Harika bir çalışma! Sevgili öğrencim, gönderdiğin bu soruları bir 8. Sınıf Matematik öğretmeni olarak senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Amacımız sadece doğru cevabı bulmak değil, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamak. Haydi başlayalım!
18. Soru: Yukarıda kenar uzunlukları verilen üç dikdörtgenden iki adedi benzerdir. Benzer olan iki dikdörtgen aşağıdaki gibi alınıp üst üste yerleştiriliyor ve görseldeki kısım boyanıyor. Buna göre iki dikdörtgen arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç cm² dir?
Merhaba, bu soruyu çözmek için öncelikle “benzerlik” kavramını hatırlamamız gerekiyor. İki dikdörtgenin benzer olabilmesi için, kısa kenarlarının oranının, uzun kenarlarının oranına eşit olması gerekir. Başka bir deyişle, bir dikdörtgenin kısa kenarını uzun kenarına böldüğümüzde bulduğumuz oran, diğer dikdörtgen için de aynı olmalıdır.
Hadi verilen dikdörtgenlerin kenar oranlarını bularak işe başlayalım!
Adım 1: Benzer olan dikdörtgenleri bulalım.
Elimizde üç tane dikdörtgen var. Her birinin kısa kenarını uzun kenarına oranlayalım:
- ABCD Dikdörtgeni: Kısa kenar 9 cm, uzun kenar 12 cm. Oran: 9/12 = 3/4
- EFGH Dikdörtgeni: Kısa kenar 12 cm, uzun kenar 18 cm. Oran: 12/18 = 2/3
- KLMN Dikdörtgeni: Kısa kenar 15 cm, uzun kenar 20 cm. Oran: 15/20 = 3/4
Gördüğün gibi, ABCD ve KLMN dikdörtgenlerinin kenar oranları aynı (ikisi de 3/4). Demek ki bu iki dikdörtgen birbirine benzerdir.
Adım 2: Boyalı bölgenin alanını hesaplayalım.
Soruda, benzer olan bu iki dikdörtgenin iç içe konulduğunu ve aradaki pembe bölgenin alanının sorulduğunu görüyoruz. Bu alanı bulmak çok kolay! Yapmamız gereken tek şey, büyük dikdörtgenin alanından küçük dikdörtgenin alanını çıkarmaktır.
- Büyük Dikdörtgenin (KLMN) Alanı:
Uzun kenar × Kısa kenar = 20 cm × 15 cm = 300 cm² - Küçük Dikdörtgenin (ABCD) Alanı:
Uzun kenar × Kısa kenar = 12 cm × 9 cm = 108 cm²
Adım 3: Alanları birbirinden çıkaralım.
Boyalı Alan = Büyük Alan – Küçük Alan
Boyalı Alan = 300 cm² – 108 cm²
300
– 108
—–
192
Sonuç olarak, iki dikdörtgen arasında kalan boyalı bölgenin alanı 192 cm²‘dir.
Doğru seçenek D) 192‘dir.
19. Soru: Aşağıdaki ABCD dörtgeni özdeş kibrit çöpleri ile oluşturulmuştur. Oluşturulan dörtgenin A ve C köşeleri aynı özdeş kibrit çöpleri kullanılarak doğrusal bir şekilde birleştirilmek istenirse kaç kibrit çöpü kullanılabilir?
Bu soru, ilk bakışta biraz kafa karıştırıcı görünebilir ama aslında içinde gizli bir dik üçgen ve en sevdiğimiz konulardan biri olan Pisagor Teoremi‘ni barındırıyor. Amacımız A ve C noktaları arasındaki mesafeyi “kibrit çöpü” cinsinden bulmak.
Her bir kibrit çöpünün uzunluğuna “1 birim” diyelim ve soruyu bu şekilde çözelim.
Adım 1: Şekli ve kenar uzunluklarını analiz edelim.
Kibrit çöplerini saydığımızda kenar uzunluklarını buluruz:
- AB kenarı (alt taban): 4 kibrit çöpü = 4 birim
- DC kenarı (üst taban): 3 kibrit çöpü = 3 birim
- AD ve BC kenarları (yan kenarlar): 2’şer kibrit çöpü = 2 birim
Bu şekil bir ikizkenar yamuktur.
Adım 2: A ve C köşelerini birleştiren bir dik üçgen oluşturalım.
C köşesinden AB tabanına bir dikme (yükseklik) indirelim. Bu dikmenin AB’yi kestiği noktaya K diyelim. Böylece hipotenüsü aradığımız AC olan bir ACK dik üçgeni oluşturmuş oluruz.
Pisagor Teoremi’ne göre: (AC)² = (AK)² + (CK)²
Şimdi AK ve CK uzunluklarını bulmamız gerekiyor.
Adım 3: Yamuğun yüksekliğini (CK) bulalım.
Yüksekliği bulmak için D köşesinden de AB tabanına bir dikme indirelim ve kestiği noktaya L diyelim. Ortada bir DLKC dikdörtgeni oluşur. Bu yüzden LK uzunluğu, DC uzunluğuna eşittir, yani 3 birimdir.
AB’nin tamamı 4 birimdi. Ortadaki 3 birimlik kısmı çıkarırsak geriye AL ve KB parçaları kalır. Yamuk ikizkenar olduğu için bu parçalar eşittir.
AL + KB = 4 – 3 = 1 birim. Öyleyse AL = KB = 0,5 birimdir.
Şimdi soldaki ALD dik üçgenine bakalım. Hipotenüs AD=2 birim, dik kenar AL=0,5 birim. Diğer dik kenar olan yüksekliği (h=DL=CK) Pisagor ile bulabiliriz:
h² + (0,5)² = 2²
h² + 0,25 = 4
h² = 4 – 0,25 = 3,75
Not: Yüksekliğin kendisini (√3,75) bulmamıza gerek yok, karesi (h²) işimizi görecek.
Adım 4: AK uzunluğunu bulalım.
AK uzunluğu, AL ve LK’nin toplamıdır.
AK = AL + LK = 0,5 + 3 = 3,5 birim.
Adım 5: Büyük ACK üçgeninde Pisagor Teoremi’ni uygulayalım.
Artık ihtiyacımız olan her şeyi biliyoruz:
- AK = 3,5 birim
- CK’nin karesi (h²) = 3,75
(AC)² = (AK)² + (CK)²
(AC)² = (3,5)² + 3,75
(AC)² = 12,25 + 3,75
(AC)² = 16
Adım 6: AC’nin uzunluğunu bulalım.
Hangi sayının karesi 16’dır? Elbette 4!
AC = √16 = 4 birim.
Bu sonuç, A ve C köşelerini birleştirmek için tam olarak 4 tane özdeş kibrit çöpü kullanmamız gerektiğini gösterir.
Doğru seçenek B) 4‘tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, geometri görmekle ilgilidir. Bol bol pratik yaparak bu “görme” yeteneğini geliştirebilirsin. Başarılar dilerim!