Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir soruyla karşı karşıyayız! Bu tür şemalı sorular, hem kareköklü ifadelerdeki işlem yeteneğimizi ölçer hem de dikkatimizi test eder. Tıpkı bir labirentte doğru yolu bulmak gibi, biz de işlemlerin “Doğru” (D) ya da “Yanlış” (Y) olduğunu bularak doğru çıkışa ulaşacağız.
Hadi şimdi adım adım bu labirenti birlikte çözelim.
Başlangıç Noktası: 5√3 – 3√5 = 0 ifadesi doğru mu, yanlış mı?
Kareköklü sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmemiz için kök içlerinin aynı olması gerektiğini unutmayalım. Burada bir kökün içinde 3, diğerinde ise 5 var. Yani kök içleri farklı. Bu yüzden bu iki ifadeyi birbirinden direkt olarak çıkaramayız.
Peki, sonuç sıfır olabilir mi? Bir çıkarma işleminin sonucunun sıfır olması için, eksilen ve çıkan sayının birbirine eşit olması gerekir. Yani 5√3 = 3√5 olmalıydı. Bakalım gerçekten eşitler mi?
- (5√3)’ün karesini alalım: 5’in karesi 25, √3’ün karesi 3. Çarpımları 25 * 3 = 75.
- (3√5)’in karesini alalım: 3’ün karesi 9, √5’in karesi 5. Çarpımları 9 * 5 = 45.
Gördüğün gibi 75 ve 45 birbirine eşit değil. O halde bu ifade Yanlış (Y).
Şimdi şemada ‘Y’ yolunu takip ediyoruz.
İkinci Adım: √13 – 2√13 + √52 = √13 ifadesi doğru mu, yanlış mı?
Bu işlemde de toplama ve çıkarma var. Yine kuralımız aynı: kök içleri aynı olmalı. √13 ve -2√13’ün kök içleri aynı, ama √52 farklı görünüyor. Acaba √52’yi a√b şeklinde yazabilir miyiz?
Adım 1: √52’yi a√b şeklinde yazalım. 52, 4 ile 13’ün çarpımıdır. 4 tam kare bir sayıdır.
√52 = √(4 * 13) = √4 * √13 = 2√13
Adım 2: Şimdi bulduğumuz bu değeri işlemde yerine koyalım.
√13 – 2√13 + 2√13
Adım 3: İşlemi yapalım. -2√13 ile +2√13 birbirini götürür (toplamları sıfır olur).
Geriye sadece √13 kalır.
İşlemin sonucu √13’e eşit olmalı diyordu ve biz de sonucu √13 bulduk. O halde bu ifade Doğru (D).
Şimdi şemada ‘D’ yolunu takip ediyoruz.
Üçüncü Adım: √6(√3 + √2) = √30 ifadesi doğru mu, yanlış mı?
Burada parantez dışındaki √6’yı parantezin içine dağıtmamız gerekiyor. Buna matematikte dağılma özelliği diyoruz.
Adım 1: √6’yı parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpalım.
(√6 * √3) + (√6 * √2)
Adım 2: Çarpma işleminin kuralını hatırlayalım: kök içleri birbiriyle çarpılır ve kök içine yazılır.
√(6 * 3) + √(6 * 2) = √18 + √12
İşlemin sol tarafının sonucunu √18 + √12 bulduk. Sağ tarafta ise √30 var. Bu iki ifade birbirine eşit değil. (Unutma, √18 + √12 ≠ √(18+12) yani √30’a eşit değildir!)
Bu yüzden bu ifade Yanlış (Y).
Şimdi şemada ‘Y’ yolunu takip ediyoruz.
Dördüncü ve Son Adım: √20 + √5 = 5 ifadesi doğru mu, yanlış mı?
Yine bir toplama işlemi ve yine kök içlerini eşitlememiz gerekiyor.
Adım 1: √20’yi a√b şeklinde yazalım. 20, 4 ile 5’in çarpımıdır.
√20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5
Adım 2: Şimdi bu değeri işlemde yerine koyalım.
2√5 + √5
Adım 3: Toplama işlemini yapalım. (Unutma, √5 aslında 1√5 demektir.)
2√5 + 1√5 = (2+1)√5 = 3√5
İşlemin sonucu 5 olmalı diyordu, ama biz 3√5 bulduk. 3√5, 5’e eşit değildir. (Kontrol edelim: (3√5)’in karesi 45, 5’in karesi 25’tir.)
Dolayısıyla bu ifade de Yanlış (Y).
Son olarak şemada ‘Y’ yolunu takip ediyoruz.
SONUÇ
İzlediğimiz yolu özetleyelim:
- İlk işlem: Yanlış (Y)
- İkinci işlem: Doğru (D)
- Üçüncü işlem: Yanlış (Y)
- Dördüncü işlem: Yanlış (Y)
Bu yolu (Y → D → Y → Y) takip ettiğimizde 8. çıkışa ulaşıyoruz.
Umarım açıklayıcı olmuştur. Kareköklü sayılarla işlem yapmak pratik gerektirir, bol bol soru çözmeyi unutma! Başarılar dilerim.