Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir çalışma! Gönderdiğin bu soruları senin için adım adım, kolayca anlayabileceğin bir dille çözeceğim. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, doğru adımları takip edince çözüme ulaşmak çok keyifli olur. Hadi başlayalım!
4. Soru: Yandaki düzgün sekizgenin çevre uzunluğu √320 cm’dir. Buna göre düzgün sekizgenin bir kenar uzunluğu kaç cm’dir?
Merhaba! Bu soruyu çözmek için önce “düzgün sekizgen” ne demek onu hatırlayalım. Düzgün sekizgen, 8 tane eş kenarı olan bir çokgendir. Çevre demek, bütün kenarların toplamı demektir. O zaman, bize verilen çevre uzunluğunu 8’e bölersek bir kenar uzunluğunu bulabiliriz.
Adım 1: Önce √320 sayısını daha sade bir şekilde yazalım, yani a√b şeklinde ifade edelim. Bunun için 320’yi tam kare bir sayının çarpımı olarak düşünmeliyiz. 320’yi çarpanlarına ayırdığımızda 64 x 5 olduğunu görürüz. 64, 8’in karesidir.
√320 = √(64 x 5) = √64 x √5 = 8√5 cm.
Yani sekizgenin çevre uzunluğu 8√5 cm imiş.
Adım 2: Şimdi bu çevre uzunluğunu, kenar sayısı olan 8’e bölelim.
Bir kenar uzunluğu = (Çevre Uzunluğu) / 8 = (8√5) / 8
Burada 8’ler birbirini götürür ve geriye sadece √5 kalır.
Sonuç: √5 cm
Doğru cevap C) şıkkıdır.
5. Soru: Aşağıdaki eşitliklerde verilen ☐ sembolünün içine yazılması gereken doğal sayıları bulunuz.
Bu soruda kareköklü sayıların farklı yazımlarını pratik yapacağız. Unutma, kök dışındaki bir sayıyı (katsayıyı) kök içine alırken karesini alarak içeriyle çarparız. Kök içindeki bir sayıyı dışarı çıkarırken de içerideki sayıyı tam kare bir çarpan bularak ayırırız.
- a) 7√3 = √☐
Burada 7’yi kök içine alacağız. 7’nin karesi 49’dur.
7√3 = √(7² x 3) = √(49 x 3) = √147.
Yani ☐ = 147.- b) 6√☐ = √108
Burada √108’i 6√… şeklinde yazmaya çalışalım. 108’i 36’ya bölebiliriz.
√108 = √(36 x 3) = 6√3.
Eşitliğe bakarsak 6√☐ = 6√3, demek ki ☐ = 3.- c) 3√☐ = √45
√45’i 3√… şeklinde yazalım. 45’in içinde tam kare çarpan olarak 9 var.
√45 = √(9 x 5) = 3√5.
Eşitliğimiz 3√☐ = 3√5 olduğuna göre, ☐ = 5.- ç) 10√5 = √☐
10’u kök içine alalım. 10’un karesi 100’dür.
10√5 = √(10² x 5) = √(100 x 5) = √500.
Yani ☐ = 500.- d) ☐√5 = √20
√20’yi a√5 şeklinde yazalım. 20 = 4 x 5’tir.
√20 = √(4 x 5) = 2√5.
Eşitliğimiz ☐√5 = 2√5 olduğuna göre, ☐ = 2.- e) ☐√2 = √98
√98’i a√2 şeklinde yazalım. 98’i 2’ye bölersek 49 buluruz. 49 da 7’nin karesi!
√98 = √(49 x 2) = 7√2.
Eşitliğimiz ☐√2 = 7√2 olduğuna göre, ☐ = 7.- f) √☐ = 10√2
10’u kök içine alalım. 10’un karesi 100’dür.
10√2 = √(10² x 2) = √(100 x 2) = √200.
Yani ☐ = 200.- g) 4√☐ = √32
√32’yi 4√… şeklinde yazalım. 32’nin içinde tam kare çarpan olarak 16 var.
