Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin soruları birlikte adım adım çözelim. Bu soruları dikkatlice okuyup anladığımızda çözümlerinin ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Haydi başlayalım!
22. Soru: Aşağıda, yarıçap uzunlukları 3 cm olan farklı yüksekliklerdeki üç adet dik dairesel silindir üst üste yerleştirilmiştir.
En alttaki dik dairesel silindirin hacmi 324 cm³, en üstteki dik dairesel silindirin hacmi 108 cm³ tür.
Ardışık iki dik dairesel silindirin yüksekliklerinin farkı birbirine eşit olduğuna göre ortadaki dik dairesel silindirin yanal alanı kaç cm² dir? (π = 3 alınız.)
Bu soruyu çözmek için önce silindirin hacim ve yanal alan formüllerini hatırlayalım.
- Silindirin Hacmi:V = π * r² * h (π çarpı yarıçapın karesi çarpı yükseklik)
- Silindirin Yanal Alanı:A = 2 * π * r * h (2 çarpı π çarpı yarıçap çarpı yükseklik)
Şimdi soruyu adım adım çözelim:
Adım 1: En alttaki silindirin yüksekliğini bulalım.
Bize verilenler: Hacim (V) = 324 cm³, yarıçap (r) = 3 cm ve π = 3. Formülde bu değerleri yerine yazalım.
V = π * r² * h
324 = 3 * (3)² * h
324 = 3 * 9 * h
324 = 27 * h
Yüksekliği (h) bulmak için 324’ü 27’ye böleriz.
h = 324 / 27 = 12 cm. Demek ki en alttaki silindirin yüksekliği 12 cm imiş.
Adım 2: En üstteki silindirin yüksekliğini bulalım.
Bize verilenler: Hacim (V) = 108 cm³, yarıçap (r) = 3 cm ve π = 3. Yine formülde yerine koyalım.
V = π * r² * h
108 = 3 * (3)² * h
108 = 3 * 9 * h
108 = 27 * h
Yüksekliği (h) bulmak için 108’i 27’ye böleriz.
h = 108 / 27 = 4 cm. Yani en üstteki silindirin yüksekliği 4 cm imiş.
Adım 3: Ortadaki silindirin yüksekliğini bulalım.
Soruda çok önemli bir ipucu var: “Ardışık iki dik dairesel silindirin yüksekliklerinin farkı birbirine eşit”. Bu, yüksekliklerin bir aritmetik dizi oluşturduğu anlamına gelir. Yani, alttaki silindirin yüksekliğinden ortadakinin yüksekliğini çıkardığımızda bulduğumuz sayı, ortadakinin yüksekliğinden en üsttekinin yüksekliğini çıkardığımızda bulduğumuz sayıya eşit olmalı.
En alttaki yükseklik: 12 cm
En üstteki yükseklik: 4 cm
Ortadaki yükseklik, bu iki yüksekliğin tam ortasında olmalı. Yani aritmetik ortalamasını alabiliriz.
Ortadaki yükseklik = (12 + 4) / 2 = 16 / 2 = 8 cm.
Sağlamasını yapalım: 12 – 8 = 4 ve 8 – 4 = 4. Farklar eşit, demek ki doğru bulduk! Ortadaki silindirin yüksekliği 8 cm‘dir.
Adım 4: Ortadaki silindirin yanal alanını hesaplayalım.
Artık ortadaki silindir için her şeyi biliyoruz: r = 3 cm, h = 8 cm ve π = 3. Yanal alan formülünü kullanalım.
Yanal Alan = 2 * π * r * h
Yanal Alan = 2 * 3 * 3 * 8
Yanal Alan = 6 * 24
Yanal Alan = 144 cm²
Sonuç:
Ortadaki silindirin yanal alanı 144 cm²‘dir. Doğru cevap D şıkkıdır.
23. Soru: Ayfer, bir kartonun üzerine, eş aralıklar ile aşağıdaki birimkareli eş dikdörtgen şeklindeki kâğıtları yerleştirmiştir.
Ayfer, yerleştirdiği kâğıtları harflendirmiş ve keçeli kalem ile yukarıdaki çizimleri yapmıştır.
Bu kâğıt, Ç ile D kâğıtlarının tam ortasından geçen doğru boyunca ikiye katlandığında mürekkep izi iki kâğıdı da boyamıştır.
Buna göre hangi iki şeklin üst üste gelmesi ile bir dikdörtgen oluşur?
Bu bir katlama, yani simetri (yansıma) sorusu. Katlama çizgisi bizim aynamız olacak. Aynanın bir tarafındaki şekil, diğer tarafa yansıyacak ve oradaki şekille birleşecek.
Adım 1: Katlama işlemini anlayalım.
Katlama çizgisi Ç ile D’nin tam ortasında. Bu çizgiye göre katlama yaparsak:
- Ç kâğıdı D‘nin üzerine,
- C kâğıdı E‘nin üzerine,
- B kâğıdı F‘nin üzerine,
- A kâğıdı ise G‘nin üzerine katlanır.
Katlandığında, bir kâğıttaki mürekkepli şekil, üzerine geldiği kâğıda iz bırakacak. Bizden istenen, bu iz ile kâğıdın üzerindeki orijinal şeklin birleşerek tam bir dikdörtgen (veya kare) oluşturması.
Adım 2: Şıkları tek tek inceleyelim.
- A) Ç – D: Ç’deki şekil, sağ üst köşesi eksik bir kare. D’deki şekil ise sol üst köşesi eksik bir kare. Ç’yi D’nin üzerine katladığımızda, Ç’nin şekli D’nin üzerindeki şekille birebir aynı konuma gelir ve üst üste çakışır. Yeni bir şekil oluşmaz, sadece aynı şekil elde edilir. Bu bir dikdörtgen oluşturmaz.
- B) C – E: C’deki şekil, üst kenarı eksik bir kare (bir “U” harfi gibi). E’deki şekil ise alt kenarı eksik bir kare (ters “U” harfi gibi). C’yi E’nin üzerine katladığımızda, C’deki “U” şeklinin izi E’nin üzerine çıkar. E’nin üzerinde zaten bir ters “U” vardı. Bu iki şekil birleştiğinde birbirlerinin eksik parçalarını tamamlarlar ve ortaya tam bir kare, yani bir dikdörtgen çıkar. Bu doğru cevap gibi görünüyor!
- C) B – F: B’deki şekil, sağ kenarı eksik bir kare (“C” harfi gibi). F’deki şekil ise sol kenarı eksik bir kare (ters “C” harfi gibi). B’yi F’nin üzerine katladığımızda, B’deki “C” şekli, F’nin üzerindeki ters “C” şekliyle üst üste çakışır. Yine bir tamamlama olmaz, aynı şekil elde edilir. Bu da bir dikdörtgen oluşturmaz.
- D) A – G: A’daki şekil tam bir kare. G’deki şekil ise sağ alt köşesi eksik bir kare. A’yı G’nin üzerine katladığımızda, tam kare şeklinin izi G’nin üzerine çıkar. Bu durumda G’nin üzerindeki eksik kare, A’dan gelen tam karenin izinin içinde kalır. Sonuç, içi çizgili bir kare olur, bizden istenen sadece kenarları olan bir dikdörtgen.
Sonuç:
İncelediğimizde, sadece C ve E kâğıtlarındaki şekillerin üst üste geldiğinde birbirini tamamlayarak bir dikdörtgen oluşturduğunu görüyoruz. Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.