Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını senin için bir öğretmen gözüyle analiz ettim ve adım adım çözeceğim. Haydi başlayalım, bu konuları ne kadar kolay anladığını sen de göreceksin!
18. Soru: Semih, en fazla 300 kg yük taşıyabilen bir asansöre her birinin kütlesi 5√10 kg olan kutularla birlikte binecektir. Semih’in asansörle taşıması gereken 14 kutu vardır. Semih’in kütlesi 90 kg olduğuna göre Semih, tek seferde asansöre bu kutulardan en fazla kaç tanesi ile binebilir?
Bu soruyu çözmek için önce asansörde kutular için ne kadar yer kaldığını bulmalıyız. Sonra da bu kalan ağırlıkla kaç kutu taşıyabileceğimizi hesaplayacağız. Hadi adım adım gidelim.
Adım 1: Asansörde kutular için kalan kapasiteyi bulalım.
Asansörün toplam taşıma kapasitesi 300 kg. Semih’in kütlesi ise 90 kg. Semih asansöre bindiğinde, kutular için kalan ağırlığı bulmak için toplam kapasiteden Semih’in ağırlığını çıkarmalıyız.
300 kg (Toplam Kapasite) – 90 kg (Semih’in Ağırlığı) = 210 kg
Yani, asansöre Semih ile birlikte konulacak kutuların toplam ağırlığı en fazla 210 kg olabilir.
Adım 2: Bir kutunun yaklaşık ağırlığını düşünelim ve kaç kutu sığacağını tahmin edelim.
Bir kutunun ağırlığı 5√10 kg. √10 sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu hatırlayalım. √9 = 3 ve √16 = 4 olduğuna göre, √10 sayısı 3 ile 4 arasındadır. 3’e çok yakındır, yaklaşık 3,16 gibi bir değerdir.
Şimdi bu değeri kullanarak bir kutunun yaklaşık ağırlığını bulalım: 5 x 3,16 ≈ 15,8 kg. Bu sadece bir tahmin.
Adım 3: Kaç kutu sığacağını kesin olarak hesaplayalım.
Diyelim ki Semih ‘x’ tane kutu taşıyacak. Bu kutuların toplam ağırlığı, kalan kapasite olan 210 kg’dan az veya ona eşit olmalı.
x * (5√10) ≤ 210
Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafı 5’e bölelim:
x * √10 ≤ 42
Şimdi köklü ifadeden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Bu, işlemi çok daha kolay hale getirir.
(x * √10)² ≤ 42²
x² * 10 ≤ 1764
Şimdi x²’yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 10’a bölelim:
x² ≤ 176,4
Şimdi düşünmemiz gereken şey şu: Karesi 176,4’ten küçük veya eşit olan en büyük tam sayı kaçtır?
- 12² = 144 (144 ≤ 176,4, yani 12 kutu olabilir)
- 13² = 169 (169 ≤ 176,4, yani 13 kutu da olabilir)
- 14² = 196 (196 > 176,4, yani 14 kutu olamaz, ağırlık sınırını aşar!)
Gördüğümüz gibi, bu şarta uyan en büyük tam sayı 13‘tür.
Sonuç:
Semih, tek seferde asansöre en fazla 13 kutu ile binebilir. Doğru cevap C şıkkıdır.
19. Soru: A noktasında bulunan Sinan’ın D noktasına giderken izlediği güzergâh aşağıda verilmiştir. A ile B noktaları arasındaki uzaklık 10 km’dir. A ile B noktaları arasındaki uzaklık, B ile C noktaları arasındaki uzaklığın √2 katı; C ile D noktaları arasındaki uzaklık, B ile C noktaları arasındaki uzaklığın 2 katıdır. Sinan, D noktasına ulaştıktan sonra aynı güzergâhı takip ederek A noktasına geri dönmüştür. Buna göre Sinan, A noktasına geri döndüğünde toplam kaç kilometre yol gitmiş olur?
Bu soruda bize verilen ilişkileri kullanarak önce her bir bölümün (A-B, B-C, C-D) uzunluğunu bulacağız. Sonra A’dan D’ye toplam gidiş mesafesini hesaplayacağız. En sonunda da gidiş-dönüş yaptığı için bu mesafeyi 2 ile çarpacağız. Unutma, bu tür sorularda ifadeleri dikkatli okumak çok önemlidir!
Adım 1: Verilen mesafeleri tek tek bulalım.
- A ile B arası (AB): Soruda bize direkt verilmiş: 10 km.
- B ile C arası (BC): Soruda diyor ki “A ile B arasındaki uzaklık, B ile C arasındaki uzaklığın √2 katı”. Yani:
AB = BC * √2
10 = BC * √2
BC’yi bulmak için 10’u √2’ye bölmeliyiz: BC = 10 / √2. Paydayı kökten kurtarmak için kesri √2 ile genişletelim:
BC = (10 * √2) / (√2 * √2) = 10√2 / 2 = 5√2 km.
- C ile D arası (CD): Soruda “C ile D arasındaki uzaklık, B ile C arasındaki uzaklığın 2 katıdır” deniyor.
CD = 2 * BC
BC’yi az önce 5√2 bulmuştuk. Yerine koyalım:
CD = 2 * (5√2) = 10√2 km.
Adım 2: A’dan D’ye tek yön gidiş mesafesini hesaplayalım.
Bunun için bulduğumuz üç mesafeyi toplayacağız:
Gidiş Mesafesi = AB + BC + CD
Gidiş Mesafesi = 10 + 5√2 + 10√2
Kareköklü sayılarda toplama yaparken, kök içleri aynı olan terimlerin katsayılarını toplayabiliriz. Yani 5√2 ile 10√2 toplanabilir.
Gidiş Mesafesi = 10 + (5 + 10)√2 = 10 + 15√2 km.
Adım 3: Toplam gidiş-dönüş mesafesini bulalım.
Sinan aynı yoldan geri döndüğü için, toplam yolu bulmak için gidiş mesafesini 2 ile çarpmamız yeterli.
Toplam Yol = 2 * (Gidiş Mesafesi)
Toplam Yol = 2 * (10 + 15√2)
Burada dağılma özelliğini kullanacağız. 2’yi parantez içindeki her iki terimle de çarpacağız:
Toplam Yol = (2 * 10) + (2 * 15√2) = 20 + 30√2 km.
Sonuç:
Sinan’ın A noktasına geri döndüğünde gittiği toplam yol 20 + 30√2 kilometredir. Doğru cevap C şıkkıdır.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Gördüğün gibi soruları adımlara ayırınca ve dikkatli okuyunca çözmek ne kadar da kolaylaşıyor! Başarılar dilerim!