Merhaba gençler! Ben Matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte gönderdiğiniz alıştırmaları çözeceğiz. Bu konular, matematiğin en temel ve en önemli konularından olan özdeşlikler. Hazırsanız, kalemler kağıtlar hazırsa, haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki eşitlikler özdeşlik ise ilgili kutucuğa “Ö”, değil ise “D” yazınız.
Sevgili öğrenciler, bir eşitliğin özdeşlik olması için, içindeki değişkenlere (yani harflere) hangi sayıyı verirsek verelim eşitliğin her zaman doğru çıkması gerekir. Eğer sadece bazı değerler için doğru çıkıyorsa ona denklem diyoruz. Haydi şimdi bu gözle şıklara bakalım.
a) 7 . (x – 2) = 7x – 14
Çözüm:
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki parantezi dağılma özelliğini kullanarak açalım. Yani 7’yi hem x ile hem de -2 ile çarpalım.
7 . x = 7x
7 . (–2) = –14Adım 2: Şimdi bulduğumuz sonuçları birleştirelim: 7x – 14. Eşitliğin sağ tarafında da 7x – 14 yazdığını görüyoruz.
Adım 3: Sol taraf (7x – 14) ve sağ taraf (7x – 14) birbirinin aynısı oldu. Bu demektir ki, x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım bu eşitlik her zaman doğru olacaktır. Bu yüzden bu bir özdeşliktir.
Sonuç: Kutucuğa Ö yazılmalıdır.
b) (x – 3)² = x² + 6x + 9
Çözüm:
Adım 1: Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir. (a – b)² = a² – 2ab + b² kuralını hatırlayalım. Burada a yerine x, b yerine 3 gelmiş.
Adım 2: Kuralı uygulayalım: (x – 3)² = x² – 2.x.3 + 3² = x² – 6x + 9.
Adım 3: Bizim bulduğumuz sonuç x² – 6x + 9. Soruda verilen ise x² + 6x + 9. Ortadaki terimin işareti farklı! Bu yüzden bu eşitlik her zaman doğru değildir.
Sonuç: Kutucuğa D yazılmalıdır.
c) (x + 6)² = x² + 12x + 36
Çözüm:
Adım 1: Bu da bir tam kare özdeşliği. (a + b)² = a² + 2ab + b² kuralını kullanacağız. Burada a yerine x, b yerine 6 gelmiş.
Adım 2: Kuralı uygulayalım: (x + 6)² = x² + 2.x.6 + 6² = x² + 12x + 36.
Adım 3: Bulduğumuz sonuç (x² + 12x + 36) ile soruda verilen eşitliğin sağ tarafı tamamen aynı. Demek ki bu bir özdeşliktir.
Sonuç: Kutucuğa Ö yazılmalıdır.
ç) x² – 2y² = (x – 2y) . (x + 2y)
Çözüm:
Adım 1: Eşitliğin sağ tarafı iki kare farkı özdeşliğinin açılımına benziyor. Kuralımız neydi? (a – b)(a + b) = a² – b². Burada a yerine x, b yerine 2y gelmiş gibi duruyor.
Adım 2: Kuralı uygulayalım: (x – 2y)(x + 2y) = x² – (2y)² = x² – 4y².
Adım 3: Bizim bulduğumuz sonuç x² – 4y². Soruda verilen ise x² – 2y². Gördüğünüz gibi y²’nin katsayıları farklı (birinde -4, diğerinde -2). Bu yüzden bu bir özdeşlik değildir.
Sonuç: Kutucuğa D yazılmalıdır.
2. Aşağıda modellenen özdeşlikleri yazınız.
Burada şekillerin alanlarından yola çıkarak cebirsel ifadeleri bulacağız. Unutmayın, bir şeklin toplam alanı, içindeki küçük parçaların alanları toplamına eşittir.
a)
Çözüm:
Adım 1: Büyük şeklin bir kenar uzunluğunu bulalım. Şeklin bir kenarı, yeşil karenin bir kenarı (x) ile mavi dikdörtgenin kısa kenarının (1) toplamından oluşuyor. Yani büyük şeklin bir kenarı (x + 1)‘dir. Bu bir kare olduğu için alanı (x + 1)² olur.
