8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 112

Harika bir 8. sınıf öğrencisi gibi düşünerek bu soruları senin için adım adım çözeceğim. Hadi başlayalım!

16. Soru

Yukarıda verilen çokgenin içinde bulunan kareköklü ifadeler a√b şeklinde yazılıyor. b değeri, kareköklü ifadenin içinde bulunduğu çokgenin kenar sayısına eşit oluyor. Aynı özellikleri taşıyan yukarıdaki çokgende bulunan D yerine aşağıdaki ifadelerden hangisi yazılabilir?

A) √98
B) √115
C) √175
D) √225

Çözüm:

Merhaba arkadaşlar, bu soruda bize bir kural verilmiş. Kuralı anlarsak soruyu çok kolay çözeriz. Haydi önce kuralı anlayalım.

Adım 1: Kuralı ve Örneği Anlayalım

Kuralımız şu: Çokgenin içindeki kareköklü sayıyı a√b şeklinde yazdığımızda, kökün içindeki b sayısı, çokgenin kenar sayısına eşit olmalı.

Bize verilen ilk örnekte bir altıgen var. Altıgenin 6 kenarı vardır. İçindeki sayı ise √216.
Şimdi √216 sayısını a√b şeklinde yazalım. Bunun için 216’yı asal çarpanlarına ayırabiliriz veya tam kare bir çarpan bulmaya çalışabiliriz. 216, 36’nın 6 katıdır. 36 da bir tam karedir (6×6=36).

√216 = √(36 x 6) = √36 x √6 = 6√6

Gördüğünüz gibi, sonuç 6√6 oldu. Kökün içindeki sayı (yani b) 6. Çokgenimiz de bir altıgen olduğu için 6 kenarlı. Kuralımız sağlanmış oldu!

Adım 2: D Harfinin Olduğu Çokgeni İnceleyelim

Şimdi D harfinin olduğu çokgene bakalım. Bu çokgenin kaç kenarı var sayalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Evet, bu bir yedigen! Yani 7 kenarı var.

Bu durumda, D yerine yazacağımız sayıyı a√b şeklinde yazdığımızda kökün içindeki b sayısının 7 olması gerekiyor.

Adım 3: Şıkları Tek Tek Deneyelim

Şimdi şıklardaki sayıları a√b şeklinde yazıp hangisinin kuralımıza uyduğunu bulalım.

• A) √98
  98’i tam kare bir sayıyla çarpmayı deneyelim. 98 = 49 x 2. (49, 7’nin karesidir)
  √98 = √(49 x 2) = 7√2. Burada kök içindeki sayı 2. Biz 7 olmasını istiyorduk. Bu şık yanlış.
• B) √115
  115’in çarpanları 5 ve 23’tür. İkisi de tam kare değil. Bu yüzden √115 kök dışına çıkmaz, yani a√b şeklinde yazılamaz (sadece 1√115 olur). Kök içi 115. Bu şık da yanlış.
• C) √175
  175’i tam kare bir sayıyla çarpmayı deneyelim. 175’in sonunda 5 olduğu için 25’e bölmeyi deneyebiliriz. 175 = 25 x 7. (25, 5’in karesidir)
  √175 = √(25 x 7) = 5√7. Burada kök içindeki sayı 7! Çokgenimiz de 7 kenarlıydı. Aradığımız cevap bu!
• D) √225
  √225, tam kare bir sayıdır. 15 x 15 = 225 olduğu için √225 = 15‘tir. Bunu a√b şeklinde yazarsak 15√1 olur. Kök içindeki sayı 1‘dir. Bu şık da yanlış.

Sonuç:

Kuralımıza uyan tek şık C şıkkıdır. Çünkü √175 = 5√7’dir ve kök içindeki 7, yedigenin kenar sayısına eşittir.

Doğru Cevap: C) √175

17. Soru

Uzun kenarı 36√2 dm uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki panoya aşağıdaki görselde olduğu gibi dikdörtgen şeklindeki 3 eş afiş, kenarları panonun kenarlarına paralel olacak şekilde asılmıştır. Görselde verilen her bir afişin uzun kenar uzunluğu, kısa kenar uzunluğunun 2 katıdır. Görselde verilenlere göre her bir afişin bir yüzünün alanı kaç dm² dir?

A) 16
B) 64
C) 128
D) 256

Çözüm:

Arkadaşlar bu soruyu çözmek için panonun uzunluğundan yola çıkarak bir afişin kenar uzunluklarını bulmamız gerekiyor. Sakin ve dikkatli bir şekilde ilerleyelim.

Adım 1: Boşlukların Toplam Uzunluğunu Bulalım

Panonun toplam uzunluğu 36√2 dm. Panoda 3 afiş ve aralarında boşluklar var. Görsele dikkatli bakarsak, afişlerin arasında ve kenarlarda toplam 4 tane boşluk olduğunu görürüz. Her bir boşluğun uzunluğu √18 dm olarak verilmiş.

Önce √18’i a√b şeklinde yazarak işimizi kolaylaştıralım.
√18 = √(9 x 2) = 3√2 dm.

Demek ki her bir boşluk 3√2 dm. Toplam 4 boşluk olduğuna göre:

Toplam boşluk uzunluğu = 4 x (3√2) = 12√2 dm.

Adım 2: 3 Afişin Toplam Uzunluğunu Bulalım

Panonun toplam uzunluğundan boşlukların toplam uzunluğunu çıkarırsak, geriye sadece 3 afişin yan yana kapladığı toplam uzunluk kalır.

Afişlerin toplam uzunluğu = (Panonun uzunluğu) – (Toplam boşluk uzunluğu)
Afişlerin toplam uzunluğu = 36√2 – 12√2 = 24√2 dm.

Adım 3: Bir Afişin Uzun Kenarını Bulalım

Soruda 3 afişin de “eş” yani aynı olduğu söyleniyor. O zaman 3 afişin toplam uzunluğunu 3’e bölersek, bir afişin uzun kenarını bulmuş oluruz.

Bir afişin uzun kenarı = (24√2) / 3 = 8√2 dm.

Adım 4: Bir Afişin Kısa Kenarını Bulalım

Soruda bize bir ipucu verilmişti: “her bir afişin uzun kenar uzunluğu, kısa kenar uzunluğunun 2 katıdır.“

Uzun Kenar = 2 x Kısa Kenar
8√2 = 2 x Kısa Kenar

Kısa kenarı bulmak için uzun kenarı 2’ye böleriz:
Kısa Kenar = (8√2) / 2 = 4√2 dm.

Adım 5: Bir Afişin Alanını Hesaplayalım

Artık bir afişin hem uzun kenarını (8√2 dm) hem de kısa kenarını (4√2 dm) biliyoruz. Dikdörtgenin alanı, uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır.

Alan = Uzun Kenar x Kısa Kenar
Alan = (8√2) x (4√2)

Bu çarpımı yaparken tam sayıları kendi arasında, köklü sayıları kendi arasında çarparız:
Alan = (8 x 4) x (√2 x √2)
Alan = 32 x 2 (Unutmayın, √2 x √2 = √4 = 2’dir. Bir köklü sayı kendisiyle çarpılınca kök ortadan kalkar.)
Alan = 64 dm²

Sonuç:

Yaptığımız hesaplamalar sonucunda bir afişin alanını 64 dm² olarak bulduk.

Doğru Cevap: B) 64