√32 = √(16 x 2) = 4√2.
Eşitliğimiz 4√☐ = 4√2 olduğuna göre, ☐ = 2.
6. Soru: Yandaki ABCD paralelkenarında |DH| = 2√3 cm, |AB| = 3√2 cm ve [AB] ⊥ [DH] ise ABCD paralelkenarının alanı kaç cm² dir?
Paralelkenarın alanını bulmak çok kolaydır! Formülümüz: Alan = Taban x Yükseklik.
Adım 1: Soruda bize verilenleri formüldeki yerlerine koyalım. Bize taban olarak |AB| kenarı ve bu tabana ait yükseklik olarak da |DH| verilmiş.
Taban = |AB| = 3√2 cm
Yükseklik = |DH| = 2√3 cmAdım 2: Şimdi bu iki değeri çarpalım. Köklü sayılarda çarpma yaparken kuralımız şuydu: katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.
Alan = (3√2) x (2√3) = (3 x 2)√(2 x 3) = 6√6
Sonuç: 6√6 cm²
Doğru cevap B) şıkkıdır.
7. Soru: √176 ifadesi, aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa işlem sonucu bir doğal sayı olur?
Bir kareköklü ifadeyi başka bir kareköklü ifadeyle çarptığımızda sonucun doğal sayı olması için, kök içinde kalan sayının bir tam kare olması gerekir. En kolay yolu, kök içini kendisiyle aynı olan bir köklü sayıyla çarpmaktır.
Adım 1: Önce √176 sayısını a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim. 176’yı tam kare çarpanlarına ayıralım. 176’yı 4’e bölersek 44 olur. 44’ü de 4’e bölersek 11 olur. Yani 176 = 16 x 11.
√176 = √(16 x 11) = 4√11
Adım 2: Şimdi elimizde 4√11 var. Bu ifadenin bir doğal sayı olabilmesi için köklü olan √11 kısmından kurtulmamız lazım. √11’i ne ile çarparsak kökten kurtulur? Tabii ki √11 ile!
(4√11) x (√11) = 4 x √(11 x 11) = 4 x √121 = 4 x 11 = 44.
Gördüğün gibi 44 bir doğal sayıdır. Demek ki √176’yı, içinde √11 barındıran bir sayıyla çarpmalıyız. Şıklara baktığımızda bu seçeneğin √11 olduğunu görüyoruz.
Sonuç: √11
Doğru cevap D) şıkkıdır.
8. Soru: Öğrencilerin belirttiği ifadelerin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma yapacağız. En önemli kuralı hatırlayalım: Toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Yani elmaları elmalarla, armutları armutlarla toplarız.
Adım 1: Bütün ifadeleri a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim.
- √180 = √(36 x 5) = 6√5
- -√45 = -√(9 x 5) = -3√5
- -2√5 (Bu zaten sade halde)
- √363 = √(121 x 3) = 11√3 (363’ün 3’e bölündüğünü fark edip 121’i bulmak burada kilit nokta!)
Adım 2: Şimdi bu sadeleşmiş ifadeleri toplayalım. Kök içleri aynı olanları (yani √5 olanları) kendi aralarında, farklı olanları (yani √3 olanı) ayrı tutarak işlem yapacağız.
(6√5 – 3√5 – 2√5) + 11√3
Adım 3: Kök içi aynı olan terimlerin katsayıları arasında işlem yapalım.
(6 – 3 – 2)√5 + 11√3
(1)√5 + 11√3 = √5 + 11√3
Kök içleri farklı olduğu için (biri 5, diğeri 3) bu iki ifadeyi daha fazla toplayamayız. Sonuç bu şekilde kalır.
Sonuç: √5 + 11√3
Doğru cevap A) şıkkıdır.
Umarım çözümlerim anlaşılır olmuştur. Unutma, ne kadar çok pratik yaparsan bu konular o kadar kolaylaşır. Başarılar dilerim