Harika sorular! Hadi birlikte bu iki soruyu adım adım, tane tane çözelim. Unutma, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları sırasıyla takip etmektir. Hazırsan başlayalım!
Soru 25: 1 ve 2. kutularda özdeş kırmızı ve beyaz renkli toplar vardır. 1. kutunun içinde kaç top olduğu bilinmezken 2. kutuda 5 adet kırmızı 1 adet beyaz top vardır.
1. kutunun içinden rastgele bir top alındığında alınan bu topun renginin kırmızı olma olasılığının 2/3 olduğu bilinmektedir.
1. kutuda bulunan tüm toplar 2. kutuya konulduktan sonra 2. kutudan rastgele alınan bir topun beyaz renkli olma olasılığı 1/4 olmaktadır.
Buna göre iki kutuda toplam kaç adet top vardır?
- A) 10
- B) 12
- C) 14
- D) 16
Çözüm:
Sevgili öğrencim, bu bir olasılık sorusu. Sakin olalım ve sorunun bize verdiği ipuçlarını tek tek kullanalım.
- Adım 1: 1. Kutuyu Analiz Edelim
Bize 1. kutudan kırmızı top çekme olasılığının 2/3 olduğu söylenmiş. Olasılık neydi? İstenen durum sayısı / Toplam durum sayısı. Bu durumda:
Kırmızı Top Sayısı / Toplam Top Sayısı = 2 / 3
Bu orandan anlıyoruz ki, 1. kutudaki toplam top sayısı 3’ün bir katı olmalı. Kırmızı top sayısı da 2’nin aynı katı olmalı. Mesela, eğer 2 kırmızı top varsa, toplam 3 top vardır (yani 1 tane de beyaz). Eğer 4 kırmızı top varsa, toplam 6 top vardır (yani 2 tane de beyaz). Bu oranı aklımızda tutalım. Kırmızı top sayısına 2k, toplam top sayısına 3k diyelim. Bu durumda beyaz top sayısı da k olur.
- Adım 2: Kutuları Birleştirelim
Şimdi 1. kutudaki bütün topları 2. kutuya atıyoruz. Önce 2. kutuda ne vardı bir bakalım:
5 kırmızı top + 1 beyaz top = 6 top
1. kutudan gelen 2k kırmızı ve k beyaz topu bu kutuya ekleyelim. Yeni durumda 2. kutudaki top sayıları:
- Yeni Kırmızı Top Sayısı: 5 + 2k
- Yeni Beyaz Top Sayısı: 1 + k
- Yeni Toplam Top Sayısı: (5 + 2k) + (1 + k) = 6 + 3k
- Adım 3: Son Olasılığı Kullanalım
Kutuları birleştirdikten sonra, bu yeni karışımdan beyaz top çekme olasılığının 1/4 olduğu söyleniyor. Haydi bu olasılığı yazalım:
Yeni Beyaz Top Sayısı / Yeni Toplam Top Sayısı = 1 / 4
(1 + k) / (6 + 3k) = 1 / 4
Şimdi yapmamız gereken tek şey bu denklemi çözmek. İçler dışlar çarpımı yapalım:
4 * (1 + k) = 1 * (6 + 3k)
4 + 4k = 6 + 3k
Denklemde k’ları bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım. 3k’yı sola, 4’ü sağa atalım:
4k – 3k = 6 – 4
k = 2
- Adım 4: Toplam Top Sayısını Bulalım
Harika! k’nın değerini 2 olarak bulduk. Soru bizden en başta iki kutuda toplam kaç top olduğunu istiyordu.
- 1. Kutudaki Top Sayısı: 3k idi. Yani 3 * 2 = 6 top
- 2. Kutudaki Top Sayısı: Zaten 6 top vardı.
Toplam top sayısı = (1. Kutudaki Toplar) + (2. Kutudaki Toplar)
Toplam = 6 + 6 = 12
Sonuç:
Doğru cevap B) 12‘dir.
Soru 26: Kısa kenar uzunlukları 3 birim olan ABCD dikdörtgeni ile EFGH dikdörtgeninin alanları sırası ile (3a + 6) br² ve (6a + 18) br² dir. Bu iki dikdörtgen eş kenarlarından uç uca birleştirilerek yeni bir dikdörtgen elde ediliyor. Buna göre elde edilen dikdörtgenin çevre uzunluğu kaç birim olur?
- A) 6a + 22
- B) 9a + 20
- C) 6a + 11
- D) 9a + 22
Çözüm:
Bu soru da cebirsel ifadelerle ilgili. Dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini hatırlayarak kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Dikdörtgenlerin Uzun Kenarlarını Bulalım
Biliyorsun ki, Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar. Bize alanı ve kısa kenarı vermiş, o zaman uzun kenarı bulmak için alanı kısa kenara bölmeliyiz.
ABCD Dikdörtgeni için:
Uzun Kenar = Alan / Kısa Kenar = (3a + 6) / 3
Burada (3a + 6) ifadesini 3 ortak parantezine alabiliriz: 3(a + 2). Şimdi bölelim:
Uzun Kenar = 3(a + 2) / 3 = a + 2
EFGH Dikdörtgeni için:
Uzun Kenar = Alan / Kısa Kenar = (6a + 18) / 3
Burada da (6a + 18) ifadesini 6 ortak parantezine alabiliriz ama 3’e böleceğimiz için 3 ortak parantezine alalım: 3(2a + 6). Şimdi bölelim:
Uzun Kenar = 3(2a + 6) / 3 = 2a + 6
- Adım 2: Yeni Dikdörtgeni Hayal Edelim ve Boyutlarını Bulalım
Bu iki dikdörtgen, “eş kenarlarından” birleştiriliyor. Soruda ikisinin de kısa kenarının 3 birim olduğu söylenmişti. Demek ki bu iki dikdörtgeni 3 birimlik kenarlarından yan yana yapıştırıyoruz.
Bu durumda ortaya çıkan yeni büyük dikdörtgenin;
- Kısa kenarı değişmez, yine 3 birim olur.
- Uzun kenarı ise iki dikdörtgenin uzun kenarlarının toplamı olur.
Yeni Uzun Kenar = (ABCD’nin uzun kenarı) + (EFGH’nin uzun kenarı)
Yeni Uzun Kenar = (a + 2) + (2a + 6)
Benzer terimleri toplayalım (a’ları kendi arasında, sayıları kendi arasında):
Yeni Uzun Kenar = (a + 2a) + (2 + 6) = 3a + 8
- Adım 3: Yeni Dikdörtgenin Çevresini Hesaplayalım
Bir dikdörtgenin çevresi nasıl bulunurdu? Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar). Artık yeni dikdörtgenimizin kısa ve uzun kenarlarını biliyoruz.
Çevre = 2 x (3 + (3a + 8))
Önce parantez içini toparlayalım:
Çevre = 2 x (3a + 11)
Şimdi 2’yi parantezin içine dağıtalım:
Çevre = (2 * 3a) + (2 * 11)
Çevre = 6a + 22
Sonuç:
Elde edilen yeni dikdörtgenin çevre uzunluğu A) 6a + 22 birimdir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir nokta olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!