Harika bir 8. sınıf öğrencisi gibi düşünerek bu soruları senin için adım adım çözeceğim. Hadi başlayalım!
16. Soru
Yukarıda verilen çokgenin içinde bulunan kareköklü ifadeler a√b şeklinde yazılıyor. b değeri, kareköklü ifadenin içinde bulunduğu çokgenin kenar sayısına eşit oluyor. Aynı özellikleri taşıyan yukarıdaki çokgende bulunan D yerine aşağıdaki ifadelerden hangisi yazılabilir?
A) √98
B) √115
C) √175
D) √225
Çözüm:
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bize bir kural verilmiş. Kuralı anlarsak soruyu çok kolay çözeriz. Haydi önce kuralı anlayalım.
Adım 1: Kuralı ve Örneği Anlayalım
Kuralımız şu: Çokgenin içindeki kareköklü sayıyı a√b şeklinde yazdığımızda, kökün içindeki b sayısı, çokgenin kenar sayısına eşit olmalı.
Bize verilen ilk örnekte bir altıgen var. Altıgenin 6 kenarı vardır. İçindeki sayı ise √216.
Şimdi √216 sayısını a√b şeklinde yazalım. Bunun için 216’yı asal çarpanlarına ayırabiliriz veya tam kare bir çarpan bulmaya çalışabiliriz. 216, 36’nın 6 katıdır. 36 da bir tam karedir (6×6=36).
√216 = √(36 x 6) = √36 x √6 = 6√6
Gördüğünüz gibi, sonuç 6√6 oldu. Kökün içindeki sayı (yani b) 6. Çokgenimiz de bir altıgen olduğu için 6 kenarlı. Kuralımız sağlanmış oldu!
Adım 2: D Harfinin Olduğu Çokgeni İnceleyelim
Şimdi D harfinin olduğu çokgene bakalım. Bu çokgenin kaç kenarı var sayalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Evet, bu bir yedigen! Yani 7 kenarı var.
Bu durumda, D yerine yazacağımız sayıyı a√b şeklinde yazdığımızda kökün içindeki b sayısının 7 olması gerekiyor.
Adım 3: Şıkları Tek Tek Deneyelim
Şimdi şıklardaki sayıları a√b şeklinde yazıp hangisinin kuralımıza uyduğunu bulalım.
- A) √98
98’i tam kare bir sayıyla çarpmayı deneyelim. 98 = 49 x 2. (49, 7’nin karesidir)
√98 = √(49 x 2) = 7√2. Burada kök içindeki sayı 2. Biz 7 olmasını istiyorduk. Bu şık yanlış. - B) √115
115’in çarpanları 5 ve 23’tür. İkisi de tam kare değil. Bu yüzden √115 kök dışına çıkmaz, yani a√b şeklinde yazılamaz (sadece 1√115 olur). Kök içi 115. Bu şık da yanlış. - C) √175
175’i tam kare bir sayıyla çarpmayı deneyelim. 175’in sonunda 5 olduğu için 25’e bölmeyi deneyebiliriz. 175 = 25 x 7. (25, 5’in karesidir)
√175 = √(25 x 7) = 5√7. Burada kök içindeki sayı 7! Çokgenimiz de 7 kenarlıydı. Aradığımız cevap bu! - D) √225
√225, tam kare bir sayıdır. 15 x 15 = 225 olduğu için √225 = 15‘tir. Bunu a√b şeklinde yazarsak 15√1 olur. Kök içindeki sayı 1‘dir. Bu şık da yanlış.
Sonuç:
Kuralımıza uyan tek şık C şıkkıdır. Çünkü √175 = 5√7’dir ve kök içindeki 7, yedigenin kenar sayısına eşittir.
Doğru Cevap: C) √175
17. Soru
Uzun kenarı 36√2 dm uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki panoya aşağıdaki görselde olduğu gibi dikdörtgen şeklindeki 3 eş afiş, kenarları panonun kenarlarına paralel olacak şekilde asılmıştır. Görselde verilen her bir afişin uzun kenar uzunluğu, kısa kenar uzunluğunun 2 katıdır. Görselde verilenlere göre her bir afişin bir yüzünün alanı kaç dm² dir?
A) 16
B) 64
C) 128
D) 256
Çözüm:
Arkadaşlar bu soruyu çözmek için panonun uzunluğundan yola çıkarak bir afişin kenar uzunluklarını bulmamız gerekiyor. Sakin ve dikkatli bir şekilde ilerleyelim.
Adım 1: Boşlukların Toplam Uzunluğunu Bulalım
Panonun toplam uzunluğu 36√2 dm. Panoda 3 afiş ve aralarında boşluklar var. Görsele dikkatli bakarsak, afişlerin arasında ve kenarlarda toplam 4 tane boşluk olduğunu görürüz. Her bir boşluğun uzunluğu √18 dm olarak verilmiş.
Önce √18’i a√b şeklinde yazarak işimizi kolaylaştıralım.
√18 = √(9 x 2) = 3√2 dm.
Demek ki her bir boşluk 3√2 dm. Toplam 4 boşluk olduğuna göre:
Toplam boşluk uzunluğu = 4 x (3√2) = 12√2 dm.
Adım 2: 3 Afişin Toplam Uzunluğunu Bulalım
Panonun toplam uzunluğundan boşlukların toplam uzunluğunu çıkarırsak, geriye sadece 3 afişin yan yana kapladığı toplam uzunluk kalır.
Afişlerin toplam uzunluğu = (Panonun uzunluğu) – (Toplam boşluk uzunluğu)
Afişlerin toplam uzunluğu = 36√2 – 12√2 = 24√2 dm.
Adım 3: Bir Afişin Uzun Kenarını Bulalım
Soruda 3 afişin de “eş” yani aynı olduğu söyleniyor. O zaman 3 afişin toplam uzunluğunu 3’e bölersek, bir afişin uzun kenarını bulmuş oluruz.
Bir afişin uzun kenarı = (24√2) / 3 = 8√2 dm.
Adım 4: Bir Afişin Kısa Kenarını Bulalım
Soruda bize bir ipucu verilmişti: “her bir afişin uzun kenar uzunluğu, kısa kenar uzunluğunun 2 katıdır.“
Uzun Kenar = 2 x Kısa Kenar
8√2 = 2 x Kısa Kenar
Kısa kenarı bulmak için uzun kenarı 2’ye böleriz:
Kısa Kenar = (8√2) / 2 = 4√2 dm.
Adım 5: Bir Afişin Alanını Hesaplayalım
Artık bir afişin hem uzun kenarını (8√2 dm) hem de kısa kenarını (4√2 dm) biliyoruz. Dikdörtgenin alanı, uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır.
Alan = Uzun Kenar x Kısa Kenar
Alan = (8√2) x (4√2)
Bu çarpımı yaparken tam sayıları kendi arasında, köklü sayıları kendi arasında çarparız:
Alan = (8 x 4) x (√2 x √2)
Alan = 32 x 2 (Unutmayın, √2 x √2 = √4 = 2’dir. Bir köklü sayı kendisiyle çarpılınca kök ortadan kalkar.)
Alan = 64 dm²
Sonuç:
Yaptığımız hesaplamalar sonucunda bir afişin alanını 64 dm² olarak bulduk.
Doğru Cevap: B) 64