Harika bir çalışma! Sevgili öğrenciler, bu sorular üçgenler konusunun en temel ve en önemli kısımlarından biri olan üçgen eşitsizliği ile ilgili. Bu kuralı bir kere anladığınızda, bu tür soruların ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz. Hadi gelin, soruları birlikte adım adım çözelim.
Soru 1:Önder, 20 cm ve 15 cm uzunluğundaki çubuklar ile birlikte bir çubuk daha kullanarak üçgen oluşturmak istiyor. Buna göre Önder, üçgen oluştururken 20 cm ve 15 cm uzunluğundaki çubuklarla beraber yandaki çubuklardan hangisini kullanmalıdır?
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar. Bu soruyu çözmek için bilmemiz gereken altın bir kural var: Üçgen Eşitsizliği Kuralı! Bu kural der ki; bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
Adım 1: Elimizdeki kenarlar 20 cm ve 15 cm. Üçüncü kenarımıza da x diyelim. Kuralımızı uygulayalım. Bu x kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalı.
- İki kenarın toplamı: 20 + 15 = 35 cm
- İki kenarın farkı: 20 – 15 = 5 cm
Adım 2: Şimdi bu bulduğumuz değerleri eşitsizlik olarak yazalım. Üçüncü kenarımız olan x‘in alabileceği değer aralığı şudur:
5 < x < 35
Yani seçeceğimiz çubuğun uzunluğu 5 cm’den büyük ve 35 cm’den küçük olmalıdır.
Adım 3: Şimdi bize verilen çubukların uzunluklarına bakalım ve bu aralığa hangisinin uyduğunu kontrol edelim:
- 4 cm: 5’ten büyük değil.
Bu olmaz.- 10 cm: 5’ten büyük ve 35’ten küçük. Bu olur!
- 35 cm: 35’ten küçük değil, tam 35’e eşit.
Bu da olmaz.- 40 cm: 35’ten küçük değil, daha büyük.
Bu hiç olmaz.Sonuç olarak Önder’in kullanması gereken çubuk 10 cm uzunluğundaki çubuktur.
Soru 2:Yandaki KLM üçgeninde |KL| = 9 cm, |KM| = 12 cm ve |LM| = x cm olduğuna göre x in alabileceği doğal sayı değerlerini belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soru da tıpkı bir önceki gibi üçgen eşitsizliği kuralı ile çözülüyor. Kuralı tekrar hatırlayalım: Bir kenar, diğer ikisinin toplamından küçük, farkından büyük olmalı.
Adım 1: Bilinmeyen kenarımız x. Diğer iki kenarımız 9 cm ve 12 cm. Hemen bu iki kenarın toplamını ve farkını bulalım.
- Toplamları: 12 + 9 = 21 cm
- Farkları: 12 – 9 = 3 cm
Adım 2: Şimdi x‘i bu iki değerin arasına yerleştirelim.
3 < x < 21
Adım 3: Soru bizden x‘in alabileceği doğal sayı değerlerini istiyor. Yani 3’ten büyük ve 21’den küçük olan bütün doğal sayıları yazacağız.
Bu sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20‘dir.
İşte bu kadar! x‘in alabileceği tüm doğal sayı değerleri bunlardır.
Soru 3:Yandaki DEF üçgeninde |DE| = 11 m, |EF| = 16 m’dir. Buna göre DEF üçgeninin çevre uzunluğunun “m” biriminde alabileceği en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu soru biraz daha farklı gibi görünse de aslında yine aynı kuralı kullanacağız. Çevrenin en büyük değerini bulmak için, verilmeyen üçüncü kenarın alabileceği en büyük değeri bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Verilmeyen kenarımız |DF|. Bu kenara y diyelim. Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayarak y‘nin değer aralığını bulalım.
- Kenarların toplamı: 16 + 11 = 27 m
- Kenarların farkı: 16 – 11 = 5 m
Adım 2: Eşitsizliğimizi yazalım.
5 < y < 27
Adım 3: Çevrenin en büyük olabilmesi için, y kenarının da alabileceği en büyük doğal sayı değerini alması gerekir. 27’den küçük en büyük doğal sayı kaçtır? Tabii ki 26‘dır. O zaman y‘nin en büyük değeri 26 m’dir.
Adım 4: Artık üçgenin üç kenarının da uzunluğunu biliyoruz (en büyük çevre için): 11 m, 16 m ve 26 m. Çevreyi bulmak için bu üç kenarı toplayalım.
Çevre = 11 + 16 + 26 = 53 m
Sonuç olarak, DEF üçgeninin çevresinin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 53 m‘dir.
Soru 4:Yandaki şekilde, PRS ve PTS üçgendir. |PR| = 4 cm, |RS| = 6 cm, |ST| = 2 cm, |PT| = 8 cm ve |PS| = x cm’dir. Buna göre x in alabileceği en büyük ve en küçük doğal sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Harika bir soru! Burada iki tane üçgen var ve x kenarı bu iki üçgenin de ortak kenarı. Bu ne anlama geliyor? Şu anlama geliyor: x kenarı, her iki üçgenin de üçgen eşitsizliği kuralına uymak zorunda! O zaman her iki üçgen için de ayrı ayrı eşitsizlikleri yazıp ortak bir çözüm bulacağız.
Adım 1: Önce PRS üçgeni için x‘in değer aralığını bulalım.
- Kenarlar: 4 cm ve 6 cm
- Toplamları: 6 + 4 = 10
- Farkları: 6 – 4 = 2
- PRS üçgeni için eşitsizlik: 2 < x < 10
Adım 2: Şimdi de PTS üçgeni için x‘in değer aralığını bulalım.
- Kenarlar: 8 cm ve 2 cm
- Toplamları: 8 + 2 = 10
- Farkları: 8 – 2 = 6
- PTS üçgeni için eşitsizlik: 6 < x < 10
Adım 3: Şimdi en önemli kısım. x her iki eşitsizliği de sağlamalı. Elimizde iki tane koşul var:
- x, 2’den büyük olmalı.
- x, 6’dan büyük olmalı.
Bir sayının hem 2’den hem de 6’dan büyük olması için, aslında 6’dan büyük olması yeterlidir, değil mi? O yüzden alt sınır olarak daha büyük olanı, yani 6‘yı alırız.
Üst sınıra bakalım. Her iki eşitsizlikte de x, 10’dan küçük olmalı. O zaman üst sınırımız 10‘dur.
Adım 4: İki eşitsizliği birleştirdiğimizde x için son aralığımız şu şekilde olur:
6 < x < 10
Soru bizden x‘in alabileceği en büyük ve en küçük doğal sayı değerlerini istiyor.
- Bu aralıktaki en küçük doğal sayı (6’dan büyük ilk sayı): 7
- Bu aralıktaki en büyük doğal sayı (10’dan küçük son sayı): 9
Sonuç olarak, x‘in alabileceği en küçük doğal sayı değeri 7, en büyük doğal sayı değeri ise 9‘dur.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!