Merhaba sevgili öğrencim,
Ben 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için analiz ettim ve şimdi adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: Arda Bey ve Sibel Hanım aynı atölyede çalışıyor. Arda Bey 7 · √81 işleminin sonucu kadar, Sibel Hanım ise 21 · √9 işleminin sonucu kadar bardak üretiyor. Arda Bey ile Sibel Hanım aynı sayıda bardak üretmiş olabilirler mi? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda aslında bize iki farklı işlem veriliyor ve bu işlemlerin sonuçlarının eşit olup olmadığını bulmamız isteniyor. Tek yapmamız gereken kareköklü ifadelerin değerlerini bulup çarpma işlemlerini yapmak. Haydi yapalım!
Adım 1: Arda Bey’in ürettiği bardak sayısını bulalım.
Arda Bey’in üretimi 7 · √81 işlemi ile hesaplanıyor.
Burada √81 ifadesinin değerini bulmalıyız. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 81’dir?” diye soruyoruz. Cevap 9’dur, çünkü 9 x 9 = 81.
O halde √81 = 9’dur.
Şimdi işlemde √81 yerine 9 yazalım:
7 x 9 = 63.
Yani, Arda Bey 63 bardak üretmiştir.
Adım 2: Sibel Hanım’ın ürettiği bardak sayısını bulalım.
Sibel Hanım’ın üretimi ise 21 · √9 işlemi ile hesaplanıyor.
Burada da √9 ifadesinin değerini bulmalıyız. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 9’dur?” diye soruyoruz. Cevap 3’tür, çünkü 3 x 3 = 9.
O halde √9 = 3’tür.
Şimdi işlemde √9 yerine 3 yazalım:
21 x 3 = 63.
Yani, Sibel Hanım da 63 bardak üretmiştir.
Adım 3: Sonuçları karşılaştıralım.
Arda Bey 63 bardak üretti.
Sibel Hanım 63 bardak üretti.
İki sonuç da birbirine eşit.
Sonuç:
Evet, Arda Bey ile Sibel Hanım aynı sayıda bardak üretmişlerdir. İkisi de 63’er bardak üretmiştir.
Örnek 1: √98 ifadesini a ≠ 1 olmak üzere a√b şeklinde yazınız.
Çözüm:
Bir kareköklü sayıyı a√b şeklinde yazmak demek, kökün içindeki sayının çarpanlarından tam kare olanları “kök dışına çıkarmak” demektir. Bunun en kolay yolu, sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır.
Adım 1: Karekök içindeki 98 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
98’i en küçük asal sayı olan 2’ye bölelim:
98 ÷ 2 = 49
Şimdi 49’u asal çarpanlarına ayıralım. 49, 7’ye bölünür:
49 ÷ 7 = 7
7 de bir asal sayıdır ve sadece 7’ye bölünür:
7 ÷ 7 = 1
Böylece 98 sayısını 98 = 2 · 7 · 7 veya üslü olarak 98 = 2 · 7² şeklinde yazabiliriz.
Adım 2: İfadeyi karekök içinde yazıp tam kare olanı dışarı çıkaralım.
√98 = √(2 · 7²)
Karekökün içindeki bir sayının üssü 2 ise (yani tam kare ise), o sayı kökün dışına çıkabilir. Burada 7’nin karesi (7²) var. Bu 7², kökün dışına 7 olarak çıkar.
İçeride ise tek başına kalan 2 sayısı kalır.
Yani; √(2 · 7²) = 7√2 olur.
Sonuç:
√98 ifadesinin a√b şeklindeki yazılışı 7√2‘dir.
Örnek 2: Yandaki CDEF karesinin alanı 175 cm² olduğuna göre bir kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda geometri bilgimizi kullanacağız. Unutma, bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımına, yani karesine eşittir. Alanı verilen bir karenin bir kenarını bulmak için ise alanın karekökünü alırız.
Adım 1: Kenar uzunluğunu kareköklü ifade olarak yazalım.
Karenin Alanı = (Kenar)²
175 = (Kenar)²
Bu durumda bir kenar uzunluğunu bulmak için 175’in karekökünü almamız gerekir.
Kenar = √175 cm.
Adım 2: √175 ifadesini a√b şeklinde yazalım.
Tıpkı bir önceki sorudaki gibi 175’i asal çarpanlarına ayıralım. Sayının sonu 5 olduğu için 5’e bölünür.
175 ÷ 5 = 35
35’i de 5’e bölelim:
35 ÷ 5 = 7
7 de asal bir sayıdır:
7 ÷ 7 = 1
Yani 175 sayısını 175 = 5 · 5 · 7 veya üslü olarak 175 = 5² · 7 şeklinde yazabiliriz.
Adım 3: Tam kare olan çarpanı kök dışına çıkaralım.
Kenar = √175 = √(5² · 7)
Burada 5’in karesi (5²) kök dışına 5 olarak çıkar. İçeride ise 7 sayısı kalır.
Sonuç olarak Kenar = 5√7 cm olur.
Sonuç:
CDEF karesinin bir kenar uzunluğu 5√7 cm‘dir.