Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını bir öğretmen gözüyle senin için analiz ettim ve adım adım çözeceğim. Hadi gel, bu soruları birlikte anlayarak çözelim!
11. Yandaki DEF dik üçgeninde verilen kenar uzunluklarına göre x yerine 9 yazılırsa y kaç bulunur?
Merhaba, bu soruyu çözmek için Pisagor bağıntısını kullanacağız. Unutma, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (en uzun kenarın) karesine eşittir. Bu üçgende dik kenarlarımız |DE| ve |EF|, hipotenüsümüz ise |DF|’dir.
Adım 1: Soruda bize x yerine 9 yazmamız söyleniyor. Önce x gördüğümüz yerlere 9 yazarak |DE| ve |EF| kenarlarının uzunluklarını bulalım.
- |DE| = (x – 1) br => 9 – 1 = 8 br
- |EF| = (x + 6) br => 9 + 6 = 15 br
Adım 2: Artık dik kenarların uzunluklarını biliyoruz: 8 br ve 15 br. Hipotenüsümüzün uzunluğu ise y br. Şimdi Pisagor bağıntısını yazalım:
|DE|² + |EF|² = |DF|²
8² + 15² = y²
Adım 3: Karelerini alıp toplayalım.
64 + 225 = y²
289 = y²
Adım 4: y² eğer 289 ise, y’yi bulmak için 289’un karekökünü almalıyız.
y = √289
y = 17
İpucu: Bu aslında bir özel üçgendir! 8-15-17 özel üçgenini hatırlarsan, bu soruyu işlem yapmadan bile çözebilirdin.
Sonuç olarak, y’nin değeri 17’dir. Doğru seçenek D) 17‘dir.
12. Yandaki KLMN ile CDEF dörtgenleri eştir. |KL| = |CD| = 8 br, |LM| = 10 br, |MN| = x br, |KN| = 12 br, |DE| = 2z br, |EF| = 7 br ve |CF| = (y – 1) br’dir. Buna göre x, y ve z değerlerini bulunuz.
Sevgili öğrencim, bu soruda anahtar kelime “eş” olması. Eş çokgenler, hem karşılıklı kenar uzunlukları hem de karşılıklı açıları birbirine eşit olan çokgenlerdir. Burada önemli olan, dörtgenlerin isimlerindeki harf sırasıdır. Bu sıra bize hangi köşenin hangisiyle eşleştiğini söyler.
KLMN ile CDEF eş ise eşleşme şöyledir:
- K ↔ C
- L ↔ D
- M ↔ E
- N ↔ F
Adım 1: x’i bulalım.
Eşleşmeye göre |MN| kenarı, |EF| kenarına eşittir.
|MN| = |EF|
x = 7
Adım 2: y’yi bulalım.
Eşleşmeye göre |KN| kenarı (ya da |NK|), |CF| kenarına (ya da |FC|) eşittir.
|KN| = |CF|
12 = y – 1
Denklemi çözmek için -1’i karşıya +1 olarak atarız.
12 + 1 = y
y = 13
Adım 3: z’yi bulalım.
Eşleşmeye göre |LM| kenarı, |DE| kenarına eşittir.
|LM| = |DE|
10 = 2z
z’yi bulmak için her iki tarafı da 2’ye böleriz.
z = 10 / 2
z = 5
Sonuç olarak değerlerimiz: x = 7, y = 13, z = 5‘tir.
13. Yandaki PSR ile TSU benzerdir. |PR| = 4 m, |PS| = 3 m, |RS| = x m, |TS| = y m, |US| = 9 m ve |TU| = 12 m’dir. Buna göre x + y işleminin sonucu kaçtır?
Bu soruda ise anahtar kelimemiz “benzer“. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları ise orantılıdır. Tıpkı eşlikte olduğu gibi, burada da harf sırası çok önemli.
PSR ~ TSU benzerliği bize şunu söyler:
- P açısı ile T açısı aynı.
- S açısı ile S açısı aynı (burada ters açılar olduğu için zaten aynı).
- R açısı ile U açısı aynı.
Adım 1: Benzerlik oranını kuralım.
