8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 281

Harika sorular! Hadi gel, bu iki soruyu birlikte adım adım, tane tane çözelim. Bir öğretmen olarak sana en anlaşılır şekilde anlatacağım.

20. Dikdörtgen şeklindeki bir parkta görseldeki gibi üç farklı yürüyüş yolu vardır. Bu yürüyüş yollarından iki tanesinin uzunlukları verilmiş ancak giriş ve çıkış arasında doğrusal bir yol olan 3. yolun uzunluğu verilmemiştir.

Buna göre 3. yürüyüş yolunun uzunluğunun metre türünden alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? (Yolların genişliği önemsizdir.)

Merhaba sevgili öğrencim, bu soru aslında gizli bir üçgen sorusu. Şekle dikkatli baktığında, 3. yolun aslında iki farklı üçgenin ortak bir kenarı olduğunu görebilirsin. Bu tür sorularda aklımıza hemen Üçgen Eşitsizliği kuralı gelmeli. Neydi bu kural? Bir üçgende, bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmak zorundadır.

Hadi şimdi bu kuralı sorumuzdaki üçgenlere uygulayalım. 3. yolun uzunluğuna ‘x’ diyelim.

Üçgen Eşitsizliği Kuralı: |a – b| < c < a + b

Adım 1: Üstteki üçgeni ele alalım.

Bu üçgenin kenarları 60 m, 45 m ve x metredir. Üçgen eşitsizliğini bu üçgen için yazalım:

• 60 – 45 < x < 60 + 45
• 15 < x < 105

Bu demek oluyor ki, x’in değeri 15’ten büyük ve 105’ten küçük olmalı.

Adım 2: Alttaki üçgeni ele alalım.

Bu üçgenin kenarları ise 40 m, 50 m ve yine x metredir. Üçgen eşitsizliğini bu üçgen için de yazalım:

• 50 – 40 < x < 50 + 40
• 10 < x < 90

Bu da demek oluyor ki, x’in değeri 10’dan büyük ve 90’dan küçük olmalı.

Adım 3: İki eşitsizliği birleştirelim.

Şimdi elimizde x için iki farklı aralık var. x, her iki koşulu da aynı anda sağlamak zorunda. Yani hem 15’ten büyük olmalı hem de 10’dan büyük olmalı. İkisini de sağlaması için büyük olanın alt sınırını alırız: x > 15.

Aynı şekilde, x hem 105’ten küçük olmalı hem de 90’dan küçük olmalı. İkisini de sağlaması için küçük olanın üst sınırını alırız: x < 90.

Sonuç olarak x’in alabileceği değer aralığı: 15 < x < 90

Adım 4: En küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulup toplayalım.

Bu aralıktaki;

• En küçük tam sayı değeri 15’ten bir büyük olan 16‘dır.
• En büyük tam sayı değeri 90’dan bir küçük olan 89‘dur.

Soruda bizden bu iki değerin toplamı isteniyor.

16 + 89 = 105

Gördüğün gibi, doğru cevabımız B) 105‘tir.

21. Ümit bir teli 90° lik açılarla her bir parçası eşit uzunlukta olacak şekilde aşağıdaki gibi bükmüştür.

Ümit’in oluşturduğu şeklin A ile B noktaları arasındaki uzaklık 20√2 cm olduğuna göre telin bükülmeden önceki uzunluğu kaç cm’dir?

Bu soru da çok keyifli bir geometri sorusu. Şekildeki zikzaklara baktığında aslında bir sürü ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edebilirsin. Hani şu bizim meşhur 45-45-90 üçgenlerimizden!

Adım 1: Şekli tanıyalım.

Tel, her biri eşit uzunlukta olan parçalara ayrılmış. Bu parçaların her birinin uzunluğuna ‘a’ diyelim. Şekildeki her bir “tepe” noktası, kenarları ‘a’ olan bir ikizkenar dik üçgenin 90 derecelik köşesidir. A’dan B’ye olan yatay uzaklık ise bu üçgenlerin tabanlarının (hipotenüslerinin) toplamından oluşuyor.

Adım 2: Bir tane “zikzak” parçasının yatay uzunluğunu bulalım.

Şekildeki bir tane “^” şeklini düşünelim. Bu şekil, uzunlukları ‘a’ olan iki tel parçasından oluşur. Bu iki parçanın başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki yatay uzaklık, aslında kenarları ‘a’ olan bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüne eşittir.

Pisagor bağıntısından veya 45-45-90 üçgeni kuralından (a, a, a√2) hipotenüsü bulabiliriz.

Yatay Uzaklık = a√2

Adım 3: Toplam yatay uzunluğu kullanarak ‘a’ değerini bulalım.

Şekilde kaç tane “^” parçası olduğunu sayalım. Dikkatlice saydığımızda toplam 5 tane tam “^” parçası olduğunu görürüz.

Bir tanesinin yatay uzunluğu a√2 ise, 5 tanesinin toplam yatay uzunluğu 5 x (a√2) olur.

Soruda A ile B arasındaki toplam yatay uzaklık bize 20√2 cm olarak verilmiş.

Öyleyse denklemi kuralım:

5 * a√2 = 20√2

Bu eşitlikte her iki tarafı da 5√2’ye bölebiliriz.

a = 20√2 / 5√2

a = 4 cm

Harika! Telin bir parçasının uzunluğunu bulduk.

Adım 4: Telin toplam uzunluğunu hesaplayalım.

Şimdi yapmamız gereken tek şey, şekilde kaç tane ‘a’ uzunluğunda tel parçası olduğunu saymak.

Saydığımızda tam 10 tane eşit parça olduğunu görüyoruz.

Bir parçanın uzunluğu 4 cm ise, 10 parçanın toplam uzunluğu:

Toplam Uzunluk = 10 x 4 = 40 cm

Bu durumda, telin bükülmeden önceki uzunluğu 40 cm’dir. Doğru cevap B) 40 seçeneğidir.