Merhaba sevgili öğrencim, 8. sınıf matematik konuları ne kadar keyifli değil mi? Özellikle cebirsel ifadeler ve özdeşlikler, bir bulmaca çözmek gibi. Gel, şimdi bu sorulara birlikte bakalım ve adım adım çözelim. Eminim hepsini kolayca anlayacaksın.
17. Tablodaki pembe bölgeye hangi çarpma işlemi yazılmalıdır?
Merhaba! Bu soruda bizden 13a²b + 52b cebirsel ifadesini çarpanlarına ayırmamız isteniyor. Bu tür ifadelerde ilk aklımıza gelmesi gereken şey “ortak çarpan parantezine almak”tır. Hadi birlikte ortak olan terimleri bulalım.
Unutma, ortak çarpan parantezine almak, ifadedeki her terimde bulunan aynı sayı veya harfleri parantezin dışına yazmaktır.
Adım 1: İfademizdeki terimlere bakalım: 13a²b ve 52b.
Önce sayılara odaklanalım. 13 ve 52 var. 52 sayısı 13’ün 4 katıdır (13 x 4 = 52). Demek ki 13 sayısı ortak bir çarpan.
Adım 2: Şimdi de harflere (değişkenlere) bakalım. Birinci terimde a² ve b var. İkinci terimde ise sadece b var. İkisinde de ortak olan harf b‘dir.
Adım 3: Ortak çarpanlarımızı birleştirelim. Sayılardan 13‘ü, harflerden de b‘yi bulduk. O zaman ortak çarpanımız 13b‘dir.
Adım 4: Şimdi ifadeyi 13b parantezine alalım. Yani her terimi 13b’ye böleceğiz ve parantezin içine yazacağız.
- 13a²b / 13b = a²
- 52b / 13b = 4
Bu durumda ifademiz şöyle olur: 13b ∙ (a² + 4)
Şıklara baktığımızda bu sonucun D) şıkkında olduğunu görüyoruz.
Sonuç: 13b∙(a² + 4)
18. Tablodaki mavi bölgeye hangi cebirsel ifade yazılmalıdır?
Bu soruda ise bize ifadenin çarpanlara ayrılmış hâli verilmiş ve bizden orijinal cebirsel ifadeyi bulmamız isteniyor. Verilen ifade: (x – 12) ∙ (x + 12)
Bu ifade sana bir özdeşlik hatırlattı mı? Evet, bu tam olarak iki kare farkı özdeşliği!
İki kare farkı formülünü hatırlayalım: (a – b) ∙ (a + b) = a² – b²
Adım 1: Formülümüzdeki ‘a’ ve ‘b’ yerine sorudaki ifadeye göre ne geldiğini bulalım.
- ‘a’ yerine x gelmiş.
- ‘b’ yerine 12 gelmiş.
Adım 2: Şimdi bu değerleri formülün sağ tarafında, yani a² – b² kısmında yerine yazalım.
- a² → x²
- b² → 12² = 144
Adım 3: Sonucu birleştirelim: x² – 144
Gördüğün gibi, ifadenin orijinal hâli x² – 144 imiş. Bu da A) şıkkında yer alıyor.
Sonuç: x² – 144
19. Tablodaki turuncu bölgeye hangi çarpma işlemi yazılmalıdır?
Sıradaki sorumuzda da x² – 18x + 81 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Bu ifade üç terimden oluşuyor ve ilk bakışta bir tam kare özdeşliği olabileceğini düşündürüyor.
Tam kare özdeşliğini hatırlayalım: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Adım 1: İfadenin bir tam kare olup olmadığını kontrol edelim.
- Birinci terim (x²), x‘in karesidir. (Demek ki a = x olabilir)
- Üçüncü terim (81), 9‘un karesidir. (Demek ki b = 9 olabilir)
Adım 2: Şimdi ortadaki terimi kontrol etme zamanı. Ortadaki terim, formüldeki gibi -2ab‘ye eşit mi?
a = x ve b = 9 olduğuna göre, -2 ∙ a ∙ b = -2 ∙ x ∙ 9 = -18x.
Evet, ifademizdeki ortadaki terimle aynı! Demek ki bu bir tam kare ifade.
Adım 3: Ortadaki terimin işareti eksi (-) olduğu için, bu ifade (x – 9)² şeklinde yazılır. Bu da (x – 9) ∙ (x – 9) demektir.
Şıklara baktığımızda doğru cevabın C) şıkkı olduğunu görüyoruz.
Sonuç: (x – 9) ∙ (x – 9)
20. Aşağıdaki görselde bir bölgenin krokisi verilmiştir. Kare şeklindeki çocuk parkının alanı (4x²) m², kare şeklindeki spor sahasının alanı (x² + 2x + 1) m² ve dik üçgen şeklindeki yeşil alanda |DF| = 10 m. olduğuna göre görseldeki bölgenin çevre uzunluğu metre biriminde aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Bu soru biraz daha karmaşık gibi görünse de aslında çok zevkli bir geometri ve cebir sorusu. Bizden istenen, şeklin tamamının çevre uzunluğu. Çevre demek, şeklin etrafındaki bütün kenarların toplamı demektir. Hadi kenar uzunluklarını tek tek bulalım.
Adım 1: Karelerin kenar uzunluklarını bulalım.
- Çocuk Parkı (ABCD): Alanı 4x² m² olan bir kare. Bir karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir. O zaman bir kenarını bulmak için alanın karekökünü alırız.
Kenar = √(4x²) = 2x metre.
Yani, |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 2x‘tir. - Spor Sahası (FCE): Alanı x² + 2x + 1 m² olan bir kare. Bu ifade sana da tanıdık geldi mi? Evet, bu (x+1)’in karesi, yani bir tam kare özdeşliği! (x+1)²
Kenar = √(x² + 2x + 1) = √((x+1)²) = x + 1 metre.
Yani, |FC| = |CE| = |EF| = x + 1‘dir.
Adım 2: Şeklin çevresini oluşturan tüm kenarları toplayalım.
Şeklin çevresi şu kenarlardan oluşuyor: |AB|, |BC|, |CE|, |EF|, |FD| ve |DA|.
Bulduğumuz ve soruda verilen uzunlukları yazalım:
- |AB| = 2x
- |BC| = 2x
- |CE| = x + 1
- |EF| = x + 1
- |FD| = 10 (soruda verilmiş)
- |DA| = 2x
Adım 3: Bu uzunlukları toplayarak çevre uzunluğunu bulalım.
Çevre = (2x) + (2x) + (x + 1) + (x + 1) + (10) + (2x)
Önce ‘x’li terimleri toplayalım: 2x + 2x + x + x + 2x = 8x
Şimdi de sayıları toplayalım: 1 + 1 + 10 = 12
Hepsini birleştirdiğimizde çevre uzunluğunu 8x + 12 olarak buluruz.
Bu sonuç B) şıkkında verilmiştir.
Sonuç: 8x + 12
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Unutma, matematik pratik yaptıkça daha da kolaylaşır. Başarılar dilerim!