Merhaba sevgili öğrencilerim, bugünkü dersimizde birlikte matematik sorularını adım adım çözeceğiz. Hem konuyu pekiştirecek hem de sorularda nelere dikkat etmemiz gerektiğini öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!
27. Mete, aşağıdaki şekilde verilen harf ve rakamlarla ilk hanesi harf, diğer iki hanesi rakam olacak biçimde üç haneli şifreler oluşturacaktır.
| M | E | T |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
Oluşturulacak şifrelerdeki 2. rakam 1. rakamın bulunduğu kareye ortak kenarı olmayan karelerin birinden seçilecektir.
Örneğin ilk hane M harfi, 2. hane 2 seçilirse 3. hanedeki rakam 2’nin yazılı olduğu kareye ortak kenarı olmayan karelerdeki 4 veya 6 rakamından biri olabilir.
Mete verilen kurala göre oluşturduğu her bir şifreyi ayrı kartlara yazıp bir torbaya atıyor.
Bu torbadan rastgele bir kart seçildiğinde kartın üzerindeki şifrenin son iki rakamının bir tam kare sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soruda olasılık konusunu kullanacağız. Olasılığı bulmak için istenen durum sayısını, tüm durum sayısına bölmemiz gerekiyor.
Öncelikle Mete’nin oluşturabileceği tüm şifreleri bulalım.
Adım 1: İlk Haneyi Belirleme
İlk hane bir harf olacak. Tablomuzda 3 farklı harf var: M, E, T. Yani ilk hane için 3 seçeneğimiz var.
Adım 2: İkinci ve Üçüncü Haneleri Belirleme
İkinci ve üçüncü haneler rakam olacak. Bu rakamlar seçilirken önemli bir kural var: İkinci rakamın bulunduğu kare ile üçüncü rakamın bulunduğu kare ortak kenara sahip olmayacak.
Şimdi bu kuralı göz önünde bulundurarak ikinci ve üçüncü rakamlar için kaçar seçenek olduğunu bulalım.
Tablomuzdaki rakamlar şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Durumları Tek Tek İnceleyelim:
- Eğer ikinci rakam 1 ise: 1’in bulunduğu kareye komşu olan kareler 2 ve 4’tür. Bu yüzden 3. rakam 2 veya 4 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 3, 5, 6’dır. (3 seçenek)
- Eğer ikinci rakam 2 ise: 2’nin bulunduğu kareye komşu olan kareler 1, 3, 5’tir. Bu yüzden 3. rakam 1, 3 veya 5 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 4, 6’dır. (2 seçenek)
- Eğer ikinci rakam 3 ise: 3’ün bulunduğu kareye komşu olan kareler 2, 6’dır. Bu yüzden 3. rakam 2 veya 6 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 1, 4, 5’tir. (3 seçenek)
- Eğer ikinci rakam 4 ise: 4’ün bulunduğu kareye komşu olan kareler 1, 5’tir. Bu yüzden 3. rakam 1 veya 5 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 2, 3, 6’dır. (3 seçenek)
- Eğer ikinci rakam 5 ise: 5’in bulunduğu kareye komşu olan kareler 2, 4, 6’dır. Bu yüzden 3. rakam 2, 4 veya 6 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 1, 3’tür. (2 seçenek)
- Eğer ikinci rakam 6 ise: 6’nın bulunduğu kareye komşu olan kareler 3, 5’tir. Bu yüzden 3. rakam 3 veya 5 olamaz. O zaman 3. rakam için kalan seçenekler 1, 2, 4’tür. (3 seçenek)
Şimdi ikinci ve üçüncü rakamlar için toplam kaç farklı ikili oluşturulabileceğini bulalım:
3 (ikinci rakam 1 iken) + 2 (ikinci rakam 2 iken) + 3 (ikinci rakam 3 iken) + 3 (ikinci rakam 4 iken) + 2 (ikinci rakam 5 iken) + 3 (ikinci rakam 6 iken) = 16 farklı rakam ikilisi.
Adım 3: Toplam Şifre Sayısını Bulma
İlk hanede 3 harf seçeneğimiz vardı. İkinci ve üçüncü haneler için de 16 farklı rakam ikilisi oluşturabiliyorduk. Bu durumda toplam oluşturulabilecek şifre sayısı:
3 (harf seçeneği) * 16 (rakam ikilisi seçeneği) = 48 şifre.
