Harika bir soru! Haydi, 8. sınıfın en keyifli konularından biri olan koordinat sistemi ve doğrusal denklemlerle ilgili bu soruyu birlikte adım adım çözelim. Ben sizin Matematik Öğretmeniniz olarak bu konuyu en anlaşılır şekilde anlatacağım.
Soru: Öznur Öğretmen, tahtaya bir koordinat sistemi çizmiş ve koordinat sisteminde A, B ve C noktalarını görseldeki gibi göstermiştir. Öznur Öğretmen, Hüseyin’e “Koordinat sistemindeki A, B ve C noktalarını birleştirerek bir doğru elde edebilir misin? Elde edemezsen B noktasında nasıl bir değişiklik yapman gerekir?” sorusunu sormuştur. Hüseyin, Öznur Öğretmen’e nasıl bir cevap vermelidir? Açıklayınız.
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için önce tahtadaki noktaların yerlerini yani koordinatlarını doğru bir şekilde okumamız gerekiyor. Sonra da bu noktaların aynı doğru üzerinde olup olmadığını kontrol edeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Çözüm:
Adım 1: Noktaların Koordinatlarını Belirleyelim
Öncelikle koordinat sistemindeki A, B ve C noktalarının adreslerini, yani koordinatlarını bulalım. Unutmayın, bir noktanın koordinatları (x, y) şeklinde yazılır. İlk sayı (x) noktanın yatay eksendeki yerini, ikinci sayı (y) ise dikey eksendeki yerini gösterir.
- A noktası: x ekseninde -2’nin hizasında, y ekseninde ise +2’nin hizasındadır. O zaman A(-2, 2)‘dir.
- B noktası: x ekseninde +1’in hizasında, y ekseninde ise +1’in hizasındadır. O zaman B(1, 1)‘dir.
- C noktası: x ekseninde +2’nin hizasında, y ekseninde ise +2’nin hizasındadır. O zaman C(2, 2)‘dir.
Adım 2: Noktaların Doğrusal Olup Olmadığını Kontrol Edelim
Şimdi Hüseyin’in cevaplaması gereken ilk kısma geldik: “Bu üç noktayı birleştirerek bir doğru elde edebilir miyiz?”
Bir doğru oluşturabilmek için tüm noktaların aynı hizada, yani doğrusal olması gerekir. Gelin kontrol edelim:
A noktası olan (-2, 2) ile C noktası olan (2, 2)’ye dikkatlice bakın. İkisinin de y koordinatının 2 olduğunu göreceksiniz. Bu, A ve C noktalarından geçen doğrunun x eksenine paralel ve denkleminin y = 2 doğrusu olduğu anlamına gelir. Yani bu doğru üzerindeki bütün noktaların y koordinatı 2 olmalıdır.
Peki, B(1, 1) noktası bu doğru üzerinde mi? B noktasının y koordinatı 1‘dir. Ama bizim doğrumuzun üzerindeki noktaların y koordinatı 2 olmalıydı. 1, 2’ye eşit olmadığına göre, B noktası A ve C’den geçen doğrunun üzerinde değildir.
Sonuç: Bu üç nokta aynı doğru üzerinde değildir. Yani A, B ve C noktalarını birleştirerek tek bir doğru elde edemeyiz.
Adım 3: B Noktasını Nasıl Değiştirmeliyiz?
Sorunun ikinci kısmında “Elde edemezsen B noktasında nasıl bir değişiklik yapman gerekir?” diye soruluyordu. Madem bir doğru elde edemedik, o zaman B noktasını doğru yere “taşımalıyız”.
Amacımız A, B ve C’nin aynı doğru üzerinde olması. A ve C noktalarının y = 2 doğrusu üzerinde olduğunu bulmuştuk. O halde B noktasını da bu doğru üzerine getirmeliyiz.
B noktasının mevcut koordinatları (1, 1). Bu noktanın y = 2 doğrusu üzerinde olması için y koordinatının 2 olması gerekir. x koordinatını değiştirmemize gerek yok.
Yani, B noktasının koordinatları (1, 1) iken, onu (1, 2) yapmalıyız. Böylece A(-2, 2), yeni B(1, 2) ve C(2, 2) noktalarının hepsi y=2 doğrusu üzerinde olur ve doğrusal olurlar.
Hüseyin’in Vermesi Gereken Cevap:
“Öğretmenim, A, B ve C noktalarını birleştirerek tek bir doğru elde edemeyiz. Çünkü A ve C noktaları y=2 doğrusu üzerindeyken, B noktasının y koordinatı 1 olduğu için bu doğru üzerinde değildir. Bu üç noktanın doğrusal olabilmesi için B noktasının koordinatlarını (1, 1) yerine (1, 2) olarak değiştirmemiz gerekir.”