Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorular göndermişsin! Silindirler konusu hem çok zevklidir hem de günlük hayatta sıkça karşımıza çıkar. Gel şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Ben sana bir öğretmen olarak en basit ve anlaşılır şekilde anlatacağım. Hazırsan başlayalım!
Soru 13. Taban alanı 314 cm², yüksekliği 20 cm olan bir dik dairesel silindirin yüzey alanını ve hacmini hesaplayınız (π’yi 3,14 alınız.).
Çözüm:
Bu soruda bize bir silindirin taban alanı ve yüksekliği verilmiş, bizden hem yüzey alanını hem de hacmini bulmamız isteniyor. Haydi sırayla gidelim!
Önce Hacmini Bulalım:
Adım 1: Unutma, silindirin hacmini bulmak için en temel formülümüz şudur: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik. Bu formül, tabandaki daireyi yükseklik boyunca üst üste koymak gibi düşünülebilir.
Adım 2: Soruda bize verilenleri formülde yerine yazalım.
Taban Alanı = 314 cm²
Yükseklik = 20 cm
Hacim = 314 x 20 = 6280 cm³
Şimdi de Yüzey Alanını Bulalım:
Adım 1: Silindirin yüzey alanı, alt ve üst tabanlardaki iki dairenin alanları ile yan yüzeyin (yanal alanın) toplamıdır. Formülü şöyledir: Yüzey Alanı = 2 x (Taban Alanı) + Yanal Alan.
Adım 2: Yanal alanı bulmak için formülümüz 2 . π . r . h‘dir. Ama dikkat edersen biz yarıçapı (r) bilmiyoruz. Önce onu bulmalıyız. Taban alanından yola çıkabiliriz.
Taban Alanı = π . r²
314 = 3,14 . r²
r² = 314 / 3,14
r² = 100
r = 10 cm (Hangi sayının karesi 100’dür? Tabii ki 10’un!)
Adım 3: Artık yarıçapı bildiğimize göre yanal alanı hesaplayabiliriz.
Yanal Alan = 2 . π . r . h
Yanal Alan = 2 . 3,14 . 10 . 20
Yanal Alan = 6,28 . 200 = 1256 cm²
Adım 4: Son olarak, toplam yüzey alanını bulalım. Elimizde 2 tane taban alanı ve 1 tane yanal alan var.
Yüzey Alanı = 2 x (Taban Alanı) + Yanal Alan
Yüzey Alanı = 2 x 314 + 1256
Yüzey Alanı = 628 + 1256 = 1884 cm²
Sonuç:
Silindirin Hacmi = 6280 cm³
Silindirin Yüzey Alanı = 1884 cm²
Soru 14. Yanal alanı 440 br², taban yarıçap uzunluğu 14 br olan bir dik dairesel silindirin hacmi kaç br³ tür? (π’yi 22/7 alınız.)
- A) 3080
- B) 3120
- C) 3260
- D) 3380
Çözüm:
Bu soruda hacmi bulmamız isteniyor. Hacim formülü neydi? V = π . r² . h. Formüle baktığımızda π ve r’yi biliyoruz ama yüksekliği (h) bilmiyoruz. Önce onu bulmalıyız.
Adım 1: Yüksekliği bulmak için bize verilen yanal alan bilgisini kullanalım. Yanal alan formülü: Yanal Alan = 2 . π . r . h.
Verilenleri yerine yazalım:
440 = 2 . (22/7) . 14 . h
Şimdi sadeleştirme yapalım. 14 ile 7 sadeleşir, 14’ün olduğu yerde 2 kalır.
440 = 2 . 22 . 2 . h
440 = 88 . h
h’yi bulmak için 440’ı 88’e böleriz.
h = 5 br
Adım 2: Harika! Artık yüksekliği biliyoruz. Şimdi gönül rahatlığıyla hacmi hesaplayabiliriz.
V = π . r² . h
V = (22/7) . 14² . 5
V = (22/7) . (14 x 14) . 5
Yine sadeleştirme yapalım. 14 ile 7 sadeleşir, geriye 2 kalır.
V = 22 . 2 . 14 . 5
V = 44 . 70
V = 3080 br³
Sonuç:
Doğru cevap A) 3080‘dir.
Soru 15. Yandaki dik dairesel silindirin taban yarıçap uzunluğu 4 katına çıkartılıp yüksekliği 1/4 ‘ine indirilirse hacmi kaç katına çıkar?
- A) 16
- B) 8
- C) 4
- D) 2
Çözüm:
Bu tür “kaç katına çıkar” soruları aslında çok kolaydır. Sadece formülde harflerin yerine istenen katları yazacağız.
Adım 1: İlk durumdaki silindirin hacim formülünü yazalım. Yarıçapına ‘r’, yüksekliğine ‘h’ diyelim.
İlk Hacim (V₁) = π . r² . h
Adım 2: Şimdi ikinci durumdaki, yani değişiklikler yapıldıktan sonraki silindirin hacmini yazalım. Yeni yarıçap (r₂) eski yarıçapın 4 katıymış, yani r₂ = 4r. Yeni yükseklik (h₂) ise eski yüksekliğin 1/4’üymüş, yani h₂ = h/4.
Yeni Hacim (V₂) = π . (r₂)² . h₂
Yeni değerleri yerine koyalım:
V₂ = π . (4r)² . (h/4)
Adım 3: Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim. Parantez içindeki (4r)’nin karesini alırken hem 4’ün hem de r’nin karesini almayı unutma!
V₂ = π . (16r²) . (h/4)
Sayıları başa alalım:
V₂ = (16/4) . π . r² . h
V₂ = 4 . (π . r² . h)
Adım 4: Fark ettin mi? Parantez içindeki ifade (π . r² . h) bizim ilk hacmimize (V₁) eşit! Yani:
V₂ = 4 . V₁
Bu da demek oluyor ki yeni hacim, eski hacmin tam 4 katı olmuş.