Yani torbada toplam 48 kart var. Bu, tüm durum sayımızdır.
Adım 4: İstenen Durumları (Son İki Rakamın Tam Kare Olması) Bulma
Şimdi son iki rakamın bir tam kare olmasını istediğimiz durumları inceleyelim. Tam kare sayılar, bir sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Örneğin 1×1=1, 2×2=4, 3×3=9 gibi.
Elimizdeki rakamlar 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bu rakamlarla oluşturulabilecek tam kare sayılar 1 ve 4’tür.
Yani son iki rakamın ya ‘1’ ile başlayıp ‘?’ olması ya da ‘?’ ile başlayıp ‘1’ olması veya ‘4’ ile başlayıp ‘?’ olması ya da ‘?’ ile başlayıp ‘4’ olması durumlarını inceleyeceğiz. Ama unutmayalım, ikinci ve üçüncü rakamlar komşu karelerde olmamalı.
İstenen Durumları Tek Tek İnceleyelim:
- Son iki rakam 1’in tam kare olduğu durumlar:
- Eğer ikinci rakam 1 ise, 3. rakam 2 veya 4 olamaz. 3. rakam için 3, 5, 6 seçenekleri vardı. Bu durumda 13, 15, 16 oluşur. Bu sayılar tam kare değildir.
- Eğer üçüncü rakam 1 ise, 2. rakam 1’in komşusu olan 2 ve 4 olamaz. 2. rakam için 1, 3, 5, 6 seçenekleri vardı. 2. rakam 3 olduğunda 31, 2. rakam 5 olduğunda 51, 2. rakam 6 olduğunda 61 oluşur. Bu sayılar tam kare değildir.
- Son iki rakam 4’ün tam kare olduğu durumlar:
- Eğer ikinci rakam 4 ise, 3. rakam 1 veya 5 olamaz. 3. rakam için 2, 3, 6 seçenekleri vardı. Bu durumda 42, 43, 46 oluşur. Bu sayılar tam kare değildir.
- Eğer üçüncü rakam 4 ise, 2. rakam 4’ün komşusu olan 1 ve 5 olamaz. 2. rakam için 2, 3, 6 seçenekleri vardı. Bu durumda 24, 34, 64 oluşur.
- 24: 4’ün komşusu 1 ve 5 değil. 24 tam kare değil.
- 34: 4’ün komşusu 1 ve 5 değil. 34 tam kare değil.
- 64: 4’ün komşusu 1 ve 5 değil. 64 tam kare değil.
Bu incelemelerden de görüldüğü gibi, ikinci ve üçüncü rakamlar bir araya geldiğinde tam kare bir sayı oluşturmuyor. Soruda “son iki rakamının bir tam kare sayı olma olasılığı” soruluyor. Bu, oluşturulan iki haneli sayının tam kare olması anlamına gelir. Ancak buradaki kural, sadece rakamların kendisinin tam kare olması değil, oluşan iki basamaklı sayının tam kare olması.
Tekrar dikkatli inceleyelim: Oluşturulan şifrenin son iki hanesi bir tam kare sayı olacak. Yani oluşan iki basamaklı sayı tam kare olacak. Bu sayılar 16, 25, 36, 49, 64 gibi sayılardır.
Elimizdeki rakamlar 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bu rakamlarla oluşturulabilecek tam kare iki basamaklı sayılar şunlardır:
- 16: İkinci rakam 1, üçüncü rakam 6. 1’in komşuları 2 ve 4. 6’nın komşuları 3 ve 5. 1 ve 6 ortak kenara sahip değil. Bu bir olasılıktır.
- 25: İkinci rakam 2, üçüncü rakam 5. 2’nin komşuları 1, 3, 5. 5’in komşuları 2, 4, 6. 2 ve 5 ortak kenara sahip. Bu bir olasılık DEĞİLDİR.
- 36: İkinci rakam 3, üçüncü rakam 6. 3’ün komşuları 2, 6. 6’nın komşuları 3, 5. 3 ve 6 ortak kenara sahip. Bu bir olasılık DEĞİLDİR.
- 49: 9 rakamı tabloda yok.
- 64: İkinci rakam 6, üçüncü rakam 4. 6’nın komşuları 3, 5. 4’ün komşuları 1, 5. 6 ve 4 ortak kenara sahip değil. Bu bir olasılıktır.
