Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersinde en çok zorlandığınız konulardan biri olan EBOB ve EKOK’la ilgili harika bir alıştırma föyü göndermişsiniz. Gelin bu soruları birlikte, sanki yanınızdaymışım gibi adım adım ve tane tane çözelim. Hazırsanız başlayalım!
1. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
Bu soruda bizden istenen, verilen sayıların En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) veya En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulmamız. Hatırlayalım, EBOB, iki sayıyı da bölen en büyük sayıdır. EKOK ise, iki sayının da katı olan en küçük sayıdır. Şimdi her bir şıkkı tek tek inceleyelim:
a) EBOB(100, 75)
Bu sayılar için EBOB’u bulmak için ortak bölenlerini listelememiz gerekiyor.
100’ün bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
75’in bölenleri: 1, 3, 5, 15, 25, 75
Bu iki listede ortak olan bölenler: 1, 5, 25. Bunların en büyüğü ise 25’tir.
Yani, EBOB(100, 75) = 25
b) EBOB(144, 12)
Burada 144 ve 12’nin EBOB’unu bulacağız. Dikkat ederseniz 144, 12’nin bir katıdır (144 = 12 x 12). Eğer sayılardan biri diğerinin tam katı ise, EBOB küçük olan sayıdır.
Yani, EBOB(144, 12) = 12
c) EBOB(120, 350)
Şimdi de 120 ve 350’nin EBOB’unu bulalım. Bunun için en pratik yol asal çarpanlara ayırmaktır.
120 = 2 x 60 = 2 x 2 x 30 = 2 x 2 x 2 x 15 = 2³ x 3 x 5
350 = 2 x 175 = 2 x 5 x 35 = 2 x 5 x 5 x 7 = 2 x 5² x 7
Ortak olan asal çarpanları ve en küçük üslerini alıyoruz: 2¹ ve 5¹.
EBOB(120, 350) = 2 x 5 = 10
ç) EBOB(900, 220)
Yine asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:
900 = 9 x 100 = 3² x 10² = 3² x (2 x 5)² = 2² x 3² x 5²
220 = 22 x 10 = 2 x 11 x 2 x 5 = 2² x 5 x 11
Ortak olan asal çarpanlar: 2² ve 5¹.
EBOB(900, 220) = 2² x 5 = 4 x 5 = 20
d) EKOK(13, 78)
Şimdi EKOK bulma zamanı. 13 ve 78’in EKOK’unu bulacağız. 78 sayısı 13’ün bir katıdır (78 = 13 x 6). Eğer sayılardan biri diğerinin tam katı ise, EKOK büyük olan sayıdır.
Yani, EKOK(13, 78) = 78
e) EKOK(40, 55)
40 ve 55’in EKOK’unu bulmak için asal çarpanlara ayıralım:
40 = 4 x 10 = 2² x 2 x 5 = 2³ x 5
55 = 5 x 11
Ortak olan asal çarpanları ve en büyük üslerini, ortak olmayanları da alıyoruz: 2³, 5¹, 11¹.
EKOK(40, 55) = 2³ x 5 x 11 = 8 x 5 x 11 = 40 x 11 = 440
f) EKOK(15, 20)
15 ve 20’nin EKOK’unu bulalım:
15 = 3 x 5
20 = 2² x 5
Ortak olan asal çarpanları ve en büyük üslerini, ortak olmayanları da alıyoruz: 2², 3¹, 5¹.
EKOK(15, 20) = 2² x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 12 x 5 = 60
g) EKOK(16, 24)
Son olarak 16 ve 24’ün EKOK’unu bulalım:
16 = 2⁴
24 = 8 x 3 = 2³ x 3
Ortak olan asal çarpanları ve en büyük üslerini, ortak olmayanları da alıyoruz: 2⁴ ve 3¹.