Sonuç:
Doğru cevap C) 4‘tür.
Soru 16. Miraç, projesini tamamlayabilmek için kartondan bir dik dairesel silindir oluşturmalıdır. Bunun için oluşturmak istediği dik dairesel silindirin yan yüzünü belirten yandaki dikdörtgeni kesmiştir. Dik dairesel silindirin yüksekliği 24 cm olduğuna göre Miraç, dik dairesel silindiri oluşturabilmek için kartondan toplam kaç cm² alana sahip daireler kesmelidir? (π’yi 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruyu anlamak için bir silindirin açınımını hayal etmeliyiz. Bir silindiri açtığımızda bir dikdörtgen (yanal yüz) ve iki tane daire (tabanlar) elde ederiz.
Adım 1: Soruda verilen dikdörtgen, silindirin yanal yüzüdür. Bu dikdörtgeni kıvırıp silindir yaptığımızda, dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (h) olur, diğer kenarı ise tabandaki dairenin çevresini sarar. Yani o kenar dairenin çevresine eşit olur.
Soruda yükseklik 24 cm olarak verilmiş. O zaman dikdörtgenin kenarları 24 cm ve 60 cm‘dir. 24 cm yükseklik olduğuna göre, 60 cm de taban dairesinin çevresidir.
Taban Çevresi = 60 cm
Adım 2: Soru bizden kesilecek dairelerin toplam alanını istiyor. Alanı bulmak için (Alan = π . r²) yarıçapı (r) bilmemiz lazım. Yarıçapı da çevreden bulabiliriz.
Çevre = 2 . π . r
60 = 2 . 3 . r
60 = 6 . r
r = 10 cm
Adım 3: Artık yarıçapı bildiğimize göre bir tane taban dairesinin alanını bulabiliriz.
Taban Alanı = π . r²
Taban Alanı = 3 . 10²
Taban Alanı = 3 . 100 = 300 cm²
Adım 4: Dikkat! Soru “toplam kaç cm² alana sahip daireler” diyor. Silindirin hem alt hem de üst tabanı olduğu için 2 tane daire kesmemiz gerekir.
Toplam Daire Alanı = 2 x (Bir Dairenin Alanı)
Toplam Daire Alanı = 2 x 300 = 600 cm²
Sonuç:
Miraç’ın toplam 600 cm² alana sahip daireler kesmesi gerekir.
Soru 17. Beyza Hanım, bahçesine dik dairesel silindir biçiminde bir havuz yaptırmıştır. Beyza Hanım, yeni yaptırdığı havuzu boş hâldeyken tam olarak doldurmak istemektedir. Havuzun ölçülerinden bazıları yanda verildiğine göre Beyza Hanım’ın boş olan havuzu tam olarak doldurmak için kaç L suya ihtiyacı vardır? (1 m³ = 1000 L ve π’yi 3 alınız.)
- A) 432 000
- B) 216 000
- C) 43 200
- D) 21 600
Çözüm:
Bir havuzun ne kadar su alacağını bulmak, aslında o havuzun hacmini hesaplamak demektir. Bu soruda da önce havuzun hacmini metreküp (m³) cinsinden bulacağız, sonra da litreye (L) çevireceğiz.
Adım 1: Silindir şeklindeki havuzun hacmini hesaplayalım. Görselde bize yarıçap (r) 6 m ve yükseklik (h) 2 m olarak verilmiş.
Hacim (V) = π . r² . h
V = 3 . 6² . 2
V = 3 . 36 . 2
V = 108 . 2
V = 216 m³
Adım 2: Hacmi metreküp olarak bulduk. Soru bizden litre olarak istiyor. Parantez içinde bize harika bir ipucu verilmiş: 1 m³ = 1000 L.
O zaman bulduğumuz metreküp değerini 1000 ile çarparak litreye çevirebiliriz.
Gereken Su Miktarı = 216 x 1000 = 216 000 L
Sonuç:
Doğru cevap B) 216 000‘dir.
Soru 18. Yanda hangi geometrik cismin açınımı verilmiştir?
- A) Dik silindir
- B) Üçgen dik prizma
- C) Dik koni
- D) Üçgen dik piramit
Çözüm:
Bu bir tanıma sorusu. Şekle dikkatlice bakalım ve geometrik cisimlerin açınımlarını hatırlayalım.
Adım 1: Şekilde bir tane ortada üçgen ve bu üçgenin her bir kenarına yapışık başka üçgenler görüyoruz. Bu demektir ki bu cismin tabanı bir üçgendir ve yan yüzeyleri de üçgenlerden oluşmaktadır.
Adım 2: Şimdi şıkları inceleyelim:
A) Dik silindirin açınımı bir dikdörtgen ve iki daireden oluşur. Bu değil.
B) Üçgen dik prizmanın açınımı iki tane üçgen (tabanlar) ve üç tane dikdörtgenden (yan yüzeyler) oluşur. Bu da değil.
C) Dik koninin açınımı bir daire ve bir daire diliminden oluşur. Bu hiç değil.
D) Üçgen dik piramidin tabanı üçgendir ve yan yüzeyleri de tepede birleşen üçgenlerdir. Açınımı tam da resimdeki gibi olur. Ortadaki üçgen tabanı, kenarlarındaki üçgenler de yan yüzeyleri oluşturur.
Sonuç:
Verilen açınım bir D) Üçgen dik piramit‘e aittir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi formülleri bildiğimizde ve soruyu doğru anladığımızda gerisi sadece dikkatli işlem yapmaya kalıyor. Başarılar dilerim!