8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 29
Harika bir alıştırma sayfası! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik Öğretmenin. Bu soruları birlikte, tane tane ve anlayarak çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: İki farklı asal sayı yazınız. Yazdığınız asal sayıların aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Bu soruyu çözmek için önce “asal sayı” ve “aralarında asal” kavramlarını hatırlayalım.
Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11…)
Aralarında Asal Sayılar: İki veya daha fazla sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
Şimdi sorumuzu çözelim.
- Adım 1: İki farklı asal sayı seçelim. Örneğin, 5 ve 13 sayılarını seçelim. İkisi de sadece 1’e ve kendilerine bölünür.
- Adım 2: Şimdi bu iki sayının ortak bölenlerine bakalım.
- 5’in bölenleri: 1, 5
- 13’ün bölenleri: 1, 13
- Adım 3: Gördüğümüz gibi, 5 ve 13 sayılarının 1’den başka ortak böleni yoktur. Bu yüzden bu iki sayı aralarında asaldır.
Sonuç: 5 ve 13 sayıları aralarında asaldır. Unutma, iki farklı asal sayı daima aralarında asaldır!
Soru 2: Her bir seçenekteki doğal sayı çiftlerinin aralarında asal olup olmadıklarını belirleyiniz.
Şimdi şıklardaki sayı çiftlerini tek tek inceleyelim ve 1’den başka ortak bölenleri var mı diye kontrol edelim.
a) 1 ile 72
Kural: 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır. Çünkü 1’in tek pozitif böleni 1’dir ve başka ortak bölen olamaz.
Sonuç: 1 ve 72 aralarında asaldır.
b) 21 ile 22
Kural: Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır. 21 ve 22 de ardışık sayılar olduğu için 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
Sonuç: 21 ve 22 aralarında asaldır.
c) 25 ile 10
Bu iki sayının ortak bölenlerini bulmaya çalışalım. İkisinin de son rakamı 0 veya 5 olduğu için ikisi de 5’e bölünür.
- 25 : 5 = 5
- 10 : 5 = 2
1’den başka ortak bölenleri (5 sayısı) olduğu için bu sayılar aralarında asal değildir.
Sonuç: 25 ve 10 aralarında asal değildir.
ç) 27 ile 81
Sayıları incelediğimizde, ikisinin de 3’e (rakamları toplamı 3’ün katı) bölündüğünü görebiliriz. Hatta 81, 27’nin tam 3 katıdır (27 x 3 = 81). Yani 27 sayısı her ikisini de böler.
Sonuç: 27 ve 81 aralarında asal değildir.
d) 28 ile 53
Sayıların ortak bölenlerini arayalım.
- 28’in asal çarpanları: 2 ve 7’dir. (28 = 2² x 7)
- 53 ise bir asal sayıdır, sadece 1’e ve 53’e bölünür.
Ortak bir asal çarpanları olmadığı için 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
Sonuç: 28 ve 53 aralarında asaldır.
e) 40 ile 49
Sayıların asal çarpanlarına bakalım.
- 40’ın asal çarpanları: 2 ve 5’tir. (40 = 2³ x 5)
- 49’un asal çarpanı ise sadece 7’dir. (49 = 7²)
Gördüğün gibi, hiç ortak asal çarpanları yok. Bu da 1’den başka ortak bölenleri olmadığı anlamına gelir.
Sonuç: 40 ve 49 aralarında asaldır.
Soru 3: 16 sayısından küçük olan doğal sayılardan kaç tanesi 16 ile aralarında asaldır?
Harika bir soru! Hadi adım adım gidelim.
- Adım 1: Önce 16 sayısının asal çarpanlarını bulalım. 16’yı asal çarpanlarına ayırdığımızda sadece 2’ye bölündüğünü görürüz. 16 = 2⁴. Bu demek oluyor ki, 16 ile aralarında asal olan bir sayının içinde 2 çarpanı olmamalıdır. Yani bu sayı çift olmamalıdır.
- Adım 2: Şimdi 16’dan küçük doğal sayıları yazalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
- Adım 3: Bu listeden çift olan sayıları (yani 2’ye bölünenleri) eleyelim, çünkü onların 16 ile ortak böleni (2 sayısı) vardır.
2,4,6,8,10,12,14 - Adım 4: Geriye kalan sayılar 16 ile aralarında asal olan sayılardır.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
- Adım 5: Bu sayıları sayalım. Toplamda 8 tane sayı var.
Sonuç: 16 sayısından küçük 8 tane doğal sayı 16 ile aralarında asaldır.
Soru 4: Görselde verilen bilgilere göre Selma ile arkadaşının ağaçları suladıkları dakika biriminden sürelerin aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Görseldeki konuşma balonunu okuyalım: “Ben bahçemdeki ağaçları 70 dakikada suladım. Arkadaşım ise kendi bahçesindeki ağaçları 66 dakika suladı.”
- Adım 1: İncelememiz gereken sayılar 70 ve 66.
- Adım 2: Bu sayıların aralarında asal olup olmadığını anlamak için ortak bölenleri var mı diye bakacağız. İlk bakışta ikisinin de çift sayı olduğunu fark edebiliriz.
- Adım 3: Hem 70 hem de 66 çift sayı olduğu için ikisi de 2’ye tam bölünür.
- 70 : 2 = 35
- 66 : 2 = 33
- Adım 4: Sayıların 1’den başka ortak bir bölenini (2 sayısını) bulduğumuz için bu iki sayı aralarında asal değildir.
Sonuç: 70 ve 66 sayıları aralarında asal değildir.
Soru 5: Δ = 2².7¹ ve ☐ = 3⁴.5¹.◊¹ olmak üzere Δ ile ☐ doğal sayıları aralarında asaldır. Buna göre ◊ yerine hangi asal sayılar yazılamaz?
Bu soru, asal çarpanlar ve aralarında asallık ilişkisini çok güzel bir şekilde sorguluyor. Sakin ol, çok kolay!
- Adım 1: Sorunun en önemli bilgisi şu: Δ ile ☐ aralarında asal. Bunun matematiksel anlamı şudur: Bu iki sayının hiç ortak asal çarpanı yoktur.
- Adım 2: Δ sayısının asal çarpanlarını yazalım. Bize zaten verilmiş:
Δ’nın asal çarpanları: {2, 7}
- Adım 3: ☐ sayısının asal çarpanlarını yazalım. Onlar da verilmiş:
☐’ın asal çarpanları: {3, 5, ◊} (Burada ◊ bir asal sayı)
- Adım 4: Madem bu iki sayı aralarında asal, o zaman ☐ sayısının asal çarpanları arasında, Δ sayısının asal çarpanları olan 2 ve 7 bulunamaz. Eğer bulunsaydı, ortak çarpanları olurdu ve aralarında asal olmazlardı.
- Adım 5: Bu durumda, ◊ sembolü, 2 olamaz ve 7 olamaz.
- Eğer ◊ = 2 olsaydı, her iki sayıda da 2 çarpanı olurdu.
- Eğer ◊ = 7 olsaydı, her iki sayıda da 7 çarpanı olurdu.
Sonuç: ◊ yerine 2 ve 7 asal sayıları yazılamaz.