Harika bir soru! Hadi gel, 8. sınıf matematik öğretmenin olarak sana bu soruyu adım adım, keyifli bir şekilde anlatayım. Unutma, bu tür problemler aslında günlük hayatta matematiği nasıl kullandığımızı gösteren çok güzel örneklerdir.
Soru Metni:
Yukarıdaki görselde görüldüğü gibi Semih Bey, İngilizce öğrenirken İngilizce yazılmış kitapları; Semih Bey’in eşi Emel Hanım ise Almanca öğrenirken Almanca yazılmış kitapları okumaktadır. Semih Bey, okuduğu her bir kitabı 12 günde; Emel Hanım ise 15 günde bitirmektedir. Semih Bey ile Emel Hanım, ilk kitaplarını okumaya aynı gün başlarlar. Okudukları kitap bitince ara vermeden diğerine geçerler. Semih Bey ile Emel Hanım’ın kaç gün sonra yeni birer kitabı aynı anda tekrar okumaya başlayacakları nasıl bulunabilir? Açıklayınız.
Çözüm:
Merhaba sevgili öğrencim, bu problem aslında “En Küçük Ortak Kat” yani kısaca EKOK konusunu anlamamız için harika bir örnek. Hadi gel birlikte bu soruyu adım adım çözelim.
Adım 1: Problemi Anlayalım
Öncelikle elimizdeki bilgilere bir bakalım:
- Semih Bey bir kitabı 12 günde bitiriyor. Yani Semih Bey’in kitap bitirme döngüsü 12’nin katları şeklinde ilerleyecek. (12. gün, 24. gün, 36. gün, 48. gün, 60. gün…)
- Emel Hanım bir kitabı 15 günde bitiriyor. Yani Emel Hanım’ın kitap bitirme döngüsü ise 15’in katları şeklinde ilerleyecek. (15. gün, 30. gün, 45. gün, 60. gün…)
Soruda bizden istenen şey, ikisinin de aynı anda yeni bir kitaba başlayacağı ilk günü bulmak. Yani öyle bir gün bulmalıyız ki, o gün hem 12’nin hem de 15’in bir katı olmalı. İşte bu bize sihirli kelimeyi veriyor: Ortak Kat! Bizden ilk ortak günü istediği için de bulmamız gereken şey En Küçük Ortak Kat (EKOK) olacaktır.
Adım 2: 12 ve 15’in EKOK’unu Bulalım
12 ve 15 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için asal çarpan algoritmasını kullanalım. Bu en kolay ve en kesin yöntemdir.
12 15 | 2 (12’yi 2’ye böldük)
6 15 | 2 (6’yı 2’ye böldük)
3 15 | 3 (İki sayıyı da 3’e böldük)
1 5 | 5 (5’i 5’e böldük)
1 1
Gördüğün gibi, algoritmanın sağ tarafında çıkan bütün asal sayıları şimdi birbiriyle çarpacağız. Bu çarpım bize EKOK’u verecek.
Adım 3: Sonucu Hesaplayalım
EKOK(12, 15) = 2 x 2 x 3 x 5
EKOK(12, 15) = 4 x 15
EKOK(12, 15) = 60
Sonuç ve Açıklama:
Bulduğumuz 60 sayısı, hem 12’nin hem de 15’in en küçük ortak katıdır. Bu demek oluyor ki, Semih Bey ve Emel Hanım ilk kitaplarına başladıktan tam 60 gün sonra tekrar aynı anda yeni birer kitaba başlayacaklar.
Düşünsene, 60 gün içinde:
- Semih Bey: 60 / 12 = 5 kitap bitirmiş ve 6. kitabına başlayacak.
- Emel Hanım: 60 / 15 = 4 kitap bitirmiş ve 5. kitabına başlayacak.
İkisi de tam 60. günün sonunda kitaplarını bitirip yeni bir kitaba aynı anda “merhaba” diyecekler!
Umarım açıklama net ve anlaşılır olmuştur. EKOK problemlerinin mantığı hep bu şekildedir; gelecekteki bir ortak buluşma noktasını veya zamanını bulmaya çalışırız. Başarılar dilerim!