Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle kareköklü ifadelerle ilgili alıştırmalar yapacağız. Bu sorular, kareköklü sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yeteneklerinizi geliştirmek için harika bir fırsat. Unutmayın, kareköklü sayılarla işlem yapmanın en önemli kuralı, kök içlerinin aynı olmasıdır. Kök içleri aynı değilse, sayıları a√b şeklinde yazarak aynı yapmaya çalışırız.
Haydi şimdi soruları adım adım birlikte çözelim!
1. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) √32 – 5√2 + 6√2 = ?
Bu soruda toplama ve çıkarma yapabilmemiz için kök içlerinin aynı olması gerekiyor. Gördüğünüz gibi iki terimin kök içi zaten 2. O zaman √32’yi de √2’li bir şekilde yazmaya çalışalım.
Adım 1: √32 sayısını a√b şeklinde yazalım. 32, bir tam kare olan 16’nın 2 ile çarpımıdır. Yani 32 = 16 x 2.
√32 = √(16 ⋅ 2) = √16 ⋅ √2 = 4√2
Adım 2: Şimdi bulduğumuz bu değeri işlemde yerine koyalım.
4√2 – 5√2 + 6√2
Adım 3: Artık tüm terimlerin kök içleri aynı (√2). Bu durumda katsayılar arasında işlem yapabiliriz. Bunu şöyle düşünebilirsiniz: 4 elma – 5 elma + 6 elma.
(4 – 5 + 6)√2
(-1 + 6)√2 = 5√2
Sonuç: 5√2
b) √700 + 3√7 = ?
Burada da yine kök içlerini eşitlememiz gerekiyor. √700 sayısını √7’li bir ifadeye dönüştürelim.
Adım 1: √700 sayısını a√b şeklinde yazalım. 700 = 100 x 7. 100 bir tam karedir.
√700 = √(100 ⋅ 7) = √100 ⋅ √7 = 10√7
Adım 2: İşlemde yerine yazalım.
10√7 + 3√7
Adım 3: Katsayıları toplayalım.
(10 + 3)√7 = 13√7
Sonuç: 13√7
c) √15 – √1500 + 20√15 = ?
Burada da kök içlerini 15 yapmaya çalışacağız. √1500’ü a√15 şeklinde yazmayı deneyelim.
Adım 1: √1500 sayısını a√b şeklinde yazalım. 1500 = 100 x 15. 100 bir tam karedir.
√1500 = √(100 ⋅ 15) = √100 ⋅ √15 = 10√15
Adım 2: Şimdi işlemde yerine koyalım.
√15 – 10√15 + 20√15
Adım 3: Katsayılar arasında işlem yapalım. Unutmayın, √15’in katsayısı 1’dir.
(1 – 10 + 20)√15
(-9 + 20)√15 = 11√15
Sonuç: 11√15
d) 7√5 – √5 – √180 = ?
Bu soruda da √180’i √5’li bir ifadeye çevireceğiz.
Adım 1: √180 sayısını a√b şeklinde yazalım. 180’i 5’e bölersek 36 buluruz. 36 da bir tam karedir. Yani 180 = 36 x 5.
√180 = √(36 ⋅ 5) = √36 ⋅ √5 = 6√5
Adım 2: İşlemde yerine yazalım.
7√5 – √5 – 6√5
Adım 3: Katsayıları çıkaralım. √5’in katsayısı 1’dir.
(7 – 1 – 6)√5
(6 – 6)√5 = 0√5 = 0
Sonuç: 0
e) -(25√10 + √10) + 6√10 = ?
Burada önce parantez içindeki işlemi yapalım, sonra dışarıdaki eksi işaretini dağıtalım.
Adım 1: Parantez içini toplayalım. Kök içleri zaten aynı.
25√10 + √10 = (25 + 1)√10 = 26√10
Adım 2: İşlemimiz şimdi şu hale geldi:
-(26√10) + 6√10
Adım 3: Parantezi kaldıralım. Önündeki eksi işareti sayıyı negatif yapar.
-26√10 + 6√10
Adım 4: Katsayılar arasında işlem yapalım.