EKOK(16, 24) = 2⁴ x 3 = 16 x 3 = 48
ğ) EKOK(72, 108)
Bu soruda 72 ve 108’in EKOK’unu bulacağız. Asal çarpanlara ayıralım:
72 = 8 x 9 = 2³ x 3²
108 = 2 x 54 = 2 x 2 x 27 = 2² x 3³
Ortak olan asal çarpanları ve en büyük üslerini, ortak olmayanları da alıyoruz: 2³ ve 3³.
EKOK(72, 108) = 2³ x 3³ = 8 x 27 = 216
2. Aşağıda verilen EBOB ve EKOK değerleri ile bu değerlerin sonucu olan tam sayılar eşleştirildiğinde hangi tam sayının açıkta kalacağını bulunuz.
Bu soruda bize bazı EBOB ve EKOK değerleri verilmiş ve altında da bazı sayılar var. Bizden istenen, hesapladığımız EBOB ve EKOK değerlerini, bu sayılarla eşleştirmek ve geriye kalan sayıyı bulmak.
Verilen EBOB ve EKOK değerleri:
- EKOK(8, 12)
- EBOB(120, 150)
- EKOK(32, 16)
- EBOB(45, 105)
Açıkta kalabilecek sayılar:
- 12
- 15
- 24
- 30
- 32
Şimdi her birini hesaplayıp eşleştirelim:
Adım 1: EKOK(8, 12) değerini hesaplayalım.
8 = 2³
12 = 2² x 3
EKOK(8, 12) = 2³ x 3 = 8 x 3 = 24
24 sayısı eşleşti.
Adım 2: EBOB(120, 150) değerini hesaplayalım.
120 = 12 x 10 = 2² x 3 x 2 x 5 = 2³ x 3 x 5
150 = 15 x 10 = 3 x 5 x 2 x 5 = 2 x 3 x 5²
Ortak olan asal çarpanlar: 2¹, 3¹, 5¹. En küçük üslerini alıyoruz.
EBOB(120, 150) = 2 x 3 x 5 = 30
30 sayısı eşleşti.
Adım 3: EKOK(32, 16) değerini hesaplayalım.
32 = 2⁵
16 = 2⁴
32 sayısı 16’nın tam katı olduğu için EKOK, büyük olan sayıdır.
EKOK(32, 16) = 32
32 sayısı eşleşti.
Adım 4: EBOB(45, 105) değerini hesaplayalım.
45 = 5 x 9 = 3² x 5
105 = 5 x 21 = 5 x 3 x 7 = 3 x 5 x 7
Ortak olan asal çarpanlar: 3¹, 5¹. En küçük üslerini alıyoruz.
EBOB(45, 105) = 3 x 5 = 15
15 sayısı eşleşti.
Şimdi eşleşen sayıları bir görelim: 24, 30, 32, 15.
Açıkta kalan sayılar listesinde 12, 15, 24, 30, 32 vardı.
Eşleşenler: 15, 24, 30, 32.
Açıkta kalan sayı ise 12‘dir.
3. İki doğal sayının EBOB değeri 13, EKOK değeri 130’dur. Doğal sayılardan biri 26 ise diğeri kaçtır?
Bu soruda bize iki doğal sayı hakkında bilgi verilmiş. Bu sayılarla ilgili çok önemli bir özellik var: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir.
Formülümüz şu:
Sayi1 x Sayi2 = EBOB(Sayi1, Sayi2) x EKOK(Sayi1, Sayi2)
Soruda verilenler:
- EBOB = 13
- EKOK = 130
- Sayi1 = 26
- Sayi2 = ?
Şimdi formülde yerine koyalım:
26 x Sayi2 = 13 x 130
Önce sağ tarafı çarpalım:
13 x 130 = 1690
Şimdi denklemimiz:
26 x Sayi2 = 1690
Sayi2’yi bulmak için 1690’ı 26’ya bölmemiz gerekiyor.
Sayi2 = 1690 / 26
Bölme işlemini yapalım:
1690 | 26
-156 |—-
—- | 65
130
-130
—-
0
Yani, Sayi2 = 65.
Diğer doğal sayı 65‘tir.
