² zaten tam kare. Geriye kalan 3 ve 5’i eşleriyle çarpmalıyız. Yani bir tane 3’e ve bir tane 5’e ihtiyacımız var.
Sonuç: Bu durumda □ yerine gelmesi gereken en küçük sayı 3 x 5 = 15‘tir. (Görseldeki soruda √60 ⋅ 2√□ yazıyor. Eğer soru √60 ⋅ √2 ⋅ √□ olsaydı cevap 30 olurdu. Görseldeki yazıma göre çözüm 15’tir.)
c) 7√◊ ⋅ √10
Adım 1: İfadeyi düzenleyelim: 7√(◊ ⋅ 10). Kök içinin (◊ ⋅ 10) tam kare olması gerekiyor.
Adım 2: 10’u asal çarpanlarına ayıralım: 10 = 2 x 5.
Adım 3: Kök içinde ◊ ⋅ 2 ⋅ 5 var. Tam kare yapmak için bir tane 2’ye ve bir tane 5’e ihtiyacımız var.
Sonuç: Bu durumda ◊ yerine gelmesi gereken en küçük sayı 2 x 5 = 10‘dur.
ç) √324 ⋅ √∇
Adım 1: İfadeyi birleştirelim: √(324 ⋅ ∇).
Adım 2: Önce 324 sayısının tam kare olup olmadığını kontrol edelim. 10’un karesi 100, 20’nin karesi 400. Sayımız bu ikisinin arasında. Sonu 4 ile bittiği için sayının birler basamağı 2 veya 8 olmalı. 18’i deneyelim. 18 x 18 = 324. Evet! 324 zaten bir tam kareymiş (18²).
Adım 3: O zaman ifademiz √18² ⋅ √∇ = 18√∇ oldu. Bu sonucun doğal sayı olması için √∇’nin de doğal sayı olması gerekir. Bunun için de ∇’nin tam kare bir sayı olması lazım.
Sonuç: Soru bizden en küçük pozitif tam sayıyı istediği için ∇ yerine yazabileceğimiz en küçük tam kare sayı 1‘dir (1²=1).
Soru 3: Yandaki UVYZ dikdörtgeninin alanı m² biriminde bir doğal sayıdır. Buna göre UVYZ dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğunun metre biriminde alabileceği değerlere üç örnek veriniz.
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar. Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıyla bulunur. Bize uzun kenarı vermiş ve alanın bir doğal sayı olduğunu söylemiş. O zaman kısa kenarı bulmak için yine kareköklü sayılarda çarpma işlemini kullanacağız.
Adım 1: Verilenleri yazalım. Uzun kenar (UV) = 10√7 m. Alan = Doğal Sayı. Kısa kenar (UY) = ?
Adım 2: Alan = (Uzun Kenar) x (Kısa Kenar) = (10√7) x (Kısa Kenar). Bu çarpımın sonucunun bir doğal sayı olması için, kısa kenarın içinde mutlaka √7 çarpanı olmalıdır. Bu sayede √7 ile √7 çarpılarak 7 olur ve kökten kurtuluruz.
Adım 3: O zaman kısa kenar, içinde √7 olan herhangi bir uzunluk olabilir. Bizden üç örnek isteniyor.
Sonuç: İşte üç örnek:
- √7 m olabilir. (Alan = 10√7 ⋅ √7 = 10 ⋅ 7 = 70 m²)
- 2√7 m olabilir. (Alan = 10√7 ⋅ 2√7 = 20 ⋅ 7 = 140 m²)
- 3√7 m olabilir. (Alan = 10√7 ⋅ 3√7 = 30 ⋅ 7 = 210 m²)
(Verdiğimiz her örneğin 10√7’den küçük olduğuna dikkat edelim, çünkü kısa kenar arıyoruz.)
Soru 4: Öğrencilerin belirttiği ifadelerden hangisi, √800 ile çarpıldığında işlemin sonucu bir doğal sayı olur?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için anahtarımız yine aynı: Çarpacağımız sayıların kök içlerindeki kısımları aynı olmalı! Önce √800’ü a√b şeklinde yazarak işe başlayalım.
Adım 1: √800’ü a√b şeklinde yazalım. 800’ün içinde tam kare olarak 400 var. 800 = 400 x 2.
O zaman √800 = √(400 x 2) = 20√2.
Adım 2: Demek ki, 20√2 ile çarpıldığında sonucu doğal sayı yapacak olan ifadenin kök içinde 2 çarpanı olmalı. Şimdi öğrencilerin söylediği sayıları inceleyelim.
- İlk öğrenci (kız): √27 = √(9 x 3) = 3√3. Kök içi 3. Bu olmaz.
- İkinci öğrenci (kız): √32 = √(16 x 2) = 4√2. Kök içi 2. İşte bu olur!
- Üçüncü öğrenci (oğlan): √125 = √(25 x 5) = 5√5. Kök içi 5. Bu da olmaz.
Adım 3: Emin olmak için işlemi yapalım. √800 x √32 = (20√2) x (4√2) = (20 x 4) x (√2 x √2) = 80 x 2 = 160. Gördüğünüz gibi sonuç bir doğal sayı.
Sonuç:
Doğru ifadeyi söyleyen öğrenci, ortadaki kız öğrencinin söylediği √32‘dir.
Umarım hepsi anlaşılmıştır. Unutmayın, pratik yapmak matematiğin en iyi ilacıdır! Başarılar dilerim!