(-26 + 6)√10 = -20√10
Sonuç: -20√10
2. Aşağıdaki işlemler ile işlemlerin sonuçları eşleştirildiğinde hangi ifade açıkta kalır?
Bu soruyu çözmek için soldaki her bir işlemin sonucunu bulup sağdaki sonuçlarla eşleştireceğiz. Eşleşmeyen sonuç, bizim cevabımız olacak.
- İşlem 1:7√5 – √5 – √20
Adım 1: √20’yi a√b şeklinde yazalım. √20 = √(4 ⋅ 5) = 2√5.
Adım 2: 7√5 – √5 – 2√5 = (7 – 1 – 2)√5 = 4√5.
Eşleşme: Bu sonuç 4√5 ile eşleşir.
- İşlem 2:√16 ⋅ √5 + (-√125)
Adım 1: √16 = 4’tür. İlk terim 4√5 olur.
Adım 2: √125’i a√b şeklinde yazalım. √125 = √(25 ⋅ 5) = 5√5.
Adım 3: İşlemimiz 4√5 + (-5√5) yani 4√5 – 5√5 olur.
Adım 4: (4 – 5)√5 = -1√5 = -√5.
Eşleşme: Bu sonuç -√5 ile eşleşir.
- İşlem 3:(√10 + √40) / √2
Adım 1: Pay kısmındaki √40’ı düzenleyelim. √40 = √(4 ⋅ 10) = 2√10.
Adım 2: Pay kısmı √10 + 2√10 = 3√10 olur.
Adım 3: İşlemimiz (3√10) / √2 haline geldi.
Adım 4: Bölme yaparken kök içlerini bölebiliriz. 3√(10/2) = 3√5.
Eşleşme: Bu sonuç 3√5 ile eşleşir.
- İşlem 4:√80 – √45 + √5
Adım 1: √80’i düzenleyelim. √80 = √(16 ⋅ 5) = 4√5.
Adım 2: √45’i düzenleyelim. √45 = √(9 ⋅ 5) = 3√5.
Adım 3: İşlemimiz 4√5 – 3√5 + √5 oldu.
Adım 4: Katsayıları toplayıp çıkaralım: (4 – 3 + 1)√5 = 2√5.
Eşleşme: Bu sonuç 2√5 ile eşleşir.
Değerlendirme: Eşleştirmeleri yaptığımızda -√5, 2√5, 3√5 ve 4√5 sonuçlarını bulduk. Sağdaki seçeneklere baktığımızda √5 sonucunun hiçbir işlemle eşleşmediğini görüyoruz.
Sonuç: Açıkta kalan ifade √5’tir.
3. (√288 – √32) / (√36 ⋅ √8) işleminin sonucunu bulunuz.
Bu bir kesir sorusu. Önce payı (üst kısmı), sonra paydayı (alt kısmı) ayrı ayrı düzenleyip en son bölme işlemini yapalım.
Adım 1: Payı hesaplayalım (√288 – √32)
√288 = √(144 ⋅ 2) = 12√2
√32 = √(16 ⋅ 2) = 4√2
Pay: 12√2 – 4√2 = (12 – 4)√2 = 8√2
Adım 2: Paydayı hesaplayalım (√36 ⋅ √8)
√36 = 6
√8 = √(4 ⋅ 2) = 2√2
Payda: 6 ⋅ 2√2 = 12√2
Adım 3: Payı paydaya bölelim.
İşlemimiz (8√2) / (12√2) haline geldi.
Adım 4: Sadeleştirme yapalım.
Paydaki √2 ile paydadaki √2 birbirini götürür. Geriye 8/12 kesri kalır. Bu kesri de en sade haline getirmek için hem payı hem de paydayı 4’e bölebiliriz.
8 ÷ 4 = 2
12 ÷ 4 = 3
Kesrin en sade hali 2/3 olur.
Sonuç: 2/3
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla pratik yapmaya devam ettikçe bu işlemleri çok daha hızlı yapabildiğinizi göreceksiniz. Başarılar dilerim