Demek ki son iki rakamın tam kare olması için olabilecek durumlar şunlardır:
- 16: İkinci rakam 1, üçüncü rakam 6. (Bu durum geçerlidir, çünkü 1 ve 6 ortak kenara sahip değil)
- 64: İkinci rakam 6, üçüncü rakam 4. (Bu durum geçerlidir, çünkü 6 ve 4 ortak kenara sahip değil)
Şimdi bu durumların kaç farklı şifre oluşturduğunu bulalım:
- Şifre sonu 16 ise: İlk hane M, E, T olabilir (3 seçenek). Şifreler: M16, E16, T16.
- Şifre sonu 64 ise: İlk hane M, E, T olabilir (3 seçenek). Şifreler: M64, E64, T64.
Yani son iki rakamının bir tam kare sayı olma olasılığını sağlayan toplam 3 + 3 = 6 şifre vardır.
İstenen durum sayısı: 6
Tüm durum sayısı: 48
Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durum Sayısı
Olasılık = 6 / 48
Bu kesri sadeleştirelim:
6 / 48 = 1 / 8
Bu sorunun doğru cevabı C seçeneğidir.
A) $frac{1}{24}$
B) $frac{1}{12}$
C) $frac{1}{8}$
D) $frac{1}{6}$
28. Ahmet, Ali’ye okuduğu kitabın kaç sayfalık bir kitap olduğunu sorduğunda Ali, Ahmet’e “Benim okuduğum kitaptan rastgele bir sayfa açtığında bu sayfa numarasının 3’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılığı ile 4’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılıkları eşittir. Aynı zamanda benim okuduğum kitap 100 sayfadan az, olabilecek en fazla sayfaya sahiptir.” demiştir.
Buna göre Ali’nin kitabı kaç sayfadır?
Çözüm:
Sevgili gençler, bu soruda da olasılık ve sayıların özelliklerini kullanacağız. Ali’nin söylediği iki önemli bilgi var:
- Rastgele bir sayfa açıldığında sayfa numarasının 3’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılığı ile 4’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılığı eşit.
- Kitap 100 sayfadan az ve olabilecek en fazla sayfaya sahip.
Önce pozitif tam sayı kuvvetlerini bir hatırlayalım:
- 3’ün pozitif tam sayı kuvvetleri: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$, …
- 4’ün pozitif tam sayı kuvvetleri: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$, $4^4 = 256$, …
Ali’nin kitabının sayfa sayısı 100’den az olduğuna göre, kitapta bulunabilecek 3’ün pozitif tam sayı kuvvetleri şunlardır: 3, 9, 27, 81.
Kitapta bulunabilecek 4’ün pozitif tam sayı kuvvetleri şunlardır: 4, 16, 64.
Şimdi ilk bilgiyi kullanalım: “3’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılığı ile 4’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılıkları eşittir.”
Olasılık dediğimiz şey, istenen durum sayısının tüm durum sayısına bölünmesiydi. Burada tüm durum sayısı kitabın toplam sayfa sayısıdır. Diyelim ki kitabın toplam sayfa sayısı ‘N’ olsun.
Durum 1: Sayfa numarasının 3’ün kuvveti olma olasılığı
3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81. Bu sayılar eğer kitapta varsa, istenen durum olarak sayılır.
Olasılık 1 = (Kitaptaki 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı) / N
Durum 2: Sayfa numarasının 4’ün kuvveti olma olasılığı
4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64. Bu sayılar da eğer kitapta varsa, istenen durum olarak sayılır.
Olasılık 2 = (Kitaptaki 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı) / N
Soruda bu iki olasılığın eşit olduğu söyleniyor. Yani:
(Kitaptaki 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı) / N = (Kitaptaki 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı) / N
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için payların da eşit olması gerekir. Yani,
Kitaptaki 3’ün pozitif tam sayı kuvveti olan sayfa sayısı = Kitaptaki 4’ün pozitif tam sayı kuvveti olan sayfa sayısı
Şimdi ikinci bilgiyi kullanalım: “Kitap 100 sayfadan az, olabilecek en fazla sayfaya sahip.”
Bu şu anlama geliyor: Kitabın sayfa sayısı, 100’den küçük en büyük sayı olmalı ve bu sayı, yukarıdaki eşitliği sağlamalıdır.
