Merhaba sevgili öğrencilerim!
Ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bugün, tam kare olmayan sayıların kareköklerinin değerini tahmin etme üzerine oldukça keyifli bir konu işleyeceğiz. Görseldeki soruları birlikte, adım adım ve herkesin anlayacağı bir şekilde çözeceğiz. Kareköklü sayılardan korkmanıza hiç gerek yok, mantığını kavradığımızda ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz.
Haydi başlayalım!
Soru 1: Görselde Selma’nın Melisa’ya uzaklığı √36 m, Caner’e uzaklığı √49 m’dir. Buna göre Selma’nın Boğaç’a uzaklığı kareköklü ifade ile yazılabilir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce bize verilen kareköklü ifadelerin hangi doğal sayılara eşit olduğunu bulalım ve ardından resimdeki konumlara göre bir mantık yürütelim.
- Adım 1: Selma’nın Melisa’ya olan uzaklığı √36 metre olarak verilmiş. Karekök 36, “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 36 eder?” demektir. Cevap 6’dır. Çünkü 6 x 6 = 36’dır. Demek ki Selma ile Melisa’nın arası tam olarak 6 metredir.
- Adım 2: Selma’nın Caner’e olan uzaklığı ise √49 metre. Aynı soruyu soralım: “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 49 eder?”. Cevap 7’dir. Çünkü 7 x 7 = 49’dur. Demek ki Selma ile Caner’in arası tam olarak 7 metredir.
- Adım 3: Şimdi görsele dikkatlice bakalım. Boğaç, Selma’nın bakış açısına göre Melisa ile Caner’in arasında bir yerde duruyor. Bu ne anlama geliyor? Selma’nın Boğaç’a olan uzaklığı, Melisa’ya olan uzaklığından (6 metreden) fazla, ama Caner’e olan uzaklığından (7 metreden) az olmalı.
- Adım 4: Yani, Selma ile Boğaç arasındaki mesafe 6 metreden büyük ve 7 metreden küçük bir sayıdır. Örneğin 6,2 metre veya 6,8 metre gibi bir şey olabilir. Bu tür sayıları kareköklü olarak ifade etmek için karelerini alırız. Bir sayının karekökü 6 ile 7 arasındaysa, o sayı da 36 ile 49 arasında olmalıdır.
Sonuç:
Evet, Selma’nın Boğaç’a uzaklığı kareköklü bir ifade ile yazılabilir. Bu uzaklık, kök içindeki sayısı 36 ile 49 arasında olan bir sayı olmalıdır. Örneğin, bu uzaklık √38 m, √42 m veya √47 m gibi bir değer olabilir.
Örnek 1: √40 ifadesinin değerinin hangi ardışık iki doğal sayının arasında olduğunu belirleyiniz.
Çözüm:
Bu tür sorularda amacımız, karekök içindeki sayıyı, bildiğimiz iki tam kare sayının arasına sıkıştırmaktır. Tıpkı bir sandviç gibi!
- Adım 1: Karekök içindeki sayımız 40. Şimdi 40’tan küçük en büyük tam kare sayıyı ve 40’tan büyük en küçük tam kare sayıyı bulalım. Tam kare sayıları hatırlayalım: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …
- Adım 2: Gördüğümüz gibi 40 sayısı, 36 ile 49 arasındadır. Bunu bir eşitsizlik olarak yazalım:
36 < 40 < 49
- Adım 3: Şimdi bu eşitsizlikteki bütün sayıların karekökünü alalım. Eşitsizliğin yönü değişmeyecektir.
√36 < √40 < √49
- Adım 4: √36’nın 6’ya ve √49’un 7’ye eşit olduğunu biliyoruz. Bunları yerlerine yazalım.
6 < √40 < 7
Sonuç:
Gördüğünüz gibi, √40 ifadesinin değeri 6 ile 7 doğal sayılarının arasındadır.
Örnek 2: √104 ile √73 ifadelerinin değerlerinin hangi doğal sayılara en yakın olduklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda bir önceki örnekten bir adım daha ileri gidiyoruz. Sadece hangi sayılar arasında olduğunu değil, hangisine daha yakın olduğunu bulacağız. İki ifadeyi de ayrı ayrı inceleyelim.
Önce √104 için bakalım:
- Adım 1: Yine 104 sayısını iki tam kare arasına alalım. 10’un karesi 100, 11’in karesi 121’dir. Öyleyse:
100 < 104 < 121
Bu da demek oluyor ki √104 sayısı 10 ile 11 arasındadır.
- Adım 2: Şimdi 104 sayısının 100’e mi yoksa 121’e mi daha yakın olduğunu bulalım. Bunun için aralarındaki farka bakmamız yeterli.
104’ün 100’e uzaklığı: 104 – 100 = 4
104’ün 121’e uzaklığı: 121 – 104 = 17
- Adım 3: 4 sayısı 17’den çok daha küçük olduğu için, 104 sayısı 100’e çok daha yakındır.
Sonuç (√104 için):
Bu durumda √104 sayısı da √100’e, yani 10’a daha yakındır.
Şimdi de √73 için aynı adımları uygulayalım:
- Adım 1: 73 sayısını iki tam kare arasına alalım. 8’in karesi 64, 9’un karesi 81’dir. Öyleyse:
64 < 73 < 81
Bu da demek oluyor ki √73 sayısı 8 ile 9 arasındadır.
- Adım 2: Yakınlığı kontrol edelim. Aradaki farkları bulalım:
73’ün 64’e uzaklığı: 73 – 64 = 9
73’ün 81’e uzaklığı: 81 – 73 = 8
- Adım 3: Bu sefer farklar birbirine çok yakın! Ama 8, 9’dan daha küçük olduğu için 73 sayısı 81’e biraz daha yakındır.
Sonuç (√73 için):
Bu nedenle √73 sayısı da √81’e, yani 9’a daha yakındır.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi kavrayabilirsiniz. Başarılar dilerim