Harika bir çalışma, sevgili öğrencim! Gönderdiğin görseldeki sorular tam da bizim konumuz olan Pisagor Teoremi ile ilgili. Bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Unutma, geometri sabır ve dikkat ister. Hazırsan başlayalım!
4. Soru: Yandaki şekilde KLM, KMN ve KNP, birer dik üçgendir. |MN| = 4√2 cm, |KL| = |LM| = 4 cm, |NP| = 6 cm ve |KP| = x cm olduğuna göre x kaçtır?
Bu soruda iç içe geçmiş dik üçgenler görüyoruz. Zincirleme bir şekilde bir üçgenin hipotenüsünü (en uzun kenarını) bularak diğer üçgenin dik kenarı olarak kullanacağız. Haydi başlayalım!
Adım 1: Önce en alttaki KLM üçgeni ile işe başlayalım. Bu bir dik üçgen ve dik kenarları |KL| = 4 cm ve |LM| = 4 cm. Bizim bulmamız gereken kenar ise 90 derecenin karşısındaki hipotenüs olan |KM| kenarı. Pisagor Teoremi‘ni hatırlayalım: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
|KL|² + |LM|² = |KM|²
4² + 4² = |KM|²
16 + 16 = |KM|²
32 = |KM|²
|KM| = √32 cm’dir. √32’yi kök dışına çıkaralım: √32 = √(16 x 2) = 4√2 cm.Adım 2: Şimdi ortadaki KMN üçgenine geçebiliriz. Bu üçgenin dik kenarları |KM| ve |MN| kenarlarıdır. |KM| kenarını az önce 4√2 cm bulduk. Soruda |MN| kenarı da 4√2 cm olarak verilmiş. Harika! Şimdi bu üçgenin hipotenüsü olan |KN| kenarını bulalım.
|KM|² + |MN|² = |KN|²
(4√2)² + (4√2)² = |KN|²
(16 x 2) + (16 x 2) = |KN|²
32 + 32 = |KN|²
64 = |KN|²
|KN| = √64 = 8 cm.Adım 3: Son olarak en üstteki KNP üçgenine geldik. Bu üçgenin dik kenarları |KN| ve |NP|. |KN|’yi bir önceki adımda 8 cm bulduk. |NP| ise soruda 6 cm olarak verilmiş. Bulmamız gereken x, yani |KP| hipotenüsüdür.
|KN|² + |NP|² = |KP|²
8² + 6² = x²
64 + 36 = x²
100 = x²
x = √100 = 10 cm.(Küçük bir ipucu: Dik kenarları 6 ve 8 olan bir dik üçgenin hipotenüsü her zaman 10’dur. Bu, 3-4-5 özel dik üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 özel üçgenidir.)
Sonuç: x = 10 cm’dir.
5. Soru: Aşağıda kenar uzunlukları verilen dikdörtgen ve karelerin köşegen uzunluklarını bulunuz.
Sevgili öğrencim, bir dikdörtgenin veya karenin köşegeni, onu iki tane eş dik üçgene ayırır. Köşegen de bu dik üçgenlerin hipotenüsü olur. Yani yine Pisagor Teoremi‘ni kullanacağız.
a) Kenarları 3 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgen (ABCD).
Burada dik kenarlar 3 cm ve 8 cm’dir. Köşegen |AC|’yi bulalım.
|AB|² + |BC|² = |AC|²
8² + 3² = |AC|²
64 + 9 = |AC|²
73 = |AC|²
|AC| = √73 cm‘dir. (73 asal sayı olduğu için kök dışına çıkmaz.)b) Kenarları 6 cm olan bir kare (KLMN).
Karenin bütün kenarları eşit olduğu için dik kenarlarımız 6 cm ve 6 cm’dir. Köşegen |KM|’yi bulalım.
|KL|² + |LM|² = |KM|²
6² + 6² = |KM|²
36 + 36 = |KM|²
72 = |KM|²
|KM| = √72 = √(36 x 2) = 6√2 cm‘dir.c) Kenarları 5 cm olan bir kare (PRST).
Aynı şekilde dik kenarlarımız 5 cm ve 5 cm’dir. Köşegen |PS|’yi bulalım.
|PR|² + |RS|² = |PS|²
5² + 5² = |PS|²
25 + 25 = |PS|²
50 = |PS|²
|PS| = √50 = √(25 x 2) = 5√2 cm‘dir.(Öğretmeninin notu: Bir kenarı ‘a’ olan bir karenin köşegeni her zaman a√2‘dir. Bak, b ve c şıklarında bu kuralın nasıl işlediğini gördük!)
6. Soru: Koordinat düzleminde A(–2, 3) ile B(0, –1) noktalarının arasındaki uzaklığı bulunuz.
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak da aslında gizli bir Pisagor teoremidir. Noktaların x değerleri arasındaki fark bize yatay dik kenarı, y değerleri arasındaki fark ise dikey dik kenarı verir.
Adım 1: x değerleri (apsisler) arasındaki farkı bulalım.
x’lerin farkı = 0 – (–2) = 0 + 2 = 2 birim.Adım 2: y değerleri (ordinatlar) arasındaki farkı bulalım.
y’lerin farkı = –1 – 3 = –4 birim. (Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerini, yani 4 birimi alacağız.)Adım 3: Şimdi Pisagor Teoremi’ni uygulayalım. Bulduğumuz farklar, dik üçgenimizin dik kenarlarıdır. Aradığımız uzaklık ise hipotenüstür.
(Uzaklık)² = (x’lerin farkı)² + (y’lerin farkı)²
(Uzaklık)² = 2² + (–4)²
(Uzaklık)² = 4 + 16
(Uzaklık)² = 20
Uzaklık = √20 = √(4 x 5) = 2√5 birim.Sonuç: A ve B noktaları arasındaki uzaklık 2√5 birimdir.
7. Soru: |KL| = 5 cm, |LM| = 5 cm ve |KM| = 5√2 cm olan bir KLM üçgeninin dik üçgen olup olmadığını belirleyiniz.
Bu soruda bize bir üçgenin dik olup olmadığını soruyor. Bunu anlamanın yolu, Pisagor Teoremi’nin tersini uygulamaktır. Yani, “acaba iki kısa kenarın kareleri toplamı, en uzun kenarın karesine eşit mi?” diye kontrol edeceğiz. Eşitse, o üçgen bir dik üçgendir!
Adım 1: En uzun kenarı tespit edelim. Kenarlarımız 5, 5 ve 5√2. √2 yaklaşık 1,4 olduğu için 5√2 yaklaşık 7’dir. Dolayısıyla en uzun kenarımız 5√2 cm’dir. Eğer bu bir dik üçgense, hipotenüs bu kenar olmalıdır.
Adım 2: Pisagor Teoremi’nde değerleri yerine koyarak eşitliği kontrol edelim.
İki kısa kenarın kareleri toplamı = 5² + 5² = 25 + 25 = 50
En uzun kenarın karesi = (5√2)² = 5² x (√2)² = 25 x 2 = 50
Adım 3: Sonuçları karşılaştıralım.
Gördüğümüz gibi, 50 = 50! İki kısa kenarın kareleri toplamı, en uzun kenarın karesine eşit çıktı.
Sonuç: Evet, KLM üçgeni bir dik üçgendir. Hatta iki kenarı eşit olduğu için bu bir ikizkenar dik üçgendir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Takıldığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!