Şimdi 100’den geriye doğru sayfa sayılarını deneyerek, hangi sayfa sayısında 3’ün kuvvetlerinin sayısı ile 4’ün kuvvetlerinin sayısının eşit olacağını bulalım.
Sayfa Sayısı (N) = 99 iken:
- 3’ün kuvvetleri (100’den küçük): 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri (100’den küçük): 4, 16, 64 (3 tane)
Bu sayılar eşit değil.
Sayfa Sayısı (N) = 98 iken:
- 3’ün kuvvetleri (100’den küçük): 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri (100’den küçük): 4, 16, 64 (3 tane)
Bu sayılar eşit değil.
Sayfa Sayısı (N) = 97 iken:
- 3’ün kuvvetleri (100’den küçük): 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri (100’den küçük): 4, 16, 64 (3 tane)
Bu sayılar eşit değil.
Bu şekilde devam edersek, 3’ün kuvvetleri 81’e kadar, 4’ün kuvvetleri ise 64’e kadar devam ediyor. Eğer sayfa sayısı 81’den büyükse, 3’ün kuvvetlerinin sayısı 4 olur. Eğer sayfa sayısı 64’ten büyükse, 4’ün kuvvetlerinin sayısı 3 olur.
İki sayının eşit olabilmesi için, kitabın sayfa sayısının hem 3’ün bir sonraki kuvveti olan 243’ten küçük olması, hem de 4’ün bir sonraki kuvveti olan 256’dan küçük olması gerekiyor.
Şimdi, sayfa sayısını 3’ün kuvvetlerinin sayısına göre ve 4’ün kuvvetlerinin sayısına göre inceleyelim:
- Eğer sayfa sayısı 81 olursa: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27, 81) 4 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) 3 tane.
- Eğer sayfa sayısı 82 olursa: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27, 81) 4 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) 3 tane.
- …
- Eğer sayfa sayısı 100’den az ve en büyük sayı olursa, bu sayı 3’ün kuvvetlerinin sayısının ve 4’ün kuvvetlerinin sayısının eşit olmasını sağlamalıdır.
Bu eşitliği sağlayacak şekilde, hem 3’ün kuvvetlerini hem de 4’ün kuvvetlerini içeren en büyük sayfa sayısını bulmalıyız.
Şimdi 3’ün kuvvetleri ve 4’ün kuvvetlerini içeren tüm sayıları ve kaç tane olduklarını inceleyelim:
3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81
4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64
Eğer kitabın sayfa sayısı 81 olursa:
- 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 4 (3, 9, 27, 81)
- 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (4, 16, 64)
Bu eşit değil.
Eğer kitabın sayfa sayısı 64 olursa:
- 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (3, 9, 27)
- 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (4, 16, 64)
Bu durumda sayılar eşit oluyor! Yani 64 sayfalık bir kitapta, 3 tane 3’ün kuvveti ve 3 tane 4’ün kuvveti var.
Ancak soruda Ali, “olabilecek en fazla sayfaya sahip” demiştir. Eğer kitap 64 sayfa olsaydı, 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı 3, 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı 3 olurdu. Olasılıklar eşit olurdu.
Şimdi 64’ten büyük ama 100’den küçük sayılara bakalım:
Sayfa sayısı 65’ten 80’e kadar:
- 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (3, 9, 27)
- 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (4, 16, 64)
Bu sayılar eşit değil. Çünkü 81 sayısı hala kitaba dahil değil.
Sayfa sayısı 81 olursa:
- 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 4 (3, 9, 27, 81)
- 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı: 3 (4, 16, 64)
Bu eşit değil.
Sayfa sayısı 82’den 100’den az olana kadar:
Bu aralıkta, 3’ün kuvveti olan sayfa sayısı 4 (3, 9, 27, 81) olur. 4’ün kuvveti olan sayfa sayısı ise hala 3 (4, 16, 64) olur.
Bu durumda, eşitliği sağlayan tek durum, hem 3’ün kuvvetlerinin hem de 4’ün kuvvetlerinin sayısının eşit olduğu durumdur. Bu da ancak iki kümenin kesişimini düşündüğümüzde olur.
Tekrar düşünelim: Olasılıklar eşitse, demek ki sayfa sayısı öyle bir sayı olmalı ki, o sayıya kadar hem 3’ün kuvvetlerinin sayısı hem de 4’ün kuvvetlerinin sayısı aynı olsun.
