Harika bir alıştırma! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik Öğretmeninim. Gel birlikte bu soruları adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözelim. Geometride eşlik ve benzerlik konuları aslında birer bulmaca gibidir. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki üçgenlerden yandaki ABC üçgeni ile eş olanı maviye, benzer olanı pembeye boyayınız.
Bu soruyu çözmek için önce bize verilen referans üçgeni, yani ABC üçgenini iyice bir tanıyalım. Sonra diğer üçgenleri tek tek onunla karşılaştıracağız.
Adım 1: ABC Üçgenini Analiz Edelim
ABC üçgeni bir dik üçgen, çünkü B açısı 90°. A açısı 53° olarak verilmiş. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre, C açısını kolayca bulabiliriz:
90° + 53° = 143°
180° – 143° = 37°. Demek ki C açısı 37 dereceymiş.
Kenar uzunlukları ise AB = 9 cm ve BC = 12 cm. Hipotenüsü (AC kenarını) Pisagor teoreminden bulabiliriz ama şimdilik bu kadar bilgi yeterli. Hatta bu bir 3-4-5 üçgeninin katı (9-12-15 üçgeni).
Adım 2: Eş Üçgeni Bulalım (Maviye Boyanacak Olan)
İki üçgenin “eş” olması demek, tıpatıp aynı olmaları demektir. Yani hem karşılıklı açılarının hem de karşılıklı kenarlarının eşit olması gerekir. Kısacası, ABC üçgeninin kopyasını arıyoruz.
- DEF üçgenine bakalım: E açısı 90°, F açısı 37°. O zaman D açısı da 180° – (90° + 37°) = 53° olur. Açıları ABC üçgeni ile aynı (90°, 53°, 37°). Şimdi kenarlara bakalım. ABC üçgeninde 37°’lik C açısının karşısındaki kenar 9 cm. DEF üçgeninde 37°’lik F açısının karşısındaki kenar (DE) 9 cm. ABC üçgeninde 53°’lik A açısının karşısındaki kenar 12 cm. DEF üçgeninde 53°’lik D açısının karşısındaki kenarı (EF) Pisagor’dan bulalım: EF² + 9² = 15² => EF² + 81 = 225 => EF² = 144 => EF = 12 cm. Gördüğün gibi bu kenar da aynı! Hipotenüsler de 15 cm.
Sonuç: DEF üçgeni, ABC üçgeni ile tamamen aynı açılara ve kenarlara sahip. Bu yüzden bu iki üçgen eştir.DEF üçgeni maviye boyanmalıdır.
Adım 3: Benzer Üçgeni Bulalım (Pembeye Boyanacak Olan)
İki üçgenin “benzer” olması demek, açılarının aynı ama kenarlarının orantılı olması demektir. Yani biri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hali gibidir.
- KLM üçgenine bakalım: L açısı 90°, M açısı 37°. O zaman K açısı da 180° – (90° + 37°) = 53° olur. Açıları ABC üçgeni ile aynı! Demek ki bu üçgenler benzer. Şimdi kenarların oranına bakalım.
- ABC’de 37°’nin karşısı: 9 cm. KLM’de 37°’nin karşısı: 3 cm. Oran: 3/9 = 1/3.
- ABC’de 53°’nin karşısı: 12 cm. KLM’de 53°’nin karşısı (LM kenarı): Pisagor’dan bulalım: LM² + 3² = 5² => LM² + 9 = 25 => LM² = 16 => LM = 4 cm. Oran: 4/12 = 1/3.
- ABC’de hipotenüs: 15 cm. KLM’de hipotenüs: 5 cm. Oran: 5/15 = 1/3.
Tüm kenarların oranı aynı (1/3) olduğuna göre, bu iki üçgen kesinlikle benzerdir.
KLM üçgeni pembeye boyanmalıdır.
(Not: TUV üçgeni de aslında ABC üçgenine benzerdir çünkü kenarları 15-20-25’tir ve bu da 9-12-15’in 5/3 katıdır. Ancak soruda genellikle tek bir cevap istenir ve açıları verilen KLM daha bariz bir örnektir.)
2. Yukarıdaki KLMN ile PRST dörtgenleri benzerdir. Buna göre dörtgenlerin benzerlik oranını belirleyiniz. x + y işleminin sonucunu bulunuz.
Sevgili öğrencim, bu soruda da benzerlik kavramını kullanacağız. “Benzerdir” dendiği zaman aklına hemen iki şey gelmeli:
- Karşılıklı açıları eşittir.
- Karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbiriyle orantılıdır. Bu orana da benzerlik oranı deriz.
Adım 1: Benzerlik Oranını Bulalım
Dörtgenlerin isimleri bize hangi köşenin hangisiyle eşleştiğini söyler: KLMN ~ PRST. Yani K köşesi P ile, L köşesi R ile, M köşesi S ile ve N köşesi T ile eşleşir.
Bu durumda kenarlar da şöyle eşleşir: KL kenarı PR ile, MN kenarı ST ile…
Benzerlik oranını bulmak için bildiğimiz iki karşılıklı kenarı birbirine bölelim. KL kenarını ve ona karşılık gelen PR kenarını biliyoruz.
Benzerlik Oranı = |KL| / |PR| = 14 br / 7 br = 2
Demek ki KLMN dörtgeni, PRST dörtgeninin 2 katı büyüklüğündeymiş.
Adım 2: x ve y Değerlerini Bulalım
Artık benzerlik oranının 2 olduğunu biliyoruz. Bu oranı kullanarak diğer kenarları bulabiliriz.
- y’yi bulalım: MN kenarı ST kenarına karşılık gelir. Öyleyse |MN| / |ST| = 2 olmalıdır.
8 / (y – 1) = 2
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 8 = 2 * (y – 1)
8 = 2y – 2
2’yi karşıya atalım: 8 + 2 = 2y
10 = 2y
Her iki tarafı 2’ye bölersek: y = 5- x’i bulalım: KN kenarı TP kenarına karşılık gelir. Öyleyse |KN| / |TP| = 2 olmalıdır.
6 / (x + 1) = 2
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 6 = 2 * (x + 1)
6 = 2x + 2
2’yi karşıya atalım: 6 – 2 = 2x
4 = 2x
Her iki tarafı 2’ye bölersek: x = 2
Adım 3: x + y İşlemini Yapalım
Sorunun bizden istediği son şey x ile y’yi toplamamız.
x = 2 ve y = 5 bulmuştuk.
x + y = 2 + 5 = 7
Sonuç: Dörtgenlerin benzerlik oranı 2‘dir ve x + y işleminin sonucu 7‘dir.
Umarım çözümleri beğenmişsindir. Unutma, geometri sabır ve dikkat gerektirir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!