Merhaba sevgili öğrencilerim,
Harika bir gün! Bugün sizlerle birlikte silindirler konusundaki bu güzel soruları çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, geometri aslında şekillerle oynamak gibidir. Birlikte bu şekillerin sırlarını çözeceğiz.
Soru 4: Yandaki ABCD dikdörtgeninde |BC| = 4 cm, |AB| = 8 cm’dir. ABCD dikdörtgeni, [AB] etrafında 360° döndürülüyor. Elde edilen geometrik cismin
- a) Temel elemanlarını belirleyiniz.
- b) Taban alanını,
- c) Yanal alanını,
- ç) Yüzey alanını,
- d) Hacmini bulunuz (π’yi 3 alınız.).
Çözüm:
Arkadaşlar, bir dikdörtgeni uzun kenarlarından biri etrafında 360 derece, yani tam tur döndürdüğümüzde bir silindir elde ederiz. Bunu bir kağıdı yuvarlayıp silindir yapmaya benzetebilirsiniz. Döndürdüğümüz kenar, silindirin yüksekliği olur. Diğer kenar ise dönerken bir daire çizer ve bu dairenin yarıçapı olur.
Bu soruda dikdörtgeni [AB] kenarı etrafında döndürüyoruz. O zaman;
- Silindirin yüksekliği (h), [AB] kenarının uzunluğu olur: h = 8 cm.
- Silindirin taban yarıçapı (r) ise [BC] kenarının uzunluğu olur: r = 4 cm.
Şimdi şıkları tek tek cevaplayalım:
a) Temel elemanları:
Oluşan silindirin temel elemanları şunlardır:
Taban Yarıçapı (r) = 4 cm
Yükseklik (h) = 8 cm
b) Taban alanı:
Silindirin tabanı bir dairedir ve dairenin alan formülü πr²‘dir. Soruda π’yi 3 almamız istenmiş.
Adım 1: Formülde bildiklerimizi yerine yazalım.
Taban Alanı = π ⋅ r² = 3 ⋅ (4)²
Adım 2: İşlemi yapalım.
Taban Alanı = 3 ⋅ 16 = 48 cm²
c) Yanal alanı:
Yanal alan, silindirin yan yüzeyinin alanıdır. Formülü 2πrh‘dir.
Adım 1: Formülde bildiklerimizi yerine yazalım.
Yanal Alan = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 8
Adım 2: İşlemi yapalım.
Yanal Alan = 6 ⋅ 32 = 192 cm²
ç) Yüzey alanı:
Yüzey alanı, silindirin tüm alanıdır. Yani iki tane taban alanı ile yanal alanın toplamıdır. Formülü: 2 ⋅ (Taban Alanı) + Yanal Alan
Adım 1: Zaten taban alanını 48 cm² ve yanal alanı 192 cm² olarak bulmuştuk. Bunları toplayalım.
Yüzey Alanı = (2 ⋅ 48) + 192
Adım 2: İşlemi tamamlayalım.
Yüzey Alanı = 96 + 192 = 288 cm²
d) Hacim:
Hacim, bir cismin boşlukta kapladığı yerdir. Silindirin hacim formülü Taban Alanı ⋅ Yükseklik yani πr²h‘dir.
Adım 1: Formülde değerleri yerine yazalım. Taban alanını zaten 48 cm² bulmuştuk.
Hacim = Taban Alanı ⋅ h = 48 ⋅ 8
Adım 2: Çarpma işlemini yapalım.
Hacim = 384 cm³
Unutmayın, alan birimleri kare (cm²) ile, hacim birimleri ise küp (cm³) ile ifade edilir.
Soru 5: Taban yarıçap uzunluğu 5 cm olan yandaki dik dairesel silindirin hacmini tahmin ediniz.
Çözüm:
Sevgili gençler, bu soru biraz dikkat istiyor. Soruda bize silindirin yüksekliği verilmemiş ama “tahmin ediniz” denmiş. Bu durumlarda genellikle şekilden faydalanırız. Şeklin altındaki kareli zemini bir ölçek olarak kullanabiliriz.
Adım 1: Şekli inceleyerek yüksekliği tahmin edelim.
Resimde yarıçap (r = 5 cm) yaklaşık 2.5 kare genişliğinde görünüyor. Buradan yola çıkarak 1 karenin yaklaşık 2 cm’ye denk geldiğini düşünebiliriz (5 cm / 2.5 kare = 2 cm/kare).
Silindirin yüksekliği ise yaklaşık 4 kare uzunluğunda. O zaman yüksekliği (h) şöyle tahmin edebiliriz:
h ≈ 4 kare ⋅ 2 cm/kare = 8 cm
Adım 2: Hacim formülünü kullanarak hesaplama yapalım.
Hacim formülümüz V = πr²h idi. Bu soruda π için bir değer verilmemiş ama genellikle bu tür sorularda bir önceki veya sonraki sorudaki gibi π=3 alınır. Biz de öyle kabul edelim.
V ≈ 3 ⋅ (5)² ⋅ 8
V ≈ 3 ⋅ 25 ⋅ 8
V ≈ 75 ⋅ 8
V ≈ 600 cm³
Sonuç olarak, bu silindirin hacminin yaklaşık 600 cm³ olduğunu tahmin edebiliriz. Unutmayın, bu bir tahmin olduğu için farklı bir yükseklik tahminiyle farklı bir sonuca ulaşılabilirdi. Önemli olan mantıklı bir yol izlemektir.
Soru 6: Yanda ölçülerinden bazıları verilen dik dairesel silindir biçimindeki tankerde bulunan mazot, benzin istasyonuna aktarılıyor. Tanker tam olarak dolu olduğuna göre tankerden benzin istasyonuna kaç L mazot aktarılmıştır? (π’yi 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruda bir tankerimiz var ve içindeki mazotun kaç litre olduğunu bulmamız isteniyor. Önce tankerin hacmini bulacağız, sonra da bu hacmi litreye çevireceğiz. Çok önemli bir bilgiyi hatırlayalım: 1 m³ = 1000 Litre.
Adım 1: Tankerin temel elemanlarını belirleyelim.
Tankerin şekli yatay duran bir silindir. Uzunluğu, silindirin yüksekliği (h) olur. Şekle göre h = 20 m.
Bize verilen 6 m ise tankerin çapıdır. Yarıçap (r), çapın yarısıdır.
r = 6 / 2 = 3 m
Adım 2: Tankerin hacmini metreküp (m³) cinsinden hesaplayalım.
Hacim formülümüz V = πr²h.
V = 3 ⋅ (3)² ⋅ 20
V = 3 ⋅ 9 ⋅ 20
V = 27 ⋅ 20
V = 540 m³
Adım 3: Bulduğumuz hacmi litreye çevirelim.
1 metreküp 1000 litre olduğuna göre, 540 metreküpün kaç litre olduğunu bulmak için 1000 ile çarpmamız yeterli.
Mazot Miktarı = 540 ⋅ 1000 = 540.000 L
Demek ki tankerden benzin istasyonuna tam 540.000 litre mazot aktarılmıştır. Bu gerçekten çok fazla!
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa sormaktan çekinmeyin. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!