Bu durum ancak, 3’ün kuvvetlerinin sayısı ile 4’ün kuvvetlerinin sayısının eşit olduğu bir “sınır” sayfa sayısını bulduğumuzda mümkündür.
Eğer kitabın sayfa sayısı 64 olursa:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27 (3 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Bu durumda olasılıklar eşittir. Kitap 64 sayfa olabilir.
Şimdi 100’den az ve en fazla sayfayı bulmalıyız. 64 sayfa bu şartı sağlar, ama daha büyük bir sayı olabilir mi?
Eğer kitap 81 sayfa olsaydı:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşit değil.
Peki, 81’den büyük ama 100’den küçük bir sayı olsaydı?
Örneğin 98 sayfa olsaydı:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşit değil.
Burada dikkat etmemiz gereken nokta, Ali’nin söylediği olasılıkların “eşit olması”. Bu eşitlik, kitabın toplam sayfa sayısına (N) bağlıdır. Ancak, 3’ün kuvveti olan sayfaların sayısı ile 4’ün kuvveti olan sayfaların sayısının birbirine eşit olması gerekiyor ki, N’ye böldüğümüzde olasılıklar eşit çıksın.
Bu eşitliği sağlayacak en büyük N sayısını arıyoruz. Bu da şu anlama gelir: 3’ün kuvvetlerinin sayısı ile 4’ün kuvvetlerinin sayısının eşit olduğu son sayfa numarası nedir?
3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81
4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64
Eğer kitabın sayfa sayısı 64 olursa, 3’ün kuvveti 3 tane, 4’ün kuvveti 3 tane olur. Eşitlik sağlanır.
Eğer kitabın sayfa sayısı 65’ten 80’e kadar olursa, 3’ün kuvveti 3 tane, 4’ün kuvveti 3 tane olur. (Çünkü 81 henüz dahil değil.) Bu durumda da olasılıklar eşit olur.
Eğer kitabın sayfa sayısı 81 olursa, 3’ün kuvveti 4 tane, 4’ün kuvveti 3 tane olur. Eşitlik bozulur.
Soruda “olabilecek en fazla sayfaya sahip” deniyor. Bu durumda, 65 ile 80 arasındaki sayfa sayılarında eşitlik sağlanır.
Örneğin, kitap 80 sayfa olsaydı:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27 (3 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Bu durumda olasılıklar eşit olur.
Ancak Ali’nin söylediği “aynı zamanda benim okuduğum kitap 100 sayfadan az, olabilecek en fazla sayfaya sahiptir.” ifadesi önemlidir. Bu, kitabın sayfa sayısının, bu eşitliği sağlayan en büyük sayı olduğunu gösterir.
Peki, 81’den büyük ama 100’den küçük hangi sayılar bu eşitliği sağlar?
Eğer sayfa sayısı 81 olursa, 3’ün kuvveti 4 tane, 4’ün kuvveti 3 tane olur. Eşitlik olmaz.
Burada bir düşünme hatası yapmış olabiliriz. Olasılıkların eşit olması demek, sayfa sayısına kadar olan 3’ün kuvvetlerinin sayısının, sayfa sayısına kadar olan 4’ün kuvvetlerinin sayısına eşit olması demektir.
Yani, eğer kitabın sayfa sayısı N ise:
${s in mathbb{Z}^+ | s le N text{ ve } s = 3^k text{ for some } k in mathbb{Z}^+}$ kümesinin eleman sayısı = ${s in mathbb{Z}^+ | s le N text{ ve } s = 4^m text{ for some } m in mathbb{Z}^+}$ kümesinin eleman sayısı.
Bu eşitliği sağlayan ve 100’den az olan en büyük N sayısını arıyoruz.
Şimdi 3’ün ve 4’ün kuvvetlerini tekrar gözden geçirelim:
3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81
4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64
Eğer N = 81 olursa:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşit değil.
Eğer N = 80 olursa:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27 (3 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşit!
Eğer N = 64 olursa:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27 (3 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşit!
Soruda “olabilecek en fazla sayfaya sahip” dediği için, N’nin 100’den az olan en büyük değeri olmalı.
Bu durumda, 80 sayfa olsaydı, eşitlik sağlanırdı. 81 sayfa olduğunda eşitlik bozuluyor.
