8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 70

Merhaba sevgili öğrencim,

Ben 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için analiz ettim ve şimdi adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Hazırsan başlayalım!

Soru 1: Arda Bey ve Sibel Hanım aynı atölyede çalışıyor. Arda Bey 7 · √81 işleminin sonucu kadar, Sibel Hanım ise 21 · √9 işleminin sonucu kadar bardak üretiyor. Arda Bey ile Sibel Hanım aynı sayıda bardak üretmiş olabilirler mi? Açıklayınız.

Çözüm:

Bu soruda aslında bize iki farklı işlem veriliyor ve bu işlemlerin sonuçlarının eşit olup olmadığını bulmamız isteniyor. Tek yapmamız gereken kareköklü ifadelerin değerlerini bulup çarpma işlemlerini yapmak. Haydi yapalım!

Adım 1: Arda Bey’in ürettiği bardak sayısını bulalım.

Arda Bey’in üretimi 7 · √81 işlemi ile hesaplanıyor.
Burada √81 ifadesinin değerini bulmalıyız. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 81’dir?” diye soruyoruz. Cevap 9’dur, çünkü 9 x 9 = 81.
O halde √81 = 9’dur.
Şimdi işlemde √81 yerine 9 yazalım:
7 x 9 = 63.
Yani, Arda Bey 63 bardak üretmiştir.

Adım 2: Sibel Hanım’ın ürettiği bardak sayısını bulalım.

Sibel Hanım’ın üretimi ise 21 · √9 işlemi ile hesaplanıyor.
Burada da √9 ifadesinin değerini bulmalıyız. “Hangi sayının kendisiyle çarpımı 9’dur?” diye soruyoruz. Cevap 3’tür, çünkü 3 x 3 = 9.
O halde √9 = 3’tür.
Şimdi işlemde √9 yerine 3 yazalım:
21 x 3 = 63.
Yani, Sibel Hanım da 63 bardak üretmiştir.

Adım 3: Sonuçları karşılaştıralım.

Arda Bey 63 bardak üretti.
Sibel Hanım 63 bardak üretti.
İki sonuç da birbirine eşit.

Sonuç:

Evet, Arda Bey ile Sibel Hanım aynı sayıda bardak üretmişlerdir. İkisi de 63’er bardak üretmiştir.

Örnek 1: √98 ifadesini a ≠ 1 olmak üzere a√b şeklinde yazınız.

Çözüm:

Bir kareköklü sayıyı a√b şeklinde yazmak demek, kökün içindeki sayının çarpanlarından tam kare olanları “kök dışına çıkarmak” demektir. Bunun en kolay yolu, sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır.

Adım 1: Karekök içindeki 98 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

98’i en küçük asal sayı olan 2’ye bölelim:
98 ÷ 2 = 49
Şimdi 49’u asal çarpanlarına ayıralım. 49, 7’ye bölünür:
49 ÷ 7 = 7
7 de bir asal sayıdır ve sadece 7’ye bölünür:
7 ÷ 7 = 1
Böylece 98 sayısını 98 = 2 · 7 · 7 veya üslü olarak 98 = 2 · 7² şeklinde yazabiliriz.

Adım 2: İfadeyi karekök içinde yazıp tam kare olanı dışarı çıkaralım.

√98 = √(2 · 7²)
Karekökün içindeki bir sayının üssü 2 ise (yani tam kare ise), o sayı kökün dışına çıkabilir. Burada 7’nin karesi (7²) var. Bu 7², kökün dışına 7 olarak çıkar.
İçeride ise tek başına kalan 2 sayısı kalır.
Yani; √(2 · 7²) = 7√2 olur.

Sonuç:

√98 ifadesinin a√b şeklindeki yazılışı 7√2‘dir.

Örnek 2: Yandaki CDEF karesinin alanı 175 cm² olduğuna göre bir kenar uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Bu soruda geometri bilgimizi kullanacağız. Unutma, bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımına, yani karesine eşittir. Alanı verilen bir karenin bir kenarını bulmak için ise alanın karekökünü alırız.

Adım 1: Kenar uzunluğunu kareköklü ifade olarak yazalım.

Karenin Alanı = (Kenar)²
175 = (Kenar)²
Bu durumda bir kenar uzunluğunu bulmak için 175’in karekökünü almamız gerekir.
Kenar = √175 cm.

Adım 2: √175 ifadesini a√b şeklinde yazalım.

Tıpkı bir önceki sorudaki gibi 175’i asal çarpanlarına ayıralım. Sayının sonu 5 olduğu için 5’e bölünür.
175 ÷ 5 = 35
35’i de 5’e bölelim:
35 ÷ 5 = 7
7 de asal bir sayıdır:
7 ÷ 7 = 1
Yani 175 sayısını 175 = 5 · 5 · 7 veya üslü olarak 175 = 5² · 7 şeklinde yazabiliriz.

Adım 3: Tam kare olan çarpanı kök dışına çıkaralım.

Kenar = √175 = √(5² · 7)
Burada 5’in karesi (5²) kök dışına 5 olarak çıkar. İçeride ise 7 sayısı kalır.
Sonuç olarak Kenar = 5√7 cm olur.

Sonuç:

CDEF karesinin bir kenar uzunluğu 5√7 cm‘dir.