Harf sırasına göre kenarları birbiriyle oranlayacağız.
|PS|⁄|TS| = |SR|⁄|SU| = |PR|⁄|TU|
Adım 2: Bildiğimiz değerleri yerine yazalım.
3⁄y = x⁄9 = 4⁄12
Adım 3: Benzerlik oranını bulalım.
Oranlardan bir tanesi tamamen sayılardan oluşuyor: 4/12. Bu bizim benzerlik oranımızdır. Sadeleştirelim.
Benzerlik Oranı = 4/12 = 1/3
Bu, PSR üçgeninin kenarlarının, TSU üçgeninin kenarlarının üçte biri kadar olduğu anlamına gelir.
Adım 4: x ve y’yi bulalım.
Şimdi bu oranı kullanarak bilinmeyenleri bulabiliriz.
- x’i bulmak için:
x⁄9 = 1⁄3
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 3 * x = 9 * 1 => 3x = 9 =>x = 3- y’yi bulmak için:
3⁄y = 1⁄3
İçler dışlar çarpımı yaparsak: y * 1 = 3 * 3 =>y = 9Adım 5: Soruda istenen işlemi yapalım.
Soru bizden x + y toplamını istiyor.
x + y = 3 + 9 = 12
Sonuç 12’dir. Doğru seçenek C) 12‘dir.
14. Aşağıdaki noktalı kâğıda yandaki KLMN dörtgenine eş olan ve benzer olan birer dörtgen çiziniz.
Harika bir çizim sorusu! Bu soruyu cevaplarken sana nasıl çizeceğini tarif edeceğim.
Önce yandaki KLMN dörtgenini inceleyelim. Bu bir ikizkenar yamuktur.
- Alt taban |KL| yatay ve uzunluğu 6 birim (6 nokta arası).
- Üst taban |NM| yatay ve uzunluğu 2 birim (2 nokta arası).
- Yüksekliği 3 birim (iki taban arasındaki dikey mesafe).
- |KN| kenarı, N noktasından K noktasına giderken 2 birim sola ve 3 birim yukarı gidiyor.
- |ML| kenarı, M noktasından L noktasına giderken 2 birim sağa ve 3 birim yukarı gidiyor.
Eş Dörtgen Çizimi:
Eş demek, aynısı demek. Yani noktalı kâğıdın boş bir yerine bu şeklin tıpatıp aynısını çizeceksin.
Adım 1: Boş bir yerde bir nokta seç ve oraya K’ (K üssü) de.
Adım 2: K’ noktasından sağa doğru 6 birim sayarak L’ noktasını işaretle.
Adım 3: K’ noktasından 2 birim sağa ve 3 birim aşağıya inerek N’ noktasını işaretle.
Adım 4: L’ noktasından 2 birim sola ve 3 birim aşağıya inerek M’ noktasını işaretle.
Adım 5: K’, L’, M’ ve N’ noktalarını birleştir. İşte KLMN dörtgenine eş bir dörtgen çizdin!
Benzer Dörtgen Çizimi:
Benzer demek, orantılı olarak büyütülmüş veya küçültülmüş hali demektir. Örneğin 2 katı büyüklüğünde bir benzerini çizelim (benzerlik oranı 2 olsun). Bu durumda tüm uzunlukları 2 ile çarpmalıyız.
Adım 1: Yeni alt taban |K’L’| = 6 x 2 = 12 birim uzunluğunda olmalı.
Adım 2: Yeni üst taban |N’M’| = 2 x 2 = 4 birim uzunluğunda olmalı.
Adım 3: Yeni yükseklik = 3 x 2 = 6 birim olmalı.
Adım 4: Eğimli kenarlar için de aynı oranı kullanırız. N’den K’ye giderken 2 sola 3 yukarı gidiyorduk. Şimdi 4 sola 6 yukarı gideceğiz.
Çizim için: Boş bir yere bir N’ noktası koy. Sağa doğru 4 birim sayıp M’ noktasını işaretle. N’ noktasından 4 birim sola ve 6 birim yukarı giderek K’ noktasını bul. M’ noktasından 4 birim sağa ve 6 birim yukarı giderek L’ noktasını bul. Tüm noktaları birleştir. İşte KLMN’nin 2 katı büyüklüğünde benzer bir dörtgen çizmiş oldun!