Harika bir alıştırma sayfası! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik Öğretmenin. Bu soruları birlikte, tane tane ve anlayarak çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: İki farklı asal sayı yazınız. Yazdığınız asal sayıların aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Bu soruyu çözmek için önce “asal sayı” ve “aralarında asal” kavramlarını hatırlayalım.
Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11…)
Aralarında Asal Sayılar: İki veya daha fazla sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
Şimdi sorumuzu çözelim.
- Adım 1: İki farklı asal sayı seçelim. Örneğin, 5 ve 13 sayılarını seçelim. İkisi de sadece 1’e ve kendilerine bölünür.
- Adım 2: Şimdi bu iki sayının ortak bölenlerine bakalım.
- 5’in bölenleri: 1, 5
- 13’ün bölenleri: 1, 13
- Adım 3: Gördüğümüz gibi, 5 ve 13 sayılarının 1’den başka ortak böleni yoktur. Bu yüzden bu iki sayı aralarında asaldır.
Sonuç: 5 ve 13 sayıları aralarında asaldır. Unutma, iki farklı asal sayı daima aralarında asaldır!
Soru 2: Her bir seçenekteki doğal sayı çiftlerinin aralarında asal olup olmadıklarını belirleyiniz.
Şimdi şıklardaki sayı çiftlerini tek tek inceleyelim ve 1’den başka ortak bölenleri var mı diye kontrol edelim.
a) 1 ile 72
Kural:1 sayısı, bütün pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır. Çünkü 1’in tek pozitif böleni 1’dir ve başka ortak bölen olamaz.
Sonuç: 1 ve 72 aralarında asaldır.
b) 21 ile 22
Kural:Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır. 21 ve 22 de ardışık sayılar olduğu için 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
Sonuç: 21 ve 22 aralarında asaldır.
c) 25 ile 10
Bu iki sayının ortak bölenlerini bulmaya çalışalım. İkisinin de son rakamı 0 veya 5 olduğu için ikisi de 5’e bölünür.
- 25 : 5 = 5
- 10 : 5 = 2
1’den başka ortak bölenleri (5 sayısı) olduğu için bu sayılar aralarında asal değildir.
Sonuç: 25 ve 10 aralarında asal değildir.
ç) 27 ile 81
Sayıları incelediğimizde, ikisinin de 3’e (rakamları toplamı 3’ün katı) bölündüğünü görebiliriz. Hatta 81, 27’nin tam 3 katıdır (27 x 3 = 81). Yani 27 sayısı her ikisini de böler.
Sonuç: 27 ve 81 aralarında asal değildir.
d) 28 ile 53
Sayıların ortak bölenlerini arayalım.
- 28’in asal çarpanları: 2 ve 7’dir. (28 = 2² x 7)
- 53 ise bir asal sayıdır, sadece 1’e ve 53’e bölünür.
Ortak bir asal çarpanları olmadığı için 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
Sonuç: 28 ve 53 aralarında asaldır.
e) 40 ile 49
Sayıların asal çarpanlarına bakalım.
- 40’ın asal çarpanları: 2 ve 5’tir. (40 = 2³ x 5)
- 49’un asal çarpanı ise sadece 7’dir. (49 = 7²)
Gördüğün gibi, hiç ortak asal çarpanları yok. Bu da 1’den başka ortak bölenleri olmadığı anlamına gelir.
Sonuç: 40 ve 49 aralarında asaldır.
Soru 3: 16 sayısından küçük olan doğal sayılardan kaç tanesi 16 ile aralarında asaldır?
Harika bir soru! Hadi adım adım gidelim.
- Adım 1: Önce 16 sayısının asal çarpanlarını bulalım. 16’yı asal çarpanlarına ayırdığımızda sadece 2’ye bölündüğünü görürüz. 16 = 2⁴. Bu demek oluyor ki, 16 ile aralarında asal olan bir sayının içinde 2 çarpanı olmamalıdır. Yani bu sayı çift olmamalıdır.
- Adım 2: Şimdi 16’dan küçük doğal sayıları yazalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
- Adım 3: Bu listeden çift olan sayıları (yani 2’ye bölünenleri) eleyelim, çünkü onların 16 ile ortak böleni (2 sayısı) vardır.
2,4,6,8,10,12,14 - Adım 4: Geriye kalan sayılar 16 ile aralarında asal olan sayılardır.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
- Adım 5: Bu sayıları sayalım. Toplamda 8 tane sayı var.
Sonuç: 16 sayısından küçük 8 tane doğal sayı 16 ile aralarında asaldır.
Soru 4: Görselde verilen bilgilere göre Selma ile arkadaşının ağaçları suladıkları dakika biriminden sürelerin aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Görseldeki konuşma balonunu okuyalım: “Ben bahçemdeki ağaçları 70 dakikada suladım. Arkadaşım ise kendi bahçesindeki ağaçları 66 dakika suladı.”
- Adım 1: İncelememiz gereken sayılar 70 ve 66.
- Adım 2: Bu sayıların aralarında asal olup olmadığını anlamak için ortak bölenleri var mı diye bakacağız. İlk bakışta ikisinin de çift sayı olduğunu fark edebiliriz.
- Adım 3: Hem 70 hem de 66 çift sayı olduğu için ikisi de 2’ye tam bölünür.
- 70 : 2 = 35
- 66 : 2 = 33
- Adım 4: Sayıların 1’den başka ortak bir bölenini (2 sayısını) bulduğumuz için bu iki sayı aralarında asal değildir.
Sonuç: 70 ve 66 sayıları aralarında asal değildir.
Soru 5: Δ = 2².7¹ ve ☐ = 3⁴.5¹.◊¹ olmak üzere Δ ile ☐ doğal sayıları aralarında asaldır. Buna göre ◊ yerine hangi asal sayılar yazılamaz?
Bu soru, asal çarpanlar ve aralarında asallık ilişkisini çok güzel bir şekilde sorguluyor. Sakin ol, çok kolay!
- Adım 1: Sorunun en önemli bilgisi şu: Δ ile ☐ aralarında asal. Bunun matematiksel anlamı şudur: Bu iki sayının hiç ortak asal çarpanı yoktur.
- Adım 2: Δ sayısının asal çarpanlarını yazalım. Bize zaten verilmiş:
Δ’nın asal çarpanları: {2, 7}
- Adım 3: ☐ sayısının asal çarpanlarını yazalım. Onlar da verilmiş:
☐’ın asal çarpanları: {3, 5, ◊} (Burada ◊ bir asal sayı)
- Adım 4: Madem bu iki sayı aralarında asal, o zaman ☐ sayısının asal çarpanları arasında, Δ sayısının asal çarpanları olan 2 ve 7 bulunamaz. Eğer bulunsaydı, ortak çarpanları olurdu ve aralarında asal olmazlardı.
- Adım 5: Bu durumda, ◊ sembolü, 2 olamaz ve 7 olamaz.
- Eğer ◊ = 2 olsaydı, her iki sayıda da 2 çarpanı olurdu.
- Eğer ◊ = 7 olsaydı, her iki sayıda da 7 çarpanı olurdu.
Sonuç: ◊ yerine 2 ve 7 asal sayıları yazılamaz.