Ali’nin kitabının sayfa sayısı 100’den az ve olabilecek en fazla sayfaya sahip olduğuna göre ve olasılıklar eşit olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan en büyük sayfa sayısı 80 olmalıdır. Çünkü 81 olduğunda eşitlik bozuluyor.
Ancak seçeneklere baktığımızda 80 var.
Tekrar düşünelim. Ali’nin söylediği şu:
“Benim okuduğum kitaptan rastgele bir sayfa açtığında bu sayfa numarasının 3’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılığı ile 4’ün pozitif tam sayı kuvveti olma olasılıkları eşittir.”
Bu, kitabın sayfa sayısının N olduğunu varsayarsak:
$$ frac{|{k in mathbb{Z}^+ : 3^k le N}|}{N} = frac{|{m in mathbb{Z}^+ : 4^m le N}|}{N} $$
Bu eşitlik ancak:
$$ |{k in mathbb{Z}^+ : 3^k le N}| = |{m in mathbb{Z}^+ : 4^m le N}| $$
olduğunda sağlanır.
Şimdi bu eşitliği sağlayan en büyük N (N < 100) sayısını bulmalıyız.
N’yi artırarak deneyelim:
- N = 64: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27) = 3 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit.
- N = 65’ten 80’e kadar: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27) = 3 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit.
- N = 81: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27, 81) = 4 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit değil.
Bu durumda, 65 ile 80 arasındaki tüm sayfa sayılarında bu eşitlik sağlanır. Ali “olabilecek en fazla sayfaya sahip” dediği için, bu aralıktaki en büyük sayı 80’dir.
Ancak seçeneklere baktığımızda 80 de var.
Soruda bir gözden kaçırdığım bir nokta var mı diye tekrar bakıyorum.
Ali’nin söylediği ikinci kısım: “Aynı zamanda benim okuduğum kitap 100 sayfadan az, olabilecek en fazla sayfaya sahiptir.”
Bu, kitabın sayfa sayısının, bu eşitliği sağlayan en büyük sayı olması gerektiğini gösteriyor.
Eğer N = 80 ise:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27 (3 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşitlik sağlanır. 80 < 100.
Eğer N = 81 ise:
- 3’ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81 (4 tane)
- 4’ün kuvvetleri: 4, 16, 64 (3 tane)
Eşitlik sağlanmaz.
Bu durumda, 80 sayfa sayısı, hem eşitliği sağlayan hem de 100’den az olan en büyük sayıdır.
Seçeneklere baktığımda 80 sayısı mevcut.
A) 28
B) 65
C) 80
D) 98
Sorunun ifadesini tekrar okuyorum. “aynı zamanda benim okuduğum kitap 100 sayfadan az, olabilecek en fazla sayfaya sahiptir.”
Bu, kitabın sayfa sayısının öyle bir sayı olması gerektiğini gösteriyor ki, o sayıdan büyük olsaydı eşitlik bozulacaktı.
Şimdi 65 sayfa için kontrol edelim (Seçenek B):
- N = 65: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27) = 3 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit.
Şimdi 98 sayfa için kontrol edelim (Seçenek D):
- N = 98: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27, 81) = 4 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit değil.
Şimdi 28 sayfa için kontrol edelim (Seçenek A):
- N = 28: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27) = 3 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16) = 2 tane. Eşit değil.
Geriye sadece 80 sayısı kalıyor. 80 sayfa için eşitlik sağlanıyor.
Peki, 65 ile 80 arasında sayfa sayısı olsaydı ne olurdu? Örneğin 70 sayfa olsaydı:
- N = 70: 3’ün kuvvetleri (3, 9, 27) = 3 tane. 4’ün kuvvetleri (4, 16, 64) = 3 tane. Eşit.
Burada “olabilecek en fazla sayfaya sahip” ifadesi kritik. Bu, eşitliği sağlayan en büyük sayfa sayısını bulmamız gerektiğini gösteriyor.
Eğer sayfa sayısı 80 ise, eşitlik sağlanır. Eğer sayfa sayısı 81 olursa, eşitlik bozulur. Bu demek oluyor ki, 80 sayısı, bu eşitliği sağlayan ve 100’den küçük en büyük sayıdır.
Dolayısıyla, Ali’nin kitabının sayfa sayısı 80’dir.
Bu sorunun doğru cevabı C seçeneğidir.
A) 28
B) 65
C) 80
D) 98