Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorular göndermişsin! 8. Sınıf matematiğinin en önemli konularından olan cebirsel ifadeler ve özdeşliklerle ilgili bu soruları birlikte, adım adım çözelim. Emin ol, bu konuları anladığında çok keyif alacaksın. Hadi başlayalım!
13. Aşağıdaki şemalarda belirtilen çarpma işlemlerini yaparak boş kutulara uygun cebirsel ifadeleri yazınız.
Bu soruda bizden parantez içindeki iki cebirsel ifadeyi çarpmamız isteniyor. Bu çarpma işlemini yaparken dağılma özelliğini kullanacağız. Yani birinci parantezdeki her bir terimi, ikinci parantezdeki her bir terimle tek tek çarpacağız.
(2x – 1) . (x – 1) işleminin çözümü:
Adım 1: Birinci parantezdeki 2x terimini, ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım.
2x . x = 2x²
2x . (-1) = -2xAdım 2: Şimdi de birinci parantezdeki -1 terimini, ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım.
(-1) . x = -x
(-1) . (-1) = +1Adım 3: Bulduğumuz bütün sonuçları bir araya getirelim ve benzer terimleri toplayalım.
2x² – 2x – x + 1 = 2x² – 3x + 1Sonuç: 2x² – 3x + 1
(a + 5) . (5a – 6) işleminin çözümü:
Adım 1: ‘a’ terimini karşı parantezdeki terimlerle çarpalım.
a . 5a = 5a²
a . (-6) = -6aAdım 2: ‘+5’ terimini karşı parantezdeki terimlerle çarpalım.
5 . 5a = +25a
5 . (-6) = -30Adım 3: Sonuçları birleştirip benzer terimleri toplayalım.
5a² – 6a + 25a – 30 = 5a² + 19a – 30Sonuç: 5a² + 19a – 30
(b + 3) . (-b + 6) işleminin çözümü:
Adım 1: ‘b’ terimini dağıtalım.
b . (-b) = -b²
b . 6 = +6bAdım 2: ‘+3’ terimini dağıtalım.
3 . (-b) = -3b
3 . 6 = +18Adım 3: Hepsini bir araya getirip düzenleyelim.
-b² + 6b – 3b + 18 = -b² + 3b + 18Sonuç: -b² + 3b + 18
14. Yukarıda verilen şemadaki ifadeleri en soldan başlayarak inceleyiniz. İfadeler doğru ise “D”, yanlış ise “Y” yolunu takip ediniz. Kaçıncı çıkışa ulaştınız? Yazınız.
Bu soruda bir labirent gibi düşünebiliriz. Her yol ayrımında bize verilen ifadenin doğru mu yanlış mı olduğuna karar verip ilgili yolu takip edeceğiz. Hadi başlayalım!
Adım 1: İlk ifade (x + 1)² = x² + 2x + 1. Bu, tam kare özdeşliğidir ve doğrudur. Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi. O halde D (Doğru) yolundan devam ediyoruz.
Adım 2: D yolundaki ifade 999² – 1² işleminin sonucu 1008’dir. Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: a² – b² = (a – b)(a + b).
(999 – 1) . (999 + 1) = 998 . 1000 = 998000.
Sonuç 998000 olmalı, ama soruda 1008 denmiş. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır. O halde Y (Yanlış) yolundan devam ediyoruz.Adım 3: Y yolundaki ifade 3x . (x – 7) = 3x² – 21x. Burada dağılma özelliğini kullanacağız.
3x . x = 3x²
3x . (-7) = -21x
Sonuç 3x² – 21x oluyor. Bu ifade doğrudur. O halde D (Doğru) yolundan devam ediyoruz.Adım 4: D yolundaki ifade 15a² – 20a = 5a . (3a + 4). Eşitliğin sağ tarafını dağılma özelliği ile açalım.
5a . 3a = 15a²
5a . 4 = +20a
Sonuç 15a² + 20a olmalıydı. Soruda ise 15a² – 20a yazıyor. Aradaki işaret farklı olduğu için bu ifade yanlıştır. O halde Y (Yanlış) yolundan devam ediyoruz.Adım 5: Y yolundaki ifade (x + 5)² = x² – 10x + 25. Bu bir tam kare özdeşliğidir. Kuralımızı hatırlayalım: (a + b)² = a² + 2ab + b².
(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25 olmalıydı.
Soruda ortadaki terim -10x olarak verilmiş. Bu ifade yanlıştır. O halde Y (Yanlış) yolundan devam ediyoruz.
Sonuç: Takip ettiğimiz yol bizi 8. çıkışa ulaştırdı.
15. (3y – 4x)² = Δy² + □yx + ◊x² özdeşliğine göre Δ + □ + ◊ işleminin sonucu kaçtır?
Bu soruyu çözmek için (a – b)² = a² – 2ab + b² tam kare özdeşliğini kullanacağız. Hadi (3y – 4x)² ifadesini bu kurala göre açalım.
Adım 1: Kuralımızda ‘a’ yerine ‘3y’, ‘b’ yerine ‘4x’ yazalım.
(3y – 4x)² = (3y)² – 2 . (3y) . (4x) + (4x)²Adım 2: Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim.
(3y)² = 9y²
-2 . (3y) . (4x) = -24yx
(4x)² = 16x²
Sonuç: 9y² – 24yx + 16x²Adım 3: Bulduğumuz sonucu soruda verilen Δy² + □yx + ◊x² ifadesiyle karşılaştıralım.
Δ (y²’nin katsayısı) = 9
□ (yx’in katsayısı) = -24
◊ (x²’nin katsayısı) = 16Adım 4: Bizden istenen Δ + □ + ◊ işlemini yapalım.
9 + (-24) + 16 = 9 – 24 + 16 = -15 + 16 = 1
Sonuç: 1‘dir. Doğru seçenek A) 1‘dir.
16. (2x – 5y)² = ………………………………..
Yukarıda verilen kutucuktaki özdeşliğe göre noktalı yere hangi cebirsel ifade yazılmalıdır?
Bu soru da bir önceki gibi tam kare özdeşliği sorusu. Yine (a – b)² = a² – 2ab + b² kuralını kullanacağız.
Adım 1: İfademiz (2x – 5y)². Burada ‘a’ yerine ‘2x’, ‘b’ yerine ‘5y’ gelecek.
(2x – 5y)² = (2x)² – 2 . (2x) . (5y) + (5y)²Adım 2: İşlemleri yapıp ifadeyi düzenleyelim.
(2x)² = 4x²
-2 . (2x) . (5y) = -20xy
(5y)² = 25y²
Sonuç: 4x² – 20xy + 25y²Adım 3: Bulduğumuz sonucu şıklarla karşılaştıralım.
A) 4x² – 25y²
B) 4x² – 20xy + 25y²
C) 4x² + 25y²
D) 4x² – 10xy + 25y²
Sonuç: Gördüğün gibi doğru cevap B) 4x² – 20xy + 25y² seçeneğidir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, bu özdeşlikleri bol bol pratik yaparak aklında kalıcı hale getirebilirsin. Başarılar dilerim