8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 43

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün birlikte bu alıştırmaları çözeceğiz. Matematik artık çok daha eğlenceli olacak, hazırsanız başlayalım!

1. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

a) 5⁸ . 5^-5 / (25)^-3

Bu soruda üslü ifadelerle ilgili kuralları kullanacağız. Önce pay kısmını kendi içinde sadeleştirelim:

5⁸ . 5^-5 = 5^{8 + (-5)} = 5³

Şimdi de paydadaki 25’i 5 tabanında yazalım:

25 = 5²

Bu durumda payda şöyle olur:

(25)^-3 = (5²)^-3 = 5^{2 * (-3)} = 5^-6

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

5³ / 5^-6

Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır:

5^{3 – (-6)} = 5^{3 + 6} = 5⁹

Sonuç: 5⁹

b) 3⁹ . 27⁴ / (3²)⁴

Bu soruda da öncelikle tabanları eşitlemeye çalışalım. 27’yi 3’ün kuvveti olarak yazabiliriz:

27 = 3³

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

3⁹ . (3³)⁴ / (3²)⁴

Üslü ifadelerde üsleri çarparak devam edelim:

3⁹ . 3^{3 * 4} / 3^{2 * 4}

3⁹ . 3¹² / 3⁸

Pay kısmını çarpma işlemine göre birleştirelim:

3^{9 + 12} / 3⁸

3²¹ / 3⁸

Şimdi de bölme işlemini yapalım, tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkaracağız:

3^{21 – 8} = 3¹³

Sonuç: 3¹³

c) 5 / 2^-8

Bu soruda negatif üssün özelliğini kullanacağız. Bir sayının negatif üssü, sayının kendisinin pozitif üssünün çarpmaya göre tersidir. Yani:

a^-n = 1 / aⁿ

Bu durumda paydadaki 2^-8‘i şöyle yazabiliriz:

1 / 2⁸

Soruyu yeniden yazalım:

5 / (1 / 2⁸)

Bir kesre bölmek, o kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir. Yani:

5 * (2⁸ / 1) = 5 * 2⁸

Sonuç: 5 * 2⁸

c) (11¹ / 2) * (2^-8 / 11⁸)

Bu soruda kesirleri ve üslü ifadeleri bir arada kullanacağız. Öncelikle kesirleri ayrı ayrı ele alalım:

(11¹ / 2) = 11 / 2

(2^-8 / 11⁸) = (1 / 2⁸) / 11⁸ = 1 / (2⁸ * 11⁸)

Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım:

(11 / 2) * (1 / (2⁸ * 11⁸))

Kesirleri çarptığımızda payları kendiyle, paydaları kendiyle çarparız:

11 / (2 * 2⁸ * 11⁸)

Paydadaki ifadeleri üslü sayılar kurallarına göre birleştirelim:

2 * 2⁸ = 2^{1 + 8} = 2⁹

11 * 11⁸ = 11^{1 + 8} = 11⁹

Yani payda:

2⁹ * 11⁹

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

11 / (2⁹ * 11⁹)

Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz. Payda 11’in 9. kuvveti var, payda ise 11’in 1. kuvveti var. Sadeleştirme yapınca payda 11⁸ kalır:

1 / (2⁹ * 11⁸)

Sonuç: 1 / (2⁹ * 11⁸)

d) (-7⁵)⁰ . 7⁴ / 7^-4

Bu soruda da önemli bir kuralı hatırlayalım: Sıfırıncı kuvvet kuralı. Bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1’dir (taban sıfır değilse). Bu durumda (-7⁵)⁰ = 1 olur.

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

1 . 7⁴ / 7^-4

1 ile çarpmak sonucu değiştirmez, bu yüzden sadece:

7⁴ / 7^-4

Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsleri çıkarırız:

7^{4 – (-4)} = 7^{4 + 4} = 7⁸

Sonuç: 7⁸

e) (125⁸ . 5^-6)⁰ / 5^-20

Yine sıfırıncı kuvvet kuralını görüyoruz! Parantez içindeki ifadenin tamamının sıfırıncı kuvveti 1’dir. Bu yüzden pay kısmımız 1 olur.

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

1 / 5^-20

Negatif üssün özelliğini kullanarak paydadaki ifadeyi yukarıya alalım. Üssün işareti değişir:

1 * 5²⁰ = 5²⁰

Sonuç: 5²⁰

2. Yandaki PRST karesinin bir kenar uzunluğu 8³ cm ise alanı kaç cm²‘dir?

Sevgili çocuklar, bir karenin alanını bulmak için bir kenar uzunluğunu kendisiyle çarparız. Yani alan = kenar * kenar = kenar².

Karenin bir kenar uzunluğu 8³ cm olarak verilmiş.

Alan = (8³)²

Üslü ifadelerde üsleri çarparak bu işlemi yapabiliriz:

Alan = 8^{3 * 2} = 8⁶

İstersek 8’i 2’nin kuvveti olarak yazıp da devam edebiliriz:

8 = 2³

Alan = (2³)⁶ = 2^{3 * 6} = 2¹⁸

Sonuç: 8⁶ cm² veya 2¹⁸ cm²

3. (64)⁸ sayısının 5. kuvvetinin 1/16’sı kaçtır?

Bu soruyu adım adım ilerleyelim:

Adım 1: (64)⁸ sayısının 5. kuvvetini bulalım.

Bu, (64)⁸ sayısını kendisiyle 5 defa çarpmak demektir. Üslü sayılarda bunu üsleri çarparak yaparız:

((64)⁸)⁵ = 64^{8 * 5} = 64⁴⁰

Adım 2: Bulduğumuz bu sayının (64⁴⁰) 1/16’sını bulalım.

Bir sayının 1/16’sını bulmak demek, o sayıyı 16’ya bölmek demektir.

64⁴⁰ / 16

Şimdi tabanları eşitlemeye çalışalım. 64 ve 16’yı 2’nin kuvveti olarak yazabiliriz:

64 = 2⁶

16 = 2⁴

Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:

(2⁶)⁴⁰ / 2⁴

Önce pay kısmındaki üslü ifadeyi hesaplayalım:

2^{6 * 40} / 2⁴ = 2²⁴⁰ / 2⁴

Şimdi bölme işlemini yapalım, tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkaracağız:

2^{240 – 4} = 2²³⁶

Sonuç: 2²³⁶

4. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları 7^-5 cm ve 49^-1 cm ise alanı kaç cm²‘dir?

Dikdörtgenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarparız. Yani Alan = uzun kenar * kısa kenar.

Alan = 7^-5 * 49^-1

Burada da tabanları eşitlemek işimizi kolaylaştıracak. 49’u 7’nin kuvveti olarak yazabiliriz:

49 = 7²

Şimdi soruyu yeniden yazalım:

7^-5 * (7²)^-1

Üslü ifadelerde üsleri çarparak devam edelim:

7^-5 * 7^{2 * (-1)}

7^-5 * 7^-2

Şimdi çarpma işlemini yapalım, tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayacağız:

7^{-5 + (-2)} = 7^{-5 – 2} = 7^-7

Sonuç: 7^-7 cm²

5. Bir depoya 2¹⁰ adet koli, her kolinin içine 2⁶ adet kutu ve her kutunun içine 2⁴ oyuncak paketi konulmuştur. Buna göre depoya kaç oyuncak paketi konulmuştur?

Bu soruyu katman katman düşünelim. Depoya konulan toplam oyuncak sayısını bulmak için, her adımda bir önceki adımdaki sayıyı çarparak ilerleyeceğiz.

Adım 1: Depoya konulan toplam koli sayısını biliyoruz: 2¹⁰ adet.

Adım 2: Her kolinin içinde 2⁶ adet kutu var. O zaman toplam kutu sayısını bulmak için koli sayısıyla kutu sayısını çarparız:

Toplam Kutu Sayısı = (Koli Sayısı) * (Kutu Sayısı / Koli)

Toplam Kutu Sayısı = 2¹⁰ * 2⁶

Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız:

Toplam Kutu Sayısı = 2^{10 + 6} = 2¹⁶ adet kutu.

Adım 3: Her kutunun içinde 2⁴ adet oyuncak paketi var. Toplam oyuncak paketi sayısını bulmak için toplam kutu sayısıyla oyuncak paketi sayısını çarparız:

Toplam Oyuncak Paketi Sayısı = (Toplam Kutu Sayısı) * (Oyuncak Paketi Sayısı / Kutu)

Toplam Oyuncak Paketi Sayısı = 2¹⁶ * 2⁴

Yine tabanlar aynı, o zaman üsleri toplarız:

Toplam Oyuncak Paketi Sayısı = 2^{16 + 4} = 2²⁰ adet oyuncak paketi.

Sonuç: Depoya toplam 2²⁰ oyuncak paketi konulmuştur.