Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağın bir şekilde çözelim. Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma yapmak, doğru kuralları bildiğimizde aslında çok basittir. Tıpkı elmalarla armutları toplayamadığımız gibi, kök içleri farklı olan sayıları da toplayıp çıkaramayız. Ama kök içlerini aynı yapabilirsek, o zaman işlem çok kolaylaşır. Haydi başlayalım!
Soru 1: Güneş, iki aşamadan oluşan bir koşu yarışına katılıyor. Koşu yarışında yarışçıların birinci aşamada √1800 m uzunluğundaki parkuru, ikinci aşamada ise √3200 m uzunluğundaki parkuru koşmaları gerekiyor. Güneş yarışta birinci aşamayı tamamlıyor. İkinci aşamada ise parkurda √2450 m’lik uzunluğu koşuyor. Buna göre Güneş’in yarışı tamamlayabilmesi için koşması gereken yol miktarı bulunurken hangi işlemler yapılmalıdır? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce Güneş’in koşması gereken toplam yolu ve ne kadar koştuğunu bulmamız gerekmiyor. Soru bizden sadece yarışı bitirmesi için kalan yolu bulmamızı istiyor. Güneş birinci aşamayı bitirmiş, yani orayla işimiz kalmadı. Bizim odaklanmamız gereken yer ikinci aşama.
İkinci aşamanın toplam uzunluğu √3200 metre.
Güneş’in bu aşamada koştuğu mesafe ise √2450 metre.
Kalan mesafeyi bulmak için yapmamız gereken işlem, ikinci aşamanın toplam uzunluğundan, koşulan mesafeyi çıkarmaktır. Yani yapacağımız işlem bir çıkarma işlemidir: √3200 – √2450
Hadi şimdi bu işlemi adım adım yapalım:
Adım 1: Kareköklü sayıları a√b şeklinde yazalım.
Unutma, kök içleri aynı olmadan çıkarma yapamayız. Bu yüzden sayıları kök dışına çıkarabildiğimiz kadar çıkaralım. Bunun için sayıyı, biri tam kare olan iki sayının çarpımı olarak yazmaya çalışırız.
- √3200 sayısını düşünelim. 3200 = 1600 x 2. Burada 1600, 40’ın karesidir. O zaman;
√3200 = √(1600 ⋅ 2) = √1600 ⋅ √2 = 40√2- √2450 sayısını düşünelim. 2450 = 1225 x 2. Burada 1225, 35’in karesidir. O zaman;
√2450 = √(1225 ⋅ 2) = √1225 ⋅ √2 = 35√2
Adım 2: Çıkarma işlemini yapalım.
Artık kök içlerimiz aynı (ikisi de √2). Bu harika! Şimdi sadece katsayıları, yani kökün önündeki sayıları birbirinden çıkarabiliriz.
40√2 – 35√2 = (40 – 35)√2
Sonuç: 5√2
Sonuç:
Güneş’in yarışı tamamlayabilmesi için koşması gereken yol 5√2 metredir. Bu sonuca ulaşmak için çıkarma işlemi yaptık.
Şimdi de kitaptaki örnek alıştırmaları inceleyelim. Bunlar konuyu pekiştirmek için harika!
Örnek Sorular: Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız.
a) 2√11 + 3√11 = ?
Çözüm:
Adım 1: Kök içlerini kontrol et.
Burada iki sayıda da kök içi 11. Yani kökler aynı. Bu işimizi çok kolaylaştırıyor!
Adım 2: Katsayıları topla.
Bunu “2 tane elma + 3 tane elma” gibi düşünebilirsin. Sonuç ne olur? Tabii ki 5 tane elma! Burada da elma yerine √11 var.
(2 + 3)√11 = 5√11
Sonuç:
5√11
b) √10 + 2√10 + 3√10 = ?
Çözüm:
Adım 1: Kök içlerini kontrol et.
Tüm ifadelerde kök içi 10. Yani hepsi aynı. Toplama yapabiliriz.
Adım 2: Katsayıları topla.
Burada dikkat etmen gereken bir şey var. İlk ifadenin (√10) önünde bir sayı yazmıyor. Eğer bir sayı yazmıyorsa, orada gizli bir 1 vardır. Yani o ifade aslında 1√10 demektir.
Şimdi katsayıları toplayalım: (1 + 2 + 3)√10 = 6√10
Sonuç:
6√10
c) √2 + √3 + √5 = ?
Çözüm:
Adım 1: Kök içlerini kontrol et.
Burada kök içleri 2, 3 ve 5. Hepsi birbirinden farklı.
Adım 2: Kök içleri eşitlenebilir mi diye bak.
2, 3 ve 5 asal sayılardır. Yani bu sayıları daha fazla parçalayıp kök dışına çıkaramayız. Dolayısıyla kök içlerini eşitlememiz imkansız.
Bu yüzden bu ifadeyi daha fazla toplayamayız. Tıpkı bir elma, bir armut ve bir portakalı toplayıp “3 meyve” demek gibi. Onları tek bir tür olarak ifade edemeyiz.
Sonuç:
Bu işlem yapılamaz ve ifade √2 + √3 + √5 olarak kalır.
ç) 5√5 + √125 = ?
Çözüm:
Adım 1: Kök içlerini kontrol et.
Kök içleri 5 ve 125. Farklılar! Ama belki √125’i sadeleştirip kök içini 5 yapabiliriz. Deneyelim!
Adım 2: √125’i a√b şeklinde yaz.
125 sayısını, içinde tam kare bir çarpan olacak şekilde yazalım. 125 = 25 x 5. Harika! 25 bir tam karedir (5’in karesi).
√125 = √(25 ⋅ 5) = √25 ⋅ √5 = 5√5
Adım 3: Toplama işlemini şimdi yap.
Sorumuz artık şu hale geldi: 5√5 + 5√5. Gördüğün gibi, kök içleri aynı oldu.
Şimdi katsayıları toplayabiliriz: (5 + 5)√5 = 10√5
Sonuç:
10√5
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Unutma, matematikte en önemli şey bol bol pratik yapmaktır. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!