4. Seda, 32 cm ve 56 cm uzunluğundaki iki farklı renkte kâğıt şeridi hiç parça artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırıyor. Buna göre Seda, en az kaç kâğıt parçası elde eder?
Bu soruda Seda, elindeki iki farklı uzunluktaki şeridi, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırıyor. Bu, ayırdığı her bir parçanın uzunluğunun hem 32’yi hem de 56’yı bölebilen bir sayı olması gerektiği anlamına gelir. Yani bu parça uzunluğu, 32 ve 56’nın ortak bölenlerinden biri olmalı. Soruda “en az kaç kâğıt parçası elde eder?” deniyor. Daha az parça elde etmek için, her bir parçanın mümkün olan en uzun olması gerekir. Bu da demek oluyor ki, ayırdığımız parçaların uzunluğu 32 ve 56’nın En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalı.
Adım 1: 32 ve 56’nın EBOB’unu bulalım.
32 = 2⁵
56 = 8 x 7 = 2³ x 7
Ortak olan asal çarpan 2’dir ve en küçük üssü 2³’tür.
EBOB(32, 56) = 2³ = 8 cm.
Yani, Seda şeritleri 8 cm’lik parçalara ayıracak.
Adım 2: Elde edilecek toplam parça sayısını bulalım.
İlk şeritten elde edilecek parça sayısı: 32 cm / 8 cm/parça = 4 parça.
İkinci şeritten elde edilecek parça sayısı: 56 cm / 8 cm/parça = 7 parça.
Toplam parça sayısı:
4 parça + 7 parça = 11 parça.
Seda, en az 11 kâğıt parçası elde eder.
5. Hakan Bey, kömürlerini 50 kg ve 40 kg’lık çuvallara hiç artmayacak şekilde doldurabiliyor. Hakan Bey’in 2 tondan fazla kömürü olduğuna göre en az kaç kg kömürü vardır?
Bu soruda Hakan Bey’in kömürleri 50 kg’lık çuvallara da, 40 kg’lık çuvallara da tam olarak sığıyor. Bu, toplam kömür miktarının hem 50’nin hem de 40’ın katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani toplam kömür miktarı, 50 ve 40’ın ortak katlarından biri olmalı. Soruda “en az kaç kg kömürü vardır?” diye sorulduğu için, bu toplam kömür miktarının 50 ve 40’ın En Küçük Ortak Katı (EKOK) olması gerektiğini anlıyoruz. Ayrıca, kömür miktarının 2 tondan fazla olduğu bilgisi de verilmiş.
Adım 1: 50 ve 40’ın EKOK’unu bulalım.
50 = 5 x 10 = 5 x 2 x 5 = 2 x 5²
40 = 4 x 10 = 2² x 2 x 5 = 2³ x 5
Ortak olan asal çarpanlar 2 ve 5’tir. En büyük üslerini alıyoruz: 2³ ve 5².
EKOK(50, 40) = 2³ x 5² = 8 x 25 = 200 kg.
Adım 2: Toplam kömür miktarının 2 tondan fazla olması gerektiğini dikkate alalım.
1 ton = 1000 kg
2 ton = 2 x 1000 kg = 2000 kg.
Hakan Bey’in kömür miktarı EKOK olan 200 kg’ın katları şeklinde olmalı ve 2000 kg’dan fazla olmalı.
Şimdi 200’ün katlarını yazalım ve 2000’den büyük olan ilk katını bulalım:
200 x 1 = 200 kg
200 x 2 = 400 kg
…
200 x 10 = 2000 kg
Bu kat 2000 kg’a eşit, yani 2 tondan fazla değil.
Bir sonraki katı alalım:
200 x 11 = 2200 kg.
2200 kg, 2000 kg’dan fazladır ve hem 50’nin hem de 40’ın katıdır.
Hakan Bey’in en az 2200 kg kömürü vardır.
Umarım bu çözümler EBOB ve EKOK konularını daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Anlamadığınız yerler olursa lütfen çekinmeden sorun. Hepinize başarılar dilerim!