Adım 2: Şimdi de içindeki parçaların alanlarını tek tek toplayalım.
– Bir tane büyük yeşil kare var, alanı: x . x = x²
– İki tane mavi dikdörtgen var, her birinin alanı: x . 1 = x. Toplamda 2x eder.
– Bir tane küçük turuncu kare var, alanı: 1 . 1 = 1Adım 3: Parçaların alanlarını toplayınca toplam alan: x² + 2x + 1 olur.
Sonuç: Bu modelin gösterdiği özdeşlik: (x + 1)² = x² + 2x + 1
b)
Çözüm:
Adım 1: Büyük şeklin bir kenar uzunluğunu bulalım. Kenar, büyük yeşil karenin bir kenarı (x) ile üç tane mavi dikdörtgenin kısa kenarlarının (her biri 1) toplamından oluşuyor. Yani bir kenar (x + 3)‘tür. Şekil bir kare olduğuna göre toplam alanı (x + 3)² olur.
Adım 2: İçindeki parçaların alanlarını toplayalım.
– Bir tane büyük yeşil kare, alanı: x . x = x²
– Toplam altı tane mavi dikdörtgen var (3’ü sağda, 3’ü altta), her birinin alanı x . 1 = x. Toplamda 6x eder.
– Dokuz tane küçük turuncu kare var, her birinin alanı 1 . 1 = 1. Toplamda 9 eder.Adım 3: Parçaların alanları toplamı: x² + 6x + 9.
Sonuç: Bu modelin gösterdiği özdeşlik: (x + 3)² = x² + 6x + 9
3. Aşağıdaki noktalı yerlere uygun cebirsel ifadeleri yazarak özdeşlikler oluşturunuz.
Burada da tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanacağız. Kuralları iyi bilmek işimizi çok kolaylaştırır!
- a) (–x + 5y)² = 25y² – 10xy + x²
- b) (x + 4y)² = x² + 8xy + 16y²
- c) (4x – 2y)² = 16x² – 16xy + 4y²
- ç) 49x² – y² = (7x – y)(7x + y)
- d) x² – 4y² = (x – 2y)(x + 2y)
- e) 100x² – 100y² = (10x – 10y)(10x + 10y)
Kısaca açıklamaları:
a, b, c şıklarında tam kare açılımı kuralını (birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi) uyguluyoruz. İşaretlere dikkat etmeyi unutmayın!
ç, d, e şıklarında ise iki kare farkı kuralını (a² – b² = (a – b)(a + b)) kullanıyoruz. Önce her terimin neyin karesi olduğunu buluyoruz, sonra da bu terimleri bir çıkarıp bir toplayarak çarpıyoruz. Örneğin 49x² ifadesi (7x)‘in karesidir, y² ise y‘nin karesidir.
4. Bir karenin kenar uzunluğu (a + 5) br’dir. a pozitif bir sayı olmak üzere karenin alanını belirten özdeşliği yazınız.
Çözüm:
Adım 1: Bir karenin alanının, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılarak (yani karesi alınarak) bulunduğunu biliyoruz.
Adım 2: Bize kenar uzunluğu (a + 5) olarak verilmiş. O zaman alanı bulmak için bu ifadenin karesini almalıyız: Alan = (a + 5)².
Adım 3: Şimdi (a + 5)² ifadesini tam kare özdeşliği kuralını kullanarak açalım: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + 5)² = a² + 2.a.5 + 5²
(a + 5)² = a² + 10a + 25Sonuç: Karenin alanını belirten özdeşlik: (a + 5)² = a² + 10a + 25
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi bir şekilde kavrayabilirsiniz. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim