8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 86

Harika bir soru! Sevgili öğrencilerim, gelin bu görseldeki soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Unutmayın, kareköklü sayılarla işlem yapmak aslında bir bulmaca çözmek gibidir. Doğru parçaları bir araya getirdiğimizde sonuç her zaman nettir.

Soru 1: Bir belediye, bir parkın yanına dikdörtgen şeklinde yürüyüş yolu yapıyor. Yürüyüş yolunun uzun kenar uzunluğu 40√3 m ve alanı m² biriminde bir doğal sayıdır. Buna göre yürüyüş yolunun kısa kenar uzunluğu belirlenirken nasıl bir yol izlenebilir? Açıklayınız.

Çözüm:

Merhaba arkadaşlar! Bu soruyu çözmek için önce bildiklerimizi bir kenara yazalım. Elimizde ne var?

• Şekil: Dikdörtgen
• Uzun Kenar: 40√3 metre
• Alan: Bir doğal sayı (Yani 1, 2, 3, 50, 180 gibi virgülü veya köklü kısmı olmayan bir sayı)

Bizden istenen ise kısa kenarın nasıl bulunabileceği.

Hadi başlayalım!

Adım 1: Temel Kuralı Hatırlayalım
Bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunurdu? Tabii ki kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıyla!
Alan = (Uzun Kenar) x (Kısa Kenar)

Adım 2: Bildiklerimizi Yerine Koyalım
Formülde bildiğimiz değerleri yazalım:
Doğal Sayı = (40√3) x (Kısa Kenar)

Adım 3: Sorunun Püf Noktasını Yakalayalım
Şimdi düşünelim. 40√3 sayısı bir doğal sayı değil, çünkü içinde √3 gibi kökten çıkamayan bir ifade var. Bu ifadeye biz irrasyonel kısım diyoruz. Biz bu sayıyı, yani 40√3’ü, kısa kenar ile çarptığımızda sonucun bir doğal sayı olmasını istiyoruz. Peki bu nasıl mümkün olabilir?

İşte sihirli dokunuş burada başlıyor! Bir kareköklü ifadeyi kökten kurtarmanın en kolay yolu, onu kendisinin köklü kısmıyla çarpmaktır. Yani √3’ü kökten kurtarmak için onu yine √3 ile çarpmalıyız. Çünkü;
√3 x √3 = √9 = 3 olur. Gördünüz mü? Sonuç bir doğal sayı oldu!

Adım 4: Sonuca Ulaşalım
Bu durumda, kısa kenarımızın içinde mutlaka √3 çarpanı olmalı ki uzun kenardaki √3 ile çarpıldığında kökten kurtulsun.
Örneğin, kısa kenarımız √3 metre olabilir. O zaman alan ne olurdu?
Alan = 40√3 x √3 = 40 x (√3 x √3) = 40 x 3 = 120 m²
120 bir doğal sayı mı? Evet! Demek ki kısa kenar √3 olabilirmiş.

Peki başka ne olabilir? Kısa kenar 2√3 de olabilir. Deneyelim:
Alan = 40√3 x 2√3 = (40 x 2) x (√3 x √3) = 80 x 3 = 240 m²
240 da bir doğal sayı!

Sonuç olarak, yürüyüş yolunun kısa kenarını belirlerken, uzunluğu içinde √3 çarpanı olan bir sayı seçmeliyiz. Yani kısa kenar k√3 şeklinde bir sayı olmalıdır (burada ‘k’ herhangi bir pozitif sayı olabilir). Böylece √3’ler çarpılarak kökten kurtulur ve alanımız bir doğal sayı olur.

Örnek Soru: √125 ifadesi ile çarpıldığında sonucu bir doğal sayı yapan çarpanlara beş örnek veriniz.

Çözüm:

Bu soru da aslında yukarıdakiyle aynı mantığa sahip. Amacımız √125’i öyle bir sayıyla çarpmak ki, sonuç kökten tamamen kurtulsun.

Adım 1: Kareköklü İfadeyi Sadeleştirelim (a√b şeklinde yazalım)
İlk işimiz her zaman kareköklü sayıyı en sade haline getirmektir. Acaba 125’in içinde tam kare bir çarpan var mı? Evet, var! 125, 25 ile 5’in çarpımıdır ve 25 bir tam karedir (5’in karesi).
√125 = √(25 x 5) = √25 x √5 = 5√5

Adım 2: Kökten Kurtulmak İçin Neye İhtiyacımız Var?
Şimdi sayımız 5√5 oldu. Bu sayıyı doğal sayı yapmaktan alıkoyan kısım hangisi? Tabii ki √5 kısmı. O zaman bizim bu √5’ten kurtulmamız gerekiyor. Bunun için de ifadeyi içinde √5 olan bir sayıyla çarpmalıyız.

Adım 3: Örnekleri Bulalım
Soruda bizden 5 tane örnek isteniyor. Kuralımız basit: Çarpacağımız sayının içinde √5 olmalı.

• 1. Örnek: En basitinden √5 ile çarpalım.
  √125 ⋅ √5 = 5√5 ⋅ √5 = 5 ⋅ (√5 ⋅ √5) = 5 ⋅ 5 = 25 (25 bir doğal sayıdır, oldu!)
• 2. Örnek: 3√5 ile çarpalım.
  √125 ⋅ 3√5 = 5√5 ⋅ 3√5 = (5 ⋅ 3) ⋅ (√5 ⋅ √5) = 15 ⋅ 5 = 75 (75 bir doğal sayıdır, bu da oldu!)
• 3. Örnek: 4√5 ile çarpalım.
  √125 ⋅ 4√5 = 5√5 ⋅ 4√5 = (5 ⋅ 4) ⋅ (√5 ⋅ √5) = 20 ⋅ 5 = 100 (100 bir doğal sayıdır, harika!)
• 4. Örnek: 5√5 ile çarpalım (yani kendisiyle).
  √125 ⋅ 5√5 = 5√5 ⋅ 5√5 = (5 ⋅ 5) ⋅ (√5 ⋅ √5) = 25 ⋅ 5 = 125 (125 bir doğal sayıdır, süper!)
• 5. Örnek: 10√5 ile çarpalım.
  √125 ⋅ 10√5 = 5√5 ⋅ 10√5 = (5 ⋅ 10) ⋅ (√5 ⋅ √5) = 50 ⋅ 5 = 250 (250 de bir doğal sayıdır, işte bu kadar!)

Gördüğünüz gibi, bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapan çarpanı bulmak için önce ifadeyi a√b şeklinde yazıyoruz, sonra da onu içinde √b olan herhangi bir sayıyla çarpıyoruz. İşte bu kadar basit!