Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki Pisagor Bağıntısı ile ilgili alıştırmaları çok beğendim. Bu konuları pekiştirmek için harika sorular. Şimdi gel, bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözelim. Anlamadığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz.
1. Aşağıdaki dik üçgenlerde verilen kenar uzunluklarına göre x, y ve z değerlerini bulunuz.
Bu soruda Pisagor Bağıntısını kullanacağız. Unutma, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (90 derecenin karşısındaki en uzun kenar) karesine eşittir. Yani, a² + b² = c².
a)
Buradaki üçgenimizde dik kenarlar 8 br ve 15 br. Bizden istenen ise hipotenüs, yani x.
Adım 1: Pisagor bağıntısını yazalım: 8² + 15² = x²
Adım 2: Kenarların karelerini alalım.
8² = 64
15² = 225
Adım 3: Bu değerleri denklemde yerine koyup toplayalım.
64 + 225 = x²
289 = x²
Adım 4: x’i bulmak için 289’un karekökünü almalıyız. Hangi sayının kendisiyle çarpımının 289 olduğunu düşünelim. Bu sayı 17’dir.
x = √289
Sonuç:
x = 17 br
İpucu: 8-15-17 üçgeni, kenar uzunlukları tam sayı olan özel dik üçgenlerden biridir. Bunu aklında tutarsan işlem yapmadan sonuca ulaşabilirsin!
b)
Bu üçgende ise bir dik kenar (6 br) ve hipotenüs (15 br) verilmiş. Diğer dik kenarı, yani y’yi bulmamız isteniyor.
Adım 1: Pisagor bağıntısını yine yazalım. Dik kenarlarımız y ve 6, hipotenüsümüz 15.
y² + 6² = 15²
Adım 2: Bildiğimiz sayıların karelerini alalım.
6² = 36
15² = 225
Adım 3: Değerleri yerine yazalım.
y² + 36 = 225
Adım 4: y²’yi yalnız bırakmak için 36’yı eşitliğin diğer tarafına eksi olarak atalım.
y² = 225 – 36
y² = 189
Adım 5: Şimdi y’yi bulmak için 189’un karekökünü alalım. 189 tam kare bir sayı değil, bu yüzden onu a√b şeklinde yazmaya çalışalım. 189’u çarpanlarına ayıralım: 189 = 9 x 21.
y = √189 = √(9 x 21) = √9 x √21 = 3√21
Sonuç:
y = 3√21 br
c)
Bu üçgenin iki dik kenarı da birbirine eşit (10 br). Bu bir ikizkenar dik üçgendir. Bizden hipotenüs olan z’yi bulmamız isteniyor.
Adım 1: Pisagor bağıntısını kuralım.
10² + 10² = z²
Adım 2: Kareleri alıp toplayalım.
100 + 100 = z²
200 = z²
Adım 3: z’yi bulmak için 200’ün karekökünü alalım. 200’ü de a√b şeklinde yazabiliriz. 200 = 100 x 2.
z = √200 = √(100 x 2) = √100 x √2 = 10√2
Sonuç:
z = 10√2 br
İpucu: İkizkenar dik üçgenlerde (45-45-90 üçgeni) hipotenüs, dik kenarlardan birinin √2 katına eşittir. Yani dik kenarlar 10 ise hipotenüs direkt 10√2 olur.
2. Bir firma, reklam balonunu kullanarak tanıtım yapmaya karar vermiştir ve firma, yanda verilen reklam balonunu görseldeki gibi zemine sabitlemiştir. Yanda verilenlere göre reklam balonunun zeminden yüksekliği (x) kaç cm’dir?
Bu problemde aslında gizlenmiş iki tane dik üçgen var. Balonun yüksekliği, zemindeki 270 cm’lik mesafeyi tam ortadan ikiye böler. Çünkü balonu tutan iplerin uzunlukları eşit (450 cm), bu da bir ikizkenar üçgen oluşturur.
Adım 1: İkizkenar üçgenin tepesinden tabanına inen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler. O halde 270 cm’lik taban, 135 cm ve 135 cm olarak ikiye ayrılır.
Adım 2: Şimdi elimizde yeni bir dik üçgen var. Bu üçgenin;
- Hipotenüsü: 450 cm (ipin uzunluğu)
- Dik kenarlarından biri: 135 cm (zemindeki mesafenin yarısı)
- Diğer dik kenarı: x (balonun yüksekliği)
Adım 3: Bu yeni üçgen için Pisagor bağıntısını yazalım.
x² + 135² = 450²
Adım 4: Bu sayılarla işlem yapmak biraz zor olabilir. Gel bir kolaylık yapalım. 450 ve 135 sayılarının ikisinin de bölünebildiği en büyük sayıyı bulalım. İkisi de 45’e bölünür.
450 = 45 x 10
135 = 45 x 3
Yani bu üçgen, kenarları 3 ve hipotenüsü 10 olan bir dik üçgenin 45 kat büyütülmüş hali. O küçük üçgenin diğer dik kenarını bulup 45 ile çarpabiliriz. Küçük üçgenin verilmeyen kenarına ‘h’ diyelim.
h² + 3² = 10²
h² + 9 = 100
h² = 100 – 9
h² = 91
h = √91
Adım 5: Şimdi bulduğumuz bu ‘h’ değerini 45 ile çarparak gerçek yüksekliğimiz olan x’i bulalım.
x = 45 x h = 45 x √91
Sonuç:
x = 45√91 cm
3. Eşref, geometri tahtasında turuncu lastikle yandaki dik üçgen modelini oluşturmuştur. Eşref’in oluşturduğu dik üçgen modelindeki hipotenüsün uzunluğu kaç birimdir?
Bu soru da bir Pisagor sorusu ama önce geometri tahtasındaki noktaları sayarak dik kenarların uzunluklarını bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Üçgenin dikey olan dik kenarını sayalım. Noktalar arasındaki boşlukları saydığımızda 3 birim olduğunu görürüz.
Adım 2: Üçgenin yatay olan dik kenarını sayalım. Boşlukları saydığımızda bu kenarın da 4 birim olduğunu görürüz.
Adım 3: Artık dik kenarları 3 br ve 4 br olan bir dik üçgenimiz var. Hipotenüsü bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayalım. Hipotenüse ‘c’ diyelim.
3² + 4² = c²
Adım 4: Karelerini alıp toplayalım.
9 + 16 = c²
25 = c²
Adım 5: c’yi bulmak için 25’in karekökünü alalım.
c = √25
c = 5
Sonuç:
Hipotenüsün uzunluğu 5 birimdir.
İpucu: Bu da en meşhur özel üçgenimiz: 3-4-5 üçgeni! Bunu gördüğün an hipotenüsün 5 olduğunu hemen söyleyebilirsin. Unutma, bu özel üçgenleri bilmek sana sınavlarda çok zaman kazandırır.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Harika iş çıkardın! Matematik, bol bol pratik yaparak daha da kolaylaşır. Başarılar dilerim!