Harika bir alıştırma sayfası! Hadi gel, bu soruları birlikte adım adım, kolayca anlayacağın bir şekilde çözelim. Ben senin matematik öğretmeninim ve bu konuları en iyi şekilde öğrenmen için buradayım.
1. Taban yarıçap uzunluğu 1 br, yüksekliği 4 br olan yandaki dik dairesel silindirin açınımını kareli alana çiziniz. Temel elemanlarını belirtiniz. Yüzey alanını ve hacmini bulunuz (π’yi 3 alınız.).
Merhaba! Bu soruda bir silindiri hem daha yakından tanıyacağız hem de alanını ve hacmini hesaplayacağız. Silindiri bir konserve kutusu gibi düşünebilirsin.
Öncelikle silindirin açınımını hayal edelim. Bir konserve kutusunun etiketini kestiğinde ne olur? Bir dikdörtgen elde edersin. Bir de kutunun alt ve üst kapakları var, onlar da daire şeklinde. İşte silindirin açınımı, bir dikdörtgen ve iki daireden oluşur.
Adım 1: Açınımın Boyutlarını Bulalım
- Daireler: Alt ve üst kapaklarımız daire şeklinde. Soruda yarıçap (r) 1 birim olarak verilmiş. Yani açınımda yarıçapı 1 br olan iki tane dairemiz olacak.
- Dikdörtgen: Bu dikdörtgenin yüksekliği, silindirin yüksekliği ile aynıdır, yani 4 birim. Peki ya genişliği? İşte burası önemli! Dikdörtgenin genişliği, daire şeklindeki tabanın çevresine eşittir. Çünkü o dikdörtgen, dairenin etrafını tam olarak sarmalıdır.
- Dairenin Çevresi = 2 x π x r
- Dairenin Çevresi = 2 x 3 x 1 = 6 birim.
- Demek ki açınımımızda yüksekliği 4 br ve genişliği 6 br olan bir dikdörtgen olacak.
(Kareli alana çizerken 6’ya 4’lük bir dikdörtgen ve bu dikdörtgenin kısa kenarlarından birine bitişik, yarıçapı 1 birim olan iki daire çizebilirsin.)
Adım 2: Temel Elemanları Belirtelim
- Tabanlar: Silindirin alt ve üstündeki iki eş daire.
- Yanal Yüzey: Silindirin yan kısmını oluşturan ve açıldığında dikdörtgen olan yüzey.
- Yarıçap (r): Taban dairesinin yarıçapı. (r = 1 br)
- Yükseklik (h): İki taban arasındaki dik uzaklık. (h = 4 br)
Adım 3: Yüzey Alanını Hesaplayalım
Yüzey alanı, açınımda gördüğümüz bütün şekillerin alanları toplamıdır. Yani iki dairenin alanı ile dikdörtgenin alanını toplayacağız.
- Bir Tabanın Alanı (Daire Alanı) = π x r² = 3 x 1² = 3 x 1 = 3 br²
- İki Tabanın Alanı = 2 x 3 = 6 br²
- Yanal Alan (Dikdörtgenin Alanı) = (Taban Çevresi) x (Yükseklik) = (2 x π x r) x h = (2 x 3 x 1) x 4 = 6 x 4 = 24 br²
- Toplam Yüzey Alanı = İki Tabanın Alanı + Yanal Alan = 6 + 24 = 30 br²
Adım 4: Hacmini Hesaplayalım
Hacim, bir cismin boşlukta kapladığı yerdir. Silindirin hacmini bulmak için taban alanını yükseklikle çarparız.
- Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
- Hacim = (π x r²) x h = (3 x 1²) x 4 = 3 x 4 = 12 br³
Sonuç: Silindirin yüzey alanı 30 br², hacmi ise 12 br³‘tür.
2. Taban alanı 192 cm², yüksekliği 10 cm olan yandaki dik dairesel silindirin a) Yanal alanını, b) Yüzey alanını, c) Hacmini bulunuz (π’yi 3 alınız.).
Bu soruda bize bazı bilgiler verilmiş ve bizden istenenleri bulmamız gerekiyor. Sakin olalım ve adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Eksik Bilgiyi Bulalım: Yarıçap (r)
Yanal alanı bulmak için yarıçapa ihtiyacımız var. Soruda bize taban alanı verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak yarıçapı bulabiliriz.
- Taban Alanı = π x r²
- 192 = 3 x r² (r²’yi bulmak için her iki tarafı 3’e bölelim)
- r² = 192 / 3 = 64
- r = √64 = 8 cm
Harika! Artık yarıçapı biliyoruz: r = 8 cm.
a) Yanal Alanını Bulalım
Yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıydı, hatırladın mı?
- Yanal Alan = (2 x π x r) x h
- Yanal Alan = (2 x 3 x 8) x 10
- Yanal Alan = 48 x 10 = 480 cm²
b) Yüzey Alanını Bulalım
Yüzey alanı, yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır. Soruda bize bir tabanın alanı zaten 192 cm² olarak verilmişti. Bu işimizi kolaylaştırır!
- İki Taban Alanı = 2 x 192 = 384 cm²
- Toplam Yüzey Alanı = Yanal Alan + İki Taban Alanı
480 cm²
+ 384 cm²
——-
864 cm²
c) Hacmini Bulalım
Hacim için taban alanını yükseklikle çarpmamız yeterli. Taban alanı zaten soruda verilmişti.
- Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
- Hacim = 192 x 10 = 1920 cm³
Sonuçlar:
- a) Yanal Alan: 480 cm²
- b) Yüzey Alanı: 864 cm²
- c) Hacim: 1920 cm³
3. Yandaki dik dairesel silindirin taban yarıçap uzunluğu 4 katına çıkartılır, yüksekliği yarıya indirilirse hacminde nasıl bir değişim olur?
Bu soru, formüllerdeki değişkenlerin hacmi nasıl etkilediğini anlamamız için harika bir örnek. İlk durum ve ikinci durumu karşılaştırarak cevabı bulacağız.
Adım 1: İlk Durumdaki Hacmi Yazalım
Herhangi bir silindirin hacim formülü şöyledir:
Veski = π x r² x h
Adım 2: Yeni Boyutları Belirleyelim
Soruda bize ne dendiğine bakalım:
- Yeni yarıçap (ryeni), eskisinin 4 katı olacakmış: ryeni = 4r
- Yeni yükseklik (hyeni), eskisinin yarısı olacakmış: hyeni = h/2
Adım 3: Yeni Hacmi Hesaplayalım
Şimdi hacim formülünde r ve h yerine yeni değerlerini yazalım:
Vyeni = π x (ryeni)² x hyeni
Vyeni = π x (4r)² x (h/2)
Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim. Unutma, (4r)² demek hem 4’ün hem de r’nin karesini almak demektir.
Vyeni = π x (16 x r²) x (h/2)
Sayıları başa alarak işlemi daha net görebiliriz:
Vyeni = (16/2) x (π x r² x h)
Vyeni = 8 x (π x r² x h)
Adım 4: Sonucu Yorumlayalım
Dikkat ettin mi? Parantez içindeki ifade (π x r² x h), bizim en başta yazdığımız Veski‘ye eşit!
Yani;
Vyeni = 8 x Veski
Bu da demek oluyor ki, yarıçap 4 katına çıkıp yükseklik yarıya indiğinde, silindirin yeni hacmi eski hacminin tam 8 katı olur.
Sonuç: Hacim 